第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
一、矩形的性质
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
平行四边形中，若，则四边形是矩形.
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， ∴
对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
3、直角三角形斜边中线的性质
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴ BD=AD=CD=AC.
【注意】
（1）直角三角形的这一性质常用来证明线段的倍分关系；
（2）运用此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用；
（3）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等．
（4）直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
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【题型一】利用矩形的性质求线段长
【例1.1】如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，则EF＝( )
A．12 B．12.5 C．9 D．不能确定
解：如图，连接AR，
∵CR＝9，CD＝16，∴DR＝7，
∵AD＝24，∠D＝90°，∴，
∵点E、F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR＝12.5，
故选：B．
【例1.2】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22 B．1 C．1 D．2
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE2，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝2，
∴AD＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝22，
故选：A．
【例1.3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，∴BE垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，
∴OC＝OB，
∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBD＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∵OF⊥AB，OF＝2，
∴BO＝2OF＝4，
∵O点为BD中点，∴BD＝2BO＝8．
故答案为：8．
【例1.4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
解： 连接AP，
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
【题型二】利用矩形的性质求角度
【例2.1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，则∠AEO＝ ．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAO，
∵∠EAO＝15°，
∴∠ABE+∠AEB+∠BAO+∠EAO＝3∠AEB+15°＝180°，
∴∠AEO＝55°，
故答案为：55°．
【例2.2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为，
故选：D．
【题型三】利用矩形的性质求周长或面积
【例2.1】如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 B．2 C．3 D．3
解： 连接CF，如图所示：
∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∠CDE＝90°，
∴∠ACF＝∠A＝30°，
∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，
∵AF＝BF，∴CF＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，
∴CD＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，
∵BE⊥DF，
∴∠E＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴四边形BCDE的面积＝BC CD＝2×＝2；
故选：A．
【例3.2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC6，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝6×636．
【题型四】直角三角形斜边上中线的性质的运用
【例4.1】如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，
∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝5，
故选：B．
【例4.2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵F是AD的中点，∠ADE＝30°，∴EF＝AD，AE＝AD，
∴EF＝AE＝3．
故选：B．
【例4.3】如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：连接，设的度数为，
∵，E为对角线的中点，
∴，
∴，
在中，，
同理可得到：，，
在等腰三角形中，；
解得，
∴，
故选：A．
【例4.4】如图，在中，于D，于E，点M，N分别是的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
（1）证明：∵于D，于E，点M是的中点，
∴，
∴点N是的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
有（1）知，
∴，
∵N是的中点，
∴，
∴．
【题型五】矩形的折叠问题
【例5.1】如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，
∴∠AFB′＝∠DAF，
∵AB'∥BD，
∴∠B′AM＝∠1＝26°，
∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，
∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，
∴∠DAF＝32°，
∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，
故选：B．
【例5.2】如图，在矩形中，，，E是上一点，将矩形沿折叠后，点B落在边的F点，则的长为 ．
解：由题意得：，，
∵四边形为矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
解得，
故答案为：5．
【例5.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ．
解：作轴于点F，则，
∵矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
故答案为：；
1．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3，4)，则AC的长是( )
A．5 B． C． D．7
解：∵点B的坐标是(3，4)，∴OB＝，
∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，
∴AC＝5，
故选：A．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为( )
A．3 B．4 C． D．5
解： ∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8，∴，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4，
故选：B．
3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为( )
A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km
解：∵公路AC、BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，∴，
∵AB＝4.8 km，
∴CM＝2.4( km)，即M，C两点间的距离为2.4 km，
故选：A．
4．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为( )
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝OB＝OD＝2cm，
∵OE：OD＝1：2，∴OE＝1cm，
∴，
5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为( )
A．17 B．18 C．19 D．20
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，OA＝OB，AM＝AD＝6，OM为△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故选：D．
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是( )
A． B． C． D．
解：如图，取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，
∵点E是AB的中点，∴AE＝AB＝2，
在Rt△DAE中，
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．
故选：A．
7．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，
∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，
∴，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴，
故答案为：．
8．如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
解：由翻折不变性可知，
∠AED＝∠AED1＝76°，
∴∠DED1＝152°，
∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，
故答案为：28．
9．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 .
解：连接EF，如图所示：
由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F点恰好是DC的中点，
∴CF＝DF＝FGCDAB，
∴BF＝BG+FG＝ABABAB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（2）2+（AB）2＝（AB）2，
解得：AB＝2．
故答案为：2．
10．在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF＝AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝8．
11．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
（1）解：∵
∴，
∵M为的中点，，
∴，，
∵，
∴的周长，
∴的周长为11；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，M为BC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
二、矩形的判定
1、矩形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ∴四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， 四边形是矩形
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ∴四边形是矩形
【题型一】矩形的判定
【例1.1】如图，延长 ABCD的边AD到E，使DE＝AD，连接BE，DB，EC．再添加一个条件，不能使四边形BCED成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝AD，∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形BCED是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵BE⊥DC，∴平行四边形BCED是菱形，故选项B符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形BCED是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，
∴平行四边形BCED是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【例1.2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
【例1.3】如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
解：证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
(2)∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴，
∵四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴，
∴CD＝.
【例1.4】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)，
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴，
∴S矩形ABDF＝DF AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
【例1.5】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长．
答案 (1)略；(2) ．
解析 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
(2)解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE，AB＝2，∴AE＝BE＝，
∴CE＝2BE＝2，
∴．
【例1.6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的长．
(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中
∵∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
【题型二】矩形的性质与判定综合
【例2.1】如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG＝BF，连接DF，DG，CG．
(1)求证：DG∥AC；
(2)当AB＝BF时，求证四边形DFCG是矩形．
(1)证明：∵矩形ABCD，∴OB＝OD，
又∵FG＝BF，∴OF是△BDG的中位线，
∴OF∥DG，即DG∥AC．
(2)∵AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA．
∵矩形ABCD，∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠FCE．
又∵∠EFC＝∠BFA，∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC，
由(1)可知DG∥AC，
∴∠EFC＝∠EGD，∠FCE＝∠EDG，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴ED＝EG，
又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
∴EF＝EG＝ED＝EC，
∴四边形DFCG是矩形．
【例2.2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．点O是EF中点，连接BO并延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG．
（1）试判断四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG；
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长．
（1）解：四边形EBFG是矩形，
理由如下：∵OE＝OF，OB＝OG，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°，
∴平行四边形EBFG是矩形；
（2）证明：∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
在Rt△ABC中，AD＝DC，
∴BDAC＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED+∠C＝90°，
∵四边形EBFG是矩形，
∴OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠CED＝∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE＝90°，即∠DBG＝90°，
∴BD⊥BG；
（3）解：连接AE，
∵DF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
在Rt△ABE中，AE，
∴BC＝BE+EC＝1，
∵∠CDE＝∠FBE＝90°，∠CED＝∠FEB，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（AAS）
∴BF＝BC＝1，
在Rt△EBF中，EF．
1．如图，若要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD
解： A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠DBC，得出四边形ABCD是菱形，不是矩形；故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选：C．
2．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是( )
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
解：若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故选：D．
3．如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
解：∵AE⊥BC，
∴
，
∴
∴
补充：或或，
∴四边形AEFD是矩形，
故答案为：或或（任写一个即可）
4．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，平分，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
1．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
2．如图，△ABC中，中线AF与中位线DE相交于点O，AF=DE,则四边形ADFE是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：∵的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴E是AC的中点，D是AB的中点，
∴EF是的中位线，，
∴，，
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形．
∵AF=DE,
∴四边形ADFE是矩形．
故选：B．
3．如图，矩形的对角线与相交于点，夹角，已知，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
解：四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
的面积为．
故选：C．
4．如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．4
解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
即
解得
故选：B
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝8，∠A＝90°
∵AB＝6，AD＝8
∴BD10
∵将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处
∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠BFE＝90°
∴DF＝4
Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2
（8﹣AE）2＝AE2+16
∴AE＝3即EF＝3
故选：A．
6．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为( )
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
解：如图，连接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2，即AC＝2AO＝4，
故答案为：4．
9．已知，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F，连接EF．请添加一个适当的条件 ，使四边形AEDF是矩形．
解：添加：∠BAC＝90°，
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形．
故答案为：∠BAC＝90°．
10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．
解：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵将△CBE沿直线CE翻折，
∴BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠CEG，
∴EF＝FC，
∵FC2＝FG2+CG2，
∴（FG+4）2＝FG2+36，
∴FG，
故答案为：．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 秒后，四边形BEDF是矩形．
解：设运动的时间为t秒，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，，
∵AE＝CF＝t，∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形，
∴OE＝OD，
∴6﹣t＝4或t﹣6＝4，∴t＝2或t＝10，
∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形，
故答案为：2或10．
12．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求证：．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
13．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
解：设CD与BE交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
14．如图，在中，于点，于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长．
（1）证明：如图3.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴，
∵于点，于点，
∴，.
∴.
∴.
∴四边形是矩形．
（2）如图4，作，交的延长线于点.
∵在中，，，，
∴，.
∵，
∴.
同理可得四边形是矩形.
∴.
15．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．
（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴
∵点E是的中点，点H为的中点，
∴，，
四边形的面积等于．第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
一、矩形的性质
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
平行四边形中，若，则四边形是矩形.
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， ∴
对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
3、直角三角形斜边中线的性质
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴ BD=AD=CD=AC.
【注意】
（1）直角三角形的这一性质常用来证明线段的倍分关系；
（2）运用此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用；
（3）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等．
（4）直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.
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【题型一】利用矩形的性质求线段长
【例1.1】如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，则EF＝( )
A．12 B．12.5 C．9 D．不能确定
【例1.2】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A．22 B．1 C．1 D．2
【例1.3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
【例1.4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【题型二】利用矩形的性质求角度
【例2.1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，则∠AEO＝ ．
【例2.2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】利用矩形的性质求周长或面积
【例2.1】如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 B．2 C．3 D．3
【例3.2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【题型四】直角三角形斜边上中线的性质的运用
【例4.1】如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【例4.2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【例4.3】如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4.4】如图，在中，于D，于E，点M，N分别是的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【题型五】矩形的折叠问题
【例5.1】如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【例5.2】如图，在矩形中，，，E是上一点，将矩形沿折叠后，点B落在边的F点，则的长为 ．
【例5.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ．
1．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3，4)，则AC的长是( )
A．5 B． C． D．7
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为( )
A．3 B．4 C． D．5
3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为( )
A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km
4．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为( )
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为( )
A．17 B．18 C．19 D．20
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是( )
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 ．
8．如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝ 度．
9．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 .
10．在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
11．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
二、矩形的判定
1、矩形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ∴四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， 四边形是矩形
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ∴四边形是矩形
【题型一】矩形的判定
【例1.1】如图，延长 ABCD的边AD到E，使DE＝AD，连接BE，DB，EC．再添加一个条件，不能使四边形BCED成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【例1.2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【例1.3】如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
【例1.4】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【例1.5】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长．
【例1.6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的长．
【题型二】矩形的性质与判定综合
【例2.1】如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG＝BF，连接DF，DG，CG．
(1)求证：DG∥AC；
(2)当AB＝BF时，求证四边形DFCG是矩形．
【例2.2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．点O是EF中点，连接BO并延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG．
（1）试判断四边形EBFG的形状，说明理由；
（2）求证：BD⊥BG；
（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长．
1．如图，若要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD
2．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是( )
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
3．如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
4．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
1．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
2．如图，△ABC中，中线AF与中位线DE相交于点O，AF=DE,则四边形ADFE是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如图，矩形的对角线与相交于点，夹角，已知，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．4
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
6．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为( )
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
8．如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是 ．
9．已知，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F，连接EF．请添加一个适当的条件 ，使四边形AEDF是矩形．
10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 秒后，四边形BEDF是矩形．
12．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求证：．
13．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
14．如图，在中，于点，于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长．
15．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．
