湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（PDF版，无答案）

2024 年株洲市二中高二下学期入学考试数学试题
一、单选题（5*8=40 分）
1．若复数 z满足 z(1 i) 1 3i ，则 z （ ）
A．1 i B． 2 2i C．1 i D． 2 2i
2．过点（2，4）作直线 l，与抛物线y2 = 8x 只有一个公共点，这样的直线 l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．等差数列 an 中的 a 3 22，a2024是函数 f x x 6x 4x 2024的极值点，则 log8 a1013
（ ）
1 1
A． B． 3 C．3 D．
3 3
ln | x | cos x
4．函数 f (x) 的图象大致为（ ）
x
A． B．
C． D．
5．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，株洲市二中计划组织学生参与各项
职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意
识和主动服务他人，服务社会的情怀．现派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到 A、B、C三
个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（ ）
A．140 B．150 C．200 D．220
6．已知圆O的方程为 x2 y2 9，直线 l : x 2y 10 0，点 P是直线 l上的一动点，过 P作
圆O的两条切线，切点分别为 A,B，当四边形 PAOB的面积最小时，直线 AB的方程为（ ）
A． 2x 4y 9 0 B．4x 2y 9 0
C． 4x 2y 9 0 D． 2x 4y 9 0
7． x2 x 2 x 1 6展开式中 x4的系数是（ ）
A． 65 B．65 C． 5 D．5
x2 28 y．已知 O为坐标原点，椭圆 C： a b 0 的左、右焦点分别为 F1 c,0 ，F2 c, 0 a2 b2 ，
过点 F 作圆 O： x2 22 y c2的切线，与 C交于 M，N两点.设圆 O的面积和△MNF1的内切
圆面积分别为 S1， S2 ，且 S1 : S2 4 :1，则 C的离心率为（ ）
A 1 B 6 C 2 D 3． 2 ． ． ．4 2 2
答案第 1页，共 4页
{#{QQABLYgAogggABIAAQgCQwW6CEIQkBGACAoOQAAEIAABSBFABAA=}#}
二、多选题（6*3=18 分）
8
9 1 ．已知二项展开式 f x x3 ，下列说法正确的有（ ）
x
A． f x 的展开式中的常数项是56
B． f x 的展开式中的各项系数之和为 0
C． f x 的展开式中的二项式系数最大值是70
D． f i 16，其中 i为虚数单位
10．设抛物线 y2 4x的焦点为 F ，从抛物线上点A出发的光线过点 F 后，从抛物线上
的点 B（异于原点О）反射，反射光线经过点M 6,4 ，则（ ）
4
A．直线 AB的斜率为
3
B．B． BOF 和 AOF 的面积之比为 4
C．以 AB为直径的圆与直线 x= 1相交
D．若直线mx y 4 4m 0与该抛物线相切，则m 2
11．如图，在边长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M 是线段 A1E上的
一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M 点与 A1点重合时，直线 AC1 平面 ACM
B．当点M 移动时，点D到平面 ACM 的距离为定值
C．当M 点与 E点重合时，平面 ACM 与平面CC1D1D
5
夹角的正弦值为
3
D．当M 点为线段 A1E中点时，平面 ACM 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得
7 33
截面面积为
32
三、填空题（5*3=15 分）

2an ,0 a
1

n 4
12 2．已知数列 an 满足 an 1 ， a1 1 ，则 a ． 2a 1, a 5
2024
n 2 n
1
b c A
13．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b c 2，，已知 a 2， cos ，且
2c 2 AD 2DB
，

则 AD BC ．
f x sin 2x 2cos x ax 1 x π π 14．设函数 ， , ，曲线 y f x 有两条斜率为3的切 2 2
线，则实数 a的取值范围是 .
答案第 2页，共 4页
{#{QQABLYgAogggABIAAQgCQwW6CEIQkBGACAoOQAAEIAABSBFABAA=}#}
四、解答题（13+15+15+17+17）
1
15．（本小题满分 13分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n .数列 bn 的首项b1 ，2
bn
且满足bn 1 2bn 3
.
1
(1)求数列 an 的通项公式； (2)求证：数列 1 为等比数列；
bn
(3)设 c
a
n
n
b ，求数列 cn 的前 n项和Tn .n
f x msin x m 0, 0,0 π16．（本小题满分 15分）如图是函数 ( )的部分图象，
2
π
点D是这部分图象的最高点且其横坐标为 ，点 F 0,1 是线段DM 的中点．
4

(1)若 A是锐角三角形 ABC的一个内角，且 f A
π 8 ，求 cos A的值；
2 5
π π
(2)当 x , 时，函数 y f
2 x af x 1 1的最小值为 a2 ，求实数 的值． 12 3
17．（本小题满分 15分）如图所示，四边形 ABCD为正方形，四边形 ABFE ，CDEF 为两个
全等的等腰梯形，AB 4，EF∥AB，AB 2EF，EA ED FB FC 3．
(1)当点 N为线段 AD的中点时，求证： AD FN；
(2)当点 N在线段 AD上时（包含端点），求平面 BFN和平面 ADE的夹角的
余弦值的取值范围．
答案第 3页，共 4页
{#{QQABLYgAogggABIAAQgCQwW6CEIQkBGACAoOQAAEIAABSBFABAA=}#}
2 2
18 x y．（本小题满分 17分）已知双曲线方程为 F F2 2 1， 1， 2为双曲线的左、有焦点，a b

离心率为 2，点 P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 PF1 PF 2 0， PF1 PF2 6．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 F2作斜率不为 0的直线 l交双曲线于 A,B两点；则在 x轴上是否存在定点Q(m,0)使

得QA QB为定值，若存在，请求出m的值及此时 QAB面积的最小值，若不存在，请说明
理由．
19．（本小题满分 17分）已知函数 f x lnx 1 ax2 a 1 x, a R,a 0 ．
2
(1)当 a 1时，求 f x 在 x 1处的切线的斜率；
(2)当 a 1时，求函数 f x 的单调递增区间；
(3)记函数 F x 的图像为曲线C，设点 A x1, y1 、B x2 , y2 是曲线C上两个不同点，如果曲
C x x线 上存在 M x ,y 1 20 0 ，满足：① x0 ；②曲线C在点M 处的切线平行于直线 AB，2
则称函数 F x 存在“中值相依切线”．试问：函数 f x 是否存在中值相依切线，说明理由。
答案第 4页，共 4页
{#{QQABLYgAogggABIAAQgCQwW6CEIQkBGACAoOQAAEIAABSBFABAA=}#}