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6.1平面向量的概念
题型汇总
题型1：平面向量概念的辨析 例1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D．
【变式1-1】下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误； 根据零向量的概念，易知C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确； 故选：B.
【变式1-2】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B.
变式1-3 下面的命题正确的有（ ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且， 可得，且，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确. 故选：AD.
题型2：向量的几何表示 例2.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向．
【变式2-1】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
变式2-2 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1）,点A在点O正南方向； （2）,点B在点O北偏西方向； （3）,点C在点O南偏西方向. 【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析 【分析】（1）按照题意要求画图即可； （2）按照题意要求画图即可； （3）按照题意要求画图即可； 【详解】解：如图. 【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题.
变式2-2如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45° (2). 【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解. (2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解. 【详解】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以与的夹角为45°. （2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 显然，BF是圆O的直径，，，如图： 所以与垂直的向量有：.
题型3：相等向量与共线向量 例3.如图6.1-8，设O是正六边形的中心. （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与，，相等的向量. 解：（1），，，是共线向量； ，，，是共线向量； ，，，是共线向量. （2）； ； .
【变式3-1】如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
【变式3-2】如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
【变式3-3】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中． （1）单位向量共有 个； （2）模为的向量有 ； （3）与相等的向量有 ； 【答案】 、、、、、、、; 、、 【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解. 【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个； （2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、; （3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个. 故答案为： ；、、、、、、、；、、
变式3-3 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 【答案】24对 【解析】根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可. 【详解】解：相等的非零向量共有24对. 易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对. 【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.
变式3-4 如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF. 【答案】证明见解析 【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证. 【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形， 所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE， 由DF∥EA，得∠FDC＝∠B， 故△BDE∽△DCF.
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6.1平面向量的概念
题型汇总
题型1：平面向量概念的辨析 例1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【变式1-1】下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
【变式1-2】有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
变式1-3 下面的命题正确的有（ ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
题型2：向量的几何表示 例2.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【变式2-1】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模．
变式2-2 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1）,点A在点O正南方向； （2）,点B在点O北偏西方向； （3）,点C在点O南偏西方向.
变式2-2如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？
题型3：相等向量与共线向量 例3.如图6.1-8，设O是正六边形的中心. （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与，，相等的向量.
【变式3-1】如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量.
【变式3-2】如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【变式3-3】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中． （1）单位向量共有 个； （2）模为的向量有 ； （3）与相等的向量有 ；
变式3-3 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
变式3-4 如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
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