【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.2不等式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．如果a>b，c<0，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．a+c>b B．a+c>b-c
C．ac-1>bc-1 D．a(c-1)
2．（2023七下·无为期末）已知不等式成立，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·惠州开学考）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．> B．< C． D．
5．（2023七上·信都月考）关于代数式，下列说法一定正确的是（ ）
A．它的值比小 B．它的值比3小
C．它的值比3大 D．它的值随着的增大而增大
6．（2023八上·浙江月考）若xay，当x≥-1时，关于x的代数式ax-2恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A．-47．（2023七上·临平月考）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
8．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
二、填空题
9．（2023七下·黄埔期末）若不等式可以变形为，则a的取值范围是 ．
10．实数a，b在数轴上的位置如图，用不等号填空．
（1）b-a 0．
（2）a+2b 0．
（3）ab 0．
（4）a2 b2．
11．（2023七上·六安月考）已知有理数a＞0，b＜0，则四个数a+b，a-b，-a+b，-a-b中最大的是 ，最小的是 ．
12．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
13．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
14．（2023七下·中江期末）若，且，设，则t的取值范围为 ．
三、解答题
15．（初中数学苏科版七年级下册11.1-11.3 一元一次不等式 同步练习）利用不等式性质将不等式化成“x>a”或“x（1）6x-4≥2
（2）1-2x>9
16．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册3.2不等式的基本性质 同步训练）已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
17．（2023八下·西安月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则.
反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1）【理解】若，则 （填“”、“”或“”）
（2）【运用】若，，试比较，的大小.
（3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板.方案二：用4块A型钢板，7块型钢板.每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小.方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵c<0 ，∴c-1<0，∵a>b ，∴a(c-1)故答案为：D.
【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边同时加（或减去）一个数（或一个式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）一个正数（或一个大于零的式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）一个负数（或一个小于零的式子），不等号方向改变.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
B：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
C：由 无法判断，所以该不等式不一定成立，符合题意；
D：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可。
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故A选项不符合题意；
B．若，则a＞b，原变形正确，故B选项不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故C选项符合题意；
D．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行逐一的判断，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴-4a＜-4b，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵3＞0，∴x+3＞x，即代数式x+3比x大，原说法错误，故不符合题意；
B、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3小，原说法错误，故不符合题意；
C、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3大，原说法错误，故不符合题意；
D、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3随x的增大而增大，原说法正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由3＞0可得x+3＞x，据此逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴.
令，则一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，
∴当时，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据xay，先求出，将x的代数式ax-2看成一次函数，利用一次函数的性质求解即可.
7．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图（1）可知， 〇〇 ＞ 〇□ ，∴〇 ＞ □.
由图（2）可知， △△△ = △□ ，∴□=2△.∴□＞△.
∴△<□<〇.
∴按质量从小到大的顺序排列为△□〇 .
故答案为：D.
【分析】由图（1）可知，〇 ＞ □，由图（2）可知， □＞△.即可判断结论.
8．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
9．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式可以变形为，
∴a-3＜0，
解得：a＜3；
故答案为：a＜3.
【分析】根据不等式的性质3可知：a-3＜0，解之即可.
10．【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
（4）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0＜b，，∴（1）b-a＞0，（2）a+2b＞0，（3）ab＜0，（4）a2＜b2.
故答案为：＞；＞；＜；＜.
【分析】先判断a、b的大小，然后再根据相应的运算法则进行运算即可.
11．【答案】a-b或-b+a；-a+b或b-a
【知识点】有理数大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
a+ba，-a+b则最大数为：a-b，最小数为：-a+b
故答案为：a-b，-a+b
【分析】根据a，b的符号，即可得出四个数的符号，即可求出答案.
12．【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
13．【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
14．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a+3，c=2a，
∴t=2a+b-c=3a+3，
∵，
∴3a+3≥0，2a≤2，
解得：-1≤a≤1，
∴0≤3a+3≤6，
即 ；
故答案为： .
【分析】由可得b=3a+3，c=2a，从而求出t=2a+b-c=3a+3，由，可得3a+3≥0，2a≤2，解得-1≤a≤1，从而得出0≤3a+3≤6，即得t的范围.
15．【答案】（1）解：6x-4≥2不等式两边同时加上4，得6x-4+4≥2+4
即6x≥6
不等式两边同时除以6，得
x≥1
（2）解：1-2x>9
不等式两边同时减去1，得1-2x-1>9-1
即-2x>8
不等式两边同时除以-2，得
x<-4
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上4，再利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以6，可得到不等式的解集。
（2）利用不等式的性质1： 不等式两边同时减去1，再利用不等式的性质3，在不等式两边同时除以-2，不等号的方向改变，就可求出不等式的解集。
16．【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
17．【答案】（1）＞
（2）解：∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，
∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若，则，因此；
故答案为：；
【分析】（1）由a-b+2>0可得a+1-(b-1)>0，据此进行比较；
（2）由已知条件可得M-N=-a2-1，然后结合偶次幂的非负性进行解答；
（3）
设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且x1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.2不等式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．如果a>b，c<0，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．a+c>b B．a+c>b-c
C．ac-1>bc-1 D．a(c-1)【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵c<0 ，∴c-1<0，∵a>b ，∴a(c-1)故答案为：D.
【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边同时加（或减去）一个数（或一个式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）一个正数（或一个大于零的式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）一个负数（或一个小于零的式子），不等号方向改变.
2．（2023七下·无为期末）已知不等式成立，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
B：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
C：由 无法判断，所以该不等式不一定成立，符合题意；
D：∵，
∴，
∴该不等式成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可。
3．（2023八上·惠州开学考）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故A选项不符合题意；
B．若，则a＞b，原变形正确，故B选项不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故C选项符合题意；
D．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行逐一的判断，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．> B．< C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴-4a＜-4b，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，即可得出答案.
5．（2023七上·信都月考）关于代数式，下列说法一定正确的是（ ）
A．它的值比小 B．它的值比3小
C．它的值比3大 D．它的值随着的增大而增大
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵3＞0，∴x+3＞x，即代数式x+3比x大，原说法错误，故不符合题意；
B、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3小，原说法错误，故不符合题意；
C、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3大，原说法错误，故不符合题意；
D、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3随x的增大而增大，原说法正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由3＞0可得x+3＞x，据此逐项判断即可.
6．（2023八上·浙江月考）若xay，当x≥-1时，关于x的代数式ax-2恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A．-4【答案】A
【知识点】一次函数的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴.
令，则一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，
∴当时，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据xay，先求出，将x的代数式ax-2看成一次函数，利用一次函数的性质求解即可.
7．（2023七上·临平月考）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图（1）可知， 〇〇 ＞ 〇□ ，∴〇 ＞ □.
由图（2）可知， △△△ = △□ ，∴□=2△.∴□＞△.
∴△<□<〇.
∴按质量从小到大的顺序排列为△□〇 .
故答案为：D.
【分析】由图（1）可知，〇 ＞ □，由图（2）可知， □＞△.即可判断结论.
8．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
二、填空题
9．（2023七下·黄埔期末）若不等式可以变形为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式可以变形为，
∴a-3＜0，
解得：a＜3；
故答案为：a＜3.
【分析】根据不等式的性质3可知：a-3＜0，解之即可.
10．实数a，b在数轴上的位置如图，用不等号填空．
（1）b-a 0．
（2）a+2b 0．
（3）ab 0．
（4）a2 b2．
【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
（4）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0＜b，，∴（1）b-a＞0，（2）a+2b＞0，（3）ab＜0，（4）a2＜b2.
故答案为：＞；＞；＜；＜.
【分析】先判断a、b的大小，然后再根据相应的运算法则进行运算即可.
11．（2023七上·六安月考）已知有理数a＞0，b＜0，则四个数a+b，a-b，-a+b，-a-b中最大的是 ，最小的是 ．
【答案】a-b或-b+a；-a+b或b-a
【知识点】有理数大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
a+ba，-a+b则最大数为：a-b，最小数为：-a+b
故答案为：a-b，-a+b
【分析】根据a，b的符号，即可得出四个数的符号，即可求出答案.
12．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
13．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
14．（2023七下·中江期末）若，且，设，则t的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a+3，c=2a，
∴t=2a+b-c=3a+3，
∵，
∴3a+3≥0，2a≤2，
解得：-1≤a≤1，
∴0≤3a+3≤6，
即 ；
故答案为： .
【分析】由可得b=3a+3，c=2a，从而求出t=2a+b-c=3a+3，由，可得3a+3≥0，2a≤2，解得-1≤a≤1，从而得出0≤3a+3≤6，即得t的范围.
三、解答题
15．（初中数学苏科版七年级下册11.1-11.3 一元一次不等式 同步练习）利用不等式性质将不等式化成“x>a”或“x（1）6x-4≥2
（2）1-2x>9
【答案】（1）解：6x-4≥2不等式两边同时加上4，得6x-4+4≥2+4
即6x≥6
不等式两边同时除以6，得
x≥1
（2）解：1-2x>9
不等式两边同时减去1，得1-2x-1>9-1
即-2x>8
不等式两边同时除以-2，得
x<-4
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上4，再利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以6，可得到不等式的解集。
（2）利用不等式的性质1： 不等式两边同时减去1，再利用不等式的性质3，在不等式两边同时除以-2，不等号的方向改变，就可求出不等式的解集。
16．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册3.2不等式的基本性质 同步训练）已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
17．（2023八下·西安月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则.
反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1）【理解】若，则 （填“”、“”或“”）
（2）【运用】若，，试比较，的大小.
（3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板.方案二：用4块A型钢板，7块型钢板.每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小.方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小.
【答案】（1）＞
（2）解：∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，
∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若，则，因此；
故答案为：；
【分析】（1）由a-b+2>0可得a+1-(b-1)>0，据此进行比较；
（2）由已知条件可得M-N=-a2-1，然后结合偶次幂的非负性进行解答；
（3）
设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且x1 / 1