【提升卷】2024年北师大版数学八（下）2.2不等式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
2．下列说法中，不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023七下·硚口期末）若，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·黄冈开学考）若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a-1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．-1<-a
C．-a<-16．若，有，则的值可以是（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．-6
7．（2022八下·竞秀期末）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·塔城期末）用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（ ）
A．若，那么 B．若，那么
C．若，那么a>b D．若，那么
二、填空题
9．选择适当的不等号填空.
（1）若，则 .
（2）若，且，则 .
（3）若，则 0.
10．（2023七下·石景山期末）已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为 ．
11．若不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立，则a的取值范围是 .
12．（2022八下·沈北期末）如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1（a≠－1）可以变形为x＜1，那么a的取值范围是 ．
三、解答题
13．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为 或 的形式：
（1） ；
（2） .
14．写出下列不等式的变形过程和变形依据.
（1）若，则.
（2）若，则.
（3）若，则.
（4）若，则.
15．甲、乙两名同学讨论一个问题．甲同学说：“5a>4a．”乙同学说：“这不一定，应根据a的符号进行判断．”你认为两名同学的观点哪个正确？为什么？
16．若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．
17．已知关于x的不等式(1-a)x>2两边都除以1-a,得x< ,试化简:|a-1|+|a+2|.
18．（2022八上·温州期中）当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：若，两边同时加上3b得，3a+3b>0，∴，一定成立；
B：若，两边同时减去c得，，一定成立；
C：若，两边同时乘以，当c＝0时，，当c≠0时， 。∴不一定成立；
D：若，两边同时除以得，，一定成立.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行判断即可，注意的值可能为0，也可能为正数，要根据题意来具体判断.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】：A、∵2023＞2022，
∴2023-a＞2022-a，
故A不符合题意；
B、∵-2023＜-2022，a＜0，
∴-2023a＞-2022a，
故B不符合题意；
C、∵2023＞2022，a＞0，
∴＞，
故C不符合题意；
D、∵-2023＜-2022，
∴-a-2023＜-a-2022，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵m2≥0，∴m2+1＞0，
∵a＞b，∴a（m2+1）＞b（m2+1），故此选项一定成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，故此选项一定成立，不符合题意；
C、当a=-3，b=-2时，a2＞b2，而a＜b，故此选项不一定成立，符合题意；
D、∵a＞b，∴a+m＜b+m，故此选项一定成立，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变，由不等式的性质并结合各选项可判断求解.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a-1＞0，
∴a＞1，
∴-a＜-1，
又∵-1＜1，
∴-a＜-1＜1＜a.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质即可求解.
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵a>b，∴2a>2b，∴2a-2b>0，
若＝0，则，∴2a-2b>-1，此式成立，A符合；
若＝-2，则，∴2a-2b>1，此式不一定成立，B不符合；
若＝-4，则，∴2a-2b>3，此式不一定成立，C不符合；
若＝-6，则，∴2a-2b>5，此式不一定成立，D不符合；
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质得出2a-2b>0，再逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴a-3<0，
∴a<3，
故答案为：A．
【分析】利用不等式的性质可得a-3<0，再求出a的取值范围即可。
8．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由第一个图可得： ，
由第二个图可得：a＞b，
∴ 若，那么 ，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，结合图形求解即可。
9．【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
（1） ，即a为负数，把两边同时乘以a得，
故答案为：＞
（2）∵abc，∴ac+c>bc+c，
故答案为：＞
（3）∵a>0，b<0，∴a-b>0
∵c<0
∴（a-b）c<0
故答案为：＜.
【分析】
（1）a为负数，把两边同时乘以a，需要改变不等号方向，得
（2）把a>b两边同时乘以c，然后再同时加上c，根据不等式的性质可得出结果，注意不等式两边同时乘以负数时，不等号方向要改变.
（3）根据已知可以得出a-b＞0，两边再同时乘以负数c，根据不等式的性质可得出结果.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴m＜0，
∴使不等式成立的m的值，这个值可以为-1，
故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】根据不等式的性质求出m＜0，再求解即可。
11．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立 ，∴a-3＜0，解得a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变.
12．【答案】a＜－1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】要使关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1变形为x＜1，
则需利用不等式的性质3（因为不等号的方向发生了改变），
在原不等式的两边同时除以负数（a＋1），所以a＋1＜0，
所以a的取值范围是a＜－1．
【分析】利用不等式的性质求解即可。
13．【答案】（1）解：两边同除以3，得
x＞－
（2）解：两边同乘以3，得
2x＞18-x
两边同时加上x，得
2x+x＞18
即3x＞18
两边同除以3，得
x＞6
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，两边同时除以3，不等号的方向不变；
（2）首先去分母，不等式两边分别乘以3，将未知数移动到不等号左边，常数放在不等号右边，进行计算即可。
14．【答案】（1）解：若，两边都乘2，得x＜-2；
依据是不等式的基本性质3.
（2）若，两边都除以，得，
依据是不等式的基本性质3.
（3）过程是不等式的传递性；依据是不等式的基本性质1.
（4）若2x+3>-7，两边都减去3，再都除以2，得x>-5；依据是不等式的基本性质2和基本性质3.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）不等式两边都乘2可得结论.
（2）把不等式两边同时除以可得结论。注意同时除以负数时，不等号方向要改变.
（3）根据不等式的性质进行推导即可.
（4）根据不等式的性质解不等式即可.
15．【答案】解： 乙同学的观点正确 .
理由： 当a>0时，5a> 4a ；
当a=0时，5a=4a；
当a<0时，5a<4a .
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由5> 4，结合a的符号，根据不等式的性质判断即可.
16．【答案】解：∵2a+b=12，a≥0，b≥0，
∴2a≤12．
∴a≤6．
∴0≤a≤6．
由2a+b=12得；b=12﹣2a，
将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：
p=3a+2（12﹣2a）
=24﹣a．
当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．
当a=6时，P有最小值，最小值为P=18
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12﹣2a，然后代入P=3a+2b得；p=24﹣a，最后根据a的范围即可求得p的范围．
17．【答案】解:由已知得1-a<0,即a>1.
∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的混合运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质 ：不等式的左右两边都除以同一个不为零的负数，不等号方向改变，从而得出1-a<0,即a>1；再根据绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值，等于它的相反数，然后判断绝对值符号里面的数的正负去掉绝对值符号，再按整式加减法法则合并同类项得出结果。
18．【答案】（1）解： ，
理由是： ，
，
，
；
（2）a＜3
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（2） ， ，
，
，
即 的取值范围是a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】（1）利用作差法求出-3x+5与-3y+5的差，进而结合已知判断差的正负，当差大于零时，-3x+5＞-3y+5，当差小于零时，-3x+5＜-3y+5，当差等于0时，-3x+5=-3y+5；
（2）根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可判断得出答案.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）2.2不等式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
2．下列说法中，不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：若，两边同时加上3b得，3a+3b>0，∴，一定成立；
B：若，两边同时减去c得，，一定成立；
C：若，两边同时乘以，当c＝0时，，当c≠0时， 。∴不一定成立；
D：若，两边同时除以得，，一定成立.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行判断即可，注意的值可能为0，也可能为正数，要根据题意来具体判断.
3．（2023七下·硚口期末）若，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】：A、∵2023＞2022，
∴2023-a＞2022-a，
故A不符合题意；
B、∵-2023＜-2022，a＜0，
∴-2023a＞-2022a，
故B不符合题意；
C、∵2023＞2022，a＞0，
∴＞，
故C不符合题意；
D、∵-2023＜-2022，
∴-a-2023＜-a-2022，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．（2023八上·黄冈开学考）若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵m2≥0，∴m2+1＞0，
∵a＞b，∴a（m2+1）＞b（m2+1），故此选项一定成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，故此选项一定成立，不符合题意；
C、当a=-3，b=-2时，a2＞b2，而a＜b，故此选项不一定成立，符合题意；
D、∵a＞b，∴a+m＜b+m，故此选项一定成立，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变，由不等式的性质并结合各选项可判断求解.
5．已知a-1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．-1<-aC．-a<-1【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a-1＞0，
∴a＞1，
∴-a＜-1，
又∵-1＜1，
∴-a＜-1＜1＜a.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质即可求解.
6．若，有，则的值可以是（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．-6
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵a>b，∴2a>2b，∴2a-2b>0，
若＝0，则，∴2a-2b>-1，此式成立，A符合；
若＝-2，则，∴2a-2b>1，此式不一定成立，B不符合；
若＝-4，则，∴2a-2b>3，此式不一定成立，C不符合；
若＝-6，则，∴2a-2b>5，此式不一定成立，D不符合；
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质得出2a-2b>0，再逐项判断即可.
7．（2022八下·竞秀期末）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴a-3<0，
∴a<3，
故答案为：A．
【分析】利用不等式的性质可得a-3<0，再求出a的取值范围即可。
8．（2023七下·塔城期末）用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（ ）
A．若，那么 B．若，那么
C．若，那么a>b D．若，那么
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由第一个图可得： ，
由第二个图可得：a＞b，
∴ 若，那么 ，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，结合图形求解即可。
二、填空题
9．选择适当的不等号填空.
（1）若，则 .
（2）若，且，则 .
（3）若，则 0.
【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
（1） ，即a为负数，把两边同时乘以a得，
故答案为：＞
（2）∵abc，∴ac+c>bc+c，
故答案为：＞
（3）∵a>0，b<0，∴a-b>0
∵c<0
∴（a-b）c<0
故答案为：＜.
【分析】
（1）a为负数，把两边同时乘以a，需要改变不等号方向，得
（2）把a>b两边同时乘以c，然后再同时加上c，根据不等式的性质可得出结果，注意不等式两边同时乘以负数时，不等号方向要改变.
（3）根据已知可以得出a-b＞0，两边再同时乘以负数c，根据不等式的性质可得出结果.
10．（2023七下·石景山期末）已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴m＜0，
∴使不等式成立的m的值，这个值可以为-1，
故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】根据不等式的性质求出m＜0，再求解即可。
11．若不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立 ，∴a-3＜0，解得a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变.
12．（2022八下·沈北期末）如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1（a≠－1）可以变形为x＜1，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＜－1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】要使关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1变形为x＜1，
则需利用不等式的性质3（因为不等号的方向发生了改变），
在原不等式的两边同时除以负数（a＋1），所以a＋1＜0，
所以a的取值范围是a＜－1．
【分析】利用不等式的性质求解即可。
三、解答题
13．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为 或 的形式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：两边同除以3，得
x＞－
（2）解：两边同乘以3，得
2x＞18-x
两边同时加上x，得
2x+x＞18
即3x＞18
两边同除以3，得
x＞6
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，两边同时除以3，不等号的方向不变；
（2）首先去分母，不等式两边分别乘以3，将未知数移动到不等号左边，常数放在不等号右边，进行计算即可。
14．写出下列不等式的变形过程和变形依据.
（1）若，则.
（2）若，则.
（3）若，则.
（4）若，则.
【答案】（1）解：若，两边都乘2，得x＜-2；
依据是不等式的基本性质3.
（2）若，两边都除以，得，
依据是不等式的基本性质3.
（3）过程是不等式的传递性；依据是不等式的基本性质1.
（4）若2x+3>-7，两边都减去3，再都除以2，得x>-5；依据是不等式的基本性质2和基本性质3.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）不等式两边都乘2可得结论.
（2）把不等式两边同时除以可得结论。注意同时除以负数时，不等号方向要改变.
（3）根据不等式的性质进行推导即可.
（4）根据不等式的性质解不等式即可.
15．甲、乙两名同学讨论一个问题．甲同学说：“5a>4a．”乙同学说：“这不一定，应根据a的符号进行判断．”你认为两名同学的观点哪个正确？为什么？
【答案】解： 乙同学的观点正确 .
理由： 当a>0时，5a> 4a ；
当a=0时，5a=4a；
当a<0时，5a<4a .
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由5> 4，结合a的符号，根据不等式的性质判断即可.
16．若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．
【答案】解：∵2a+b=12，a≥0，b≥0，
∴2a≤12．
∴a≤6．
∴0≤a≤6．
由2a+b=12得；b=12﹣2a，
将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：
p=3a+2（12﹣2a）
=24﹣a．
当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．
当a=6时，P有最小值，最小值为P=18
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12﹣2a，然后代入P=3a+2b得；p=24﹣a，最后根据a的范围即可求得p的范围．
17．已知关于x的不等式(1-a)x>2两边都除以1-a,得x< ,试化简:|a-1|+|a+2|.
【答案】解:由已知得1-a<0,即a>1.
∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的混合运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质 ：不等式的左右两边都除以同一个不为零的负数，不等号方向改变，从而得出1-a<0,即a>1；再根据绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值，等于它的相反数，然后判断绝对值符号里面的数的正负去掉绝对值符号，再按整式加减法法则合并同类项得出结果。
18．（2022八上·温州期中）当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
【答案】（1）解： ，
理由是： ，
，
，
；
（2）a＜3
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（2） ， ，
，
，
即 的取值范围是a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】（1）利用作差法求出-3x+5与-3y+5的差，进而结合已知判断差的正负，当差大于零时，-3x+5＞-3y+5，当差小于零时，-3x+5＜-3y+5，当差等于0时，-3x+5=-3y+5；
（2）根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可判断得出答案.
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