【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.4一元一次不等式 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·杭州月考）已知关于x的不等式只有两个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·期中）物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．
C． D．
3．（2023七下·石家庄期中）关于x，y的方程组的解中x与y的差不小于5，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·平遥期中）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020七下·陇县期末）老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与a和b的大小无关
6．某商场新进单价为120元的护眼灯，标价为每个180元.某假期，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可以打（ ）
A．七折 B．七五折 C．八八折 D．八折
7．某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55 元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023七下·双鸭山期末）定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：，那么不等式的非负整数解是
10．（2022七下·通州期末）若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是 ．
11．（2020七下·硚口期末）某工厂计划m天生产2160元个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成.实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a与m的数量关系是 ，a的值至少为
12．（2022七下·蜀山期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
三、综合题
13．（2023七下·无为期末）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号照明灯共只，这两种照明灯的进价、售价如下表所示：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型号照明灯
乙型号照明灯
（1）若购进甲、乙两种型号照明灯共用去元，求甲、乙两种型号照明灯各进多少只？
（2）若商场准备用不多于元购进这两种型号照明灯，问甲型号的照明灯至少进多少只？
（3）在（2）的条件下，该商场销售完只照明灯后能否实现盈利不低于元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由．
14．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
四、实践探究题
15．（2023七下·常熟期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”
（1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
16．（2021七下·舞阳期末）定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 .
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 ，和与11的商为 ，所以 .根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为 ；
②计算： .
（2）如果一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，请求出“迥异数” .
（3）如果一个“迥异数” ，满足 ，请求出满足条件的 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：2x+a≤1，
移项得：2x≤1-a，
系数化为1：，
∵ 关于x的不等式2x+a≤1只有两个正整数解，
∴这两个正整数一定是1和2，
∴，
解得：.
故答案为：C.
【分析】由题意，先解不等式2x+a≤1得，根据不等式只有两个正整数解可得关于a的不等式组，解之可求解.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设成本价为a元，
因为某商品的标价比成本价高m%，
所以标价为元，
∵该商品需降价n%出售，为了不亏本 ，
∴
解得：.
故答案为：B.
【分析】设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%，所以标价为元，由于该商品需降价n%出售，故售价为元，由不亏本可得售价不小于成本价，据此列出不等式，解出不等式即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】由
①-②得：，
∵ x与y的差不小于5，
∴k-3≥5，
∴ k≥8，
∴BCD不符合题意，A符合题意；
故答案为：A
【分析】利用加减消元①-②得：，结合题意x-y≥5，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】由第一幅图可得：A＞B ①
由第二幅图可得：B+D＞A+C ②
由第三幅图可得：A+B=C+D ③
由③得：B=C+D-A ④
把④代入②得：C+D-A+D＞A+C ，
可得：2D＞2A
∴D＞A
∴D-A＞0
由③得：B-C=D-A ，
∴B-C＞0
∴B＞C
综合所述：D＞A＞B＞C
故答案为C.
【分析】本题考查不等式的性质和等量代换的数学思想。由每一幅图得到不等式和等式后，进行替换，根据等式的性质，变形后，带入不等式，即可。
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：3a+2b>5×,
∴6a+4b>5a+5b,
∴a>b.
故答案为：A.
【分析】先求出用平均每条a元买三条鱼和平均每条b元买两条鱼的金额总和，再求出以每条 元的价格把鱼全部卖出的金额总和，根据赔钱的结果再列不等式，最后将不等式化简整理即可得出结果.
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设护眼灯打x折销售，由题意得：，
解得x≥7，即最多打七折.
故答案为：A.
【分析】设护眼灯打x折销售，利用利润=售价-进价=进价×利率，要保证利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买A型垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（8-x）个，
∴
解得：
∵
∴
∴x的值可能为：5，6，7，8，
则共有4种购买方案，
故答案为：C.
【分析】设购买A型垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（8-x）个，根据"总费用不超过415元,"列出不等式结合实际情况得到x的取值范围，进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
9．【答案】0，1
【知识点】一元一次不等式的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解： 由题意，得2×（2-x）+1≥3，
去括号，得4-2x+1≥3，
移项，得-2x≥3-4-1，
两边同除以-2，得x≤1，
因为x是非负整数，
所以x可取0，1.
∴不等式2 x≥3的非负整数解是0，1.
故答案为：0，1.
【分析】利用定义，将式子转化为不等式，解这个不等式，再求出它的非负整数解.
10．【答案】x＜-5
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：.
【分析】把x=3，y=b；x=a，y=分别代入3x-2y=c可得与，结合3a-2b=2c2+2c-10， 求得c2=6， 3a+2b=20，将其代入不等式，再解关于x的不等式，即可求解.
11．【答案】；
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：计划 天完成，开工 天后 人外出培训，
则有
得到
由题意得 ，
即：
将其代入得：
即：
至少为 .
故答案为： ；9.
【分析】根据工作总量=工作效率×工作时间即可得出am=144，由“实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务”，即可得出ax+8m-8x＜144，结合am=144可得出8（m-x）＜a（m-x），由m＞x可得出m-x＞0，进而可得出a＞8，再取其中的最小整数值即可得出结论.
12．【答案】8
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，
由题意得：，
解得n=10x，y=x，
∵ 7分钟内不出现排队现象 ，
∴7my≥n+7x，
∴7m·x≥10x+7x，
解得m≥，
∵m为正整数，∴m的最小值为8；
故答案为：8.
【分析】设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，由“ 若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象 ”列出方程组，解得n=10x，y=x，由题意得7my≥n+7x，从而求出m的范围，继而求出m的最小整数解即可.
13．【答案】（1）解：设甲种型号照明灯进x只，乙种型号照明灯进y只，
依据题意可列方程组，
解得： ，
答：甲种型号照明灯进只，乙种型号照明灯进只．
（2）解：设甲型号照明灯进只，则乙种型号照明灯进只，
依据题意可列不等式：，
解得：，
答：甲型号照明灯至少进只．
（3）解：依据题意可列不等式：，
解得：，
∵，
∴，
∵取正整数，
∴，
相应方案有三种：
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只；
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只；
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据商场准备用不多于元购进这两种型号照明灯，列不等式计算求解即可；
（3）先求出， 再求出 ， 最后求方案即可。
14．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
15．【答案】（1）②③
（2）解：①∵关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
∵一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
综上所述：
②7
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
解得：
解三个一元一次方程得：①②③
由伴随方程的定义可知：②③为一元一次不等式的"伴随方程"，
故答案为：②③.
（2）②由（1）知：
当时，原式=
当时，原式有最大值为：7，
当原式=
当时，原式有最大值为：5，
∴综上所述， 代数式的最大值为7.
【分析】（1）先解出一元一次不等式和三个一元一次方程的解，再根据"伴随方程"的定义即可解答；
（2）①先根据题干：关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再根据题干：一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再求出两个取值范围的公共解集即可；
②分情况去掉绝对值，即可求解.
16．【答案】（1）63；5
（2）解：∵这个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是
∴ .
将这个数的个位和十位调换后为：
∴
又
∴
∴
故这个“迥异数”
（3）解：设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数.
则 ，调换个位和十位后为：
故
∵
∴
整理得：
∴
即 ……①
又∵
∴ ，解得：
又 为正整数
故 或2
当 时，代入①中， 或9，此时 或91；
当 时，代入①中， ，此时 ；
故所有满足条件的 有：81或91或92.
【知识点】整式的混合运算；一元一次不等式的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，50，63，77中，“迥异数”为63
故答案为：63.
② .
【分析】（1）①利用阅读材料及“迥异数”的定义，可得答案；②利用阅读材料，可求出f（32）的值.
（2）利用已知条件可得到b=12k+2，将这个数的个位和十位调换后为21k+20，再求出f（b） ，根据f（b）=11，建立关于k的方程，解方程求出k的值；然后求出“迥异数”b.
（3）设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数，可表示出c；再求出f（c）及c的值；然后根据c-5f（c）＞35，可得到m，n的方程，求出m，n的取值范围，根据n为正整数可得到n的值，分别求出当n=1和2时的c的值.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.4一元一次不等式 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·杭州月考）已知关于x的不等式只有两个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：2x+a≤1，
移项得：2x≤1-a，
系数化为1：，
∵ 关于x的不等式2x+a≤1只有两个正整数解，
∴这两个正整数一定是1和2，
∴，
解得：.
故答案为：C.
【分析】由题意，先解不等式2x+a≤1得，根据不等式只有两个正整数解可得关于a的不等式组，解之可求解.
2．（2023八上·期中）物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设成本价为a元，
因为某商品的标价比成本价高m%，
所以标价为元，
∵该商品需降价n%出售，为了不亏本 ，
∴
解得：.
故答案为：B.
【分析】设成本价为a元， 因为某商品的标价比成本价高m%，所以标价为元，由于该商品需降价n%出售，故售价为元，由不亏本可得售价不小于成本价，据此列出不等式，解出不等式即可求解.
3．（2023七下·石家庄期中）关于x，y的方程组的解中x与y的差不小于5，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】由
①-②得：，
∵ x与y的差不小于5，
∴k-3≥5，
∴ k≥8，
∴BCD不符合题意，A符合题意；
故答案为：A
【分析】利用加减消元①-②得：，结合题意x-y≥5，即可得出答案.
4．（2023八下·平遥期中）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】由第一幅图可得：A＞B ①
由第二幅图可得：B+D＞A+C ②
由第三幅图可得：A+B=C+D ③
由③得：B=C+D-A ④
把④代入②得：C+D-A+D＞A+C ，
可得：2D＞2A
∴D＞A
∴D-A＞0
由③得：B-C=D-A ，
∴B-C＞0
∴B＞C
综合所述：D＞A＞B＞C
故答案为C.
【分析】本题考查不等式的性质和等量代换的数学思想。由每一幅图得到不等式和等式后，进行替换，根据等式的性质，变形后，带入不等式，即可。
5．（2020七下·陇县期末）老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与a和b的大小无关
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：3a+2b>5×,
∴6a+4b>5a+5b,
∴a>b.
故答案为：A.
【分析】先求出用平均每条a元买三条鱼和平均每条b元买两条鱼的金额总和，再求出以每条 元的价格把鱼全部卖出的金额总和，根据赔钱的结果再列不等式，最后将不等式化简整理即可得出结果.
6．某商场新进单价为120元的护眼灯，标价为每个180元.某假期，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可以打（ ）
A．七折 B．七五折 C．八八折 D．八折
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设护眼灯打x折销售，由题意得：，
解得x≥7，即最多打七折.
故答案为：A.
【分析】设护眼灯打x折销售，利用利润=售价-进价=进价×利率，要保证利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.
7．某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55 元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买A型垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（8-x）个，
∴
解得：
∵
∴
∴x的值可能为：5，6，7，8，
则共有4种购买方案，
故答案为：C.
【分析】设购买A型垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（8-x）个，根据"总费用不超过415元,"列出不等式结合实际情况得到x的取值范围，进而即可求解.
8．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
二、填空题
9．（2023七下·双鸭山期末）定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：，那么不等式的非负整数解是
【答案】0，1
【知识点】一元一次不等式的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解： 由题意，得2×（2-x）+1≥3，
去括号，得4-2x+1≥3，
移项，得-2x≥3-4-1，
两边同除以-2，得x≤1，
因为x是非负整数，
所以x可取0，1.
∴不等式2 x≥3的非负整数解是0，1.
故答案为：0，1.
【分析】利用定义，将式子转化为不等式，解这个不等式，再求出它的非负整数解.
10．（2022七下·通州期末）若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是 ．
【答案】x＜-5
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：.
【分析】把x=3，y=b；x=a，y=分别代入3x-2y=c可得与，结合3a-2b=2c2+2c-10， 求得c2=6， 3a+2b=20，将其代入不等式，再解关于x的不等式，即可求解.
11．（2020七下·硚口期末）某工厂计划m天生产2160元个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成.实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a与m的数量关系是 ，a的值至少为
【答案】；
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：计划 天完成，开工 天后 人外出培训，
则有
得到
由题意得 ，
即：
将其代入得：
即：
至少为 .
故答案为： ；9.
【分析】根据工作总量=工作效率×工作时间即可得出am=144，由“实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务”，即可得出ax+8m-8x＜144，结合am=144可得出8（m-x）＜a（m-x），由m＞x可得出m-x＞0，进而可得出a＞8，再取其中的最小整数值即可得出结论.
12．（2022七下·蜀山期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
【答案】8
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，
由题意得：，
解得n=10x，y=x，
∵ 7分钟内不出现排队现象 ，
∴7my≥n+7x，
∴7m·x≥10x+7x，
解得m≥，
∵m为正整数，∴m的最小值为8；
故答案为：8.
【分析】设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，由“ 若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象 ”列出方程组，解得n=10x，y=x，由题意得7my≥n+7x，从而求出m的范围，继而求出m的最小整数解即可.
三、综合题
13．（2023七下·无为期末）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号照明灯共只，这两种照明灯的进价、售价如下表所示：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型号照明灯
乙型号照明灯
（1）若购进甲、乙两种型号照明灯共用去元，求甲、乙两种型号照明灯各进多少只？
（2）若商场准备用不多于元购进这两种型号照明灯，问甲型号的照明灯至少进多少只？
（3）在（2）的条件下，该商场销售完只照明灯后能否实现盈利不低于元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设甲种型号照明灯进x只，乙种型号照明灯进y只，
依据题意可列方程组，
解得： ，
答：甲种型号照明灯进只，乙种型号照明灯进只．
（2）解：设甲型号照明灯进只，则乙种型号照明灯进只，
依据题意可列不等式：，
解得：，
答：甲型号照明灯至少进只．
（3）解：依据题意可列不等式：，
解得：，
∵，
∴，
∵取正整数，
∴，
相应方案有三种：
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只；
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只；
甲型号照明灯进只，乙型号照明灯进只．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据商场准备用不多于元购进这两种型号照明灯，列不等式计算求解即可；
（3）先求出， 再求出 ， 最后求方案即可。
14．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
四、实践探究题
15．（2023七下·常熟期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”
（1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
【答案】（1）②③
（2）解：①∵关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
∵一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
综上所述：
②7
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
解得：
解三个一元一次方程得：①②③
由伴随方程的定义可知：②③为一元一次不等式的"伴随方程"，
故答案为：②③.
（2）②由（1）知：
当时，原式=
当时，原式有最大值为：7，
当原式=
当时，原式有最大值为：5，
∴综上所述， 代数式的最大值为7.
【分析】（1）先解出一元一次不等式和三个一元一次方程的解，再根据"伴随方程"的定义即可解答；
（2）①先根据题干：关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再根据题干：一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再求出两个取值范围的公共解集即可；
②分情况去掉绝对值，即可求解.
16．（2021七下·舞阳期末）定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 .
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 ，和与11的商为 ，所以 .根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为 ；
②计算： .
（2）如果一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，请求出“迥异数” .
（3）如果一个“迥异数” ，满足 ，请求出满足条件的 的值.
【答案】（1）63；5
（2）解：∵这个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是
∴ .
将这个数的个位和十位调换后为：
∴
又
∴
∴
故这个“迥异数”
（3）解：设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数.
则 ，调换个位和十位后为：
故
∵
∴
整理得：
∴
即 ……①
又∵
∴ ，解得：
又 为正整数
故 或2
当 时，代入①中， 或9，此时 或91；
当 时，代入①中， ，此时 ；
故所有满足条件的 有：81或91或92.
【知识点】整式的混合运算；一元一次不等式的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，50，63，77中，“迥异数”为63
故答案为：63.
② .
【分析】（1）①利用阅读材料及“迥异数”的定义，可得答案；②利用阅读材料，可求出f（32）的值.
（2）利用已知条件可得到b=12k+2，将这个数的个位和十位调换后为21k+20，再求出f（b） ，根据f（b）=11，建立关于k的方程，解方程求出k的值；然后求出“迥异数”b.
（3）设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数，可表示出c；再求出f（c）及c的值；然后根据c-5f（c）＞35，可得到m，n的方程，求出m，n的取值范围，根据n为正整数可得到n的值，分别求出当n=1和2时的c的值.
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