【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.5一元一次不等式与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·台州期末）已知一次函数的图象与的图象交于点．则对于不等式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点（m，-4）在直线y=-2x上，
∴-2m=-4，
解之：m=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-4），
∵y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，
∴直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），
将点（-2，4）代入直线y=kx-b得
-2k-b=4，
解之：b=-2k-4，
∴y=kx+2k+4=（k+2）x+4，
当2k+4＞0且k＜0时，
解之：-2＜k＜0，
如图，图象在直线x=-2的左侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
∴此时x的取值范围为x＜-2；
当2k+4＜0且k＜0时，
解之：k＜-2，
如图
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
当x＞-2时kx-b＜-2x；
当k＞0时，
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
此时x的取值范围为x＜-2，
∴x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2
故A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】将点（m，-4）代入直线y=-2x，可求出m的值，两端的两函数图象的交点坐标为（2，-4），再根据y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，可得到直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），将点（-2，4）代入y=kx-b，可得到b=-2k-4，据此可得到y=kx+2k+4，分情况讨论：当2k+4＞0且k＜0时，观察图象可知此时x的取值范围为x＜-2；当2k+4＜0且k＜0时，观察图象可知当x＞-2时kx-b＜-2x；当k＞0时，利用函数图象可知此时x的取值范围为x＜-2，综上所述可得到x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2，即可求解.
2．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
3．（2022八下·罗定期末）对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故答案为：C
【分析】先求出，再结合函数图象求解即可。
4．（2023八上·怀远期中） 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点 P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程-x+a=bx-4的解是 x=1
B．不等式-x+a<-3和不等式bx-4>-3的解集相同
C．不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2D．方程组的解是
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可得直线与直线相交于点，
方程的解是，
故选项A正确；
由图象可得当时，，
和的解都是，
故选项B正确；
将代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
时，直线在轴下方且在直线上方，
的解集是．
故选项C正确；
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
选项D错误．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解。由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点坐标可得不等式和的解，由点坐标可得的值，从而可得直线与轴的交点，从而可得的解集．
5．（2023八上·怀宁期中） 函数，当，对应的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：画出函数y=|x+1|-2图象如图所示，
把y=3代入y=|x+1|-2得3=|x+1|-2，
解得x=4或-6，
把y=-2代入y=|x+1|-2得-2=|x+1|-2，
解得x=-1，
当m≤x≤4，对应y的取值范围为- 2≤y≤3，
由图可知-6≤m≤-1
故答案为：D.
【分析】求得y=-2和y=3时的x的值，根据图象即可求得m的取值.
6．（2020八下·南岸期末）如图，已知直线 与 交点为P，根据图象有以下3个结论：① ；②③ 是不等式 的解集.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，a＜0，故①错误；
b＞0，故②正确；
当x＜2是直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，
即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集，故③错误.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＜0；b＞0；当x＜2时，直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集.
7．如图，一次函数y1=ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数y2=x的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1），有下列结论：
①一次函数y1的图象与y轴交点的纵坐标为3；
②方程ax+b=0的解为x=4.5；
③不等式ax+b<0的解集为x>4.5，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 y1=ax+b 图象与y轴交于点A（0，3），
∴ b=3，即y1=ax+3，
∵ 正比例函数 y2=x 的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1），
∴，
解得：m=3，a=，
∴ y1=x+3，
∴ x=0时，y1=3，即一次函数y1的图象与y轴交点的纵坐标为3，故 ① 正确；
∴ ax+b=0，即x+3=0 的解为x=4.5，故 ② 正确；
∴ ax+b<0，即x+3<0 的解为x>4.5，故 ③ 正确；
故答案为：A.
【分析】将点P的坐标代入y2可求得m，一次函数y1过点P和点A，依据待定系数法即可求得a，b的值，即得到y1=x+3，再根据一次函数图象与y轴的交点的纵坐标，即为x=0时， y1的值；再根据一次函数与方程和不等式的关系判断求解即可.
8．（2023八下·谢家集期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：
①；②关于x，y的方程组的解为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式的解集是．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 由函数图象可知，直线y=mx+n与x轴的交点为（2，0），当x=2时，mx+n=0，即2m+n=0，故正确。
由函数图象可知，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a< m<0)的图象的交点坐标为(-3，2)，所以方程组
的解为故错误；
由函数图象可知，直线y=mx+n与一次函数y=ax+b的图象相交点（-3，2），所以方程mx+n=ax+b的解为x=-3，故正确。
由函数图象可知，一次函数y=ax+b图象不在y=mx十n(a∴不等式.ax+b≤mx十n的解集为x≥-3， 即不等式(a-m)x≤n-b的解集是x≥-3 故错误。
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与二元一次方程，不等式与一次函数对各项判断即可。
二、填空题
9．（2023八下·天津市期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】把点A的坐标代入y=-3x中，得：4=-3m，
∴m=，
∴点A的坐标（，4），
解不等式 ，
∴kx+b＜-3x，
由图象知，在点A的左侧，y=kx+b的图象在y=-3x
的下边，即kx+b＜-3x，
∴的解集为：x＜。
故第1空答案为：x＜。
【分析】首先求出交点A的坐标，然后直接利用两直线的交点坐标，写出不等式的解集。
10．（2017八下·新野期末）已知直线y1=x，y2= x+1，y3=﹣ x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（ ， ）；B（ ， ）；C（ ， ）
当x＜ ，y=y1；
当 ≤x＜ ，y=y2；
当 ≤x＜ ，y=y2；
当x≥ ，y=y3．
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y的取值为图中红线所描述的部分，
则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标 ，
∴y最大= ．
【分析】y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
11．（2023七下·利辛期末）若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】根据题意可得：经过点（0，3）和（3，-1），
∴将（0，3）和（3，-1）代入，
可得：，
解得：，
∴，
∵与关于轴对称，
∴，
由可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】先利用待定系数法求出直线解析式，再列出不等式求解即可.
12．（2023九上·成都开学考）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
13．（2023八下·荆门期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②a＜0，b＞0；③当时，；④不等式的解集是，其中正确的结论有 .
【答案】①②③
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，
∴k＜0，①正确；
②∵y1=kx+b与y轴的交点在正半轴上，y2=x+a与y轴的交点在负半轴上，
∴a＜0，b＞0，②正确；
③两函数图象的交点横坐标为3，
∴当x=3时，y1=y2，③正确；
④根据图象可得，当x＜3时，y1的函数图象在y2图象的上方，
即当x＜3时，y1＞y2，④错误；
故答案为：①②③.
【分析】根据一次函数的图象与参数的关系：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限；根据两函数图象的交点坐标判断不等式的关系即可分析得出答案．
14．（2023八下·青山期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①④
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①.∵直线：过点（-2，4），
∴（k-2）×（-2）+b=4．
∴b=2k，故正确；
②由①得b=2k，
∴直线的解析式为y=（k-2）x+2k.
∴当x=-2时，y=-2（k-2)+2k=-2k+4+2k=4．
当k-2=0时，k=2，y=4，不符合题意，
当k-2＞0时，即k＞2时，y随x增大而增大，从而当x＞-2时，y＞4，显然此时不符合题意，
当k-2＜0时，即k＜2时，y随x增大而减小，从而当x＞-2时，y＜4，此时符合题意，
综上，当x＞-2时，y＜4，则k＜2，故错误；
③，
又由①b=2k，
把（1）代入（2）得，
2x+（k-2）x+2k=0．
∴k（x+2）=0．
当k=0时，x的值不确定为任意值，此时y也不确定．
当k≠0时，x+2=0，即x=-2，从而y=4，故错误；
④直线向右平移2个单位得解析式为y=（k-2）（x-2）+2k，当x=2时，y=2k，
∵直线经过（2，m），
∴2k=m=b，
∵（k-2）（x-2）+b＞-m
∴（k-2）（x-2）＞-2m，
∴（k-2）（x-2）＞-4k，
∵不等式的解集为，
∴k-2＜0，且
∴k=-1，经检验k=-1是方程的解，故正确．
故答案为：①④.
【分析】①根据直线过点，将点的坐标代入直线的函数解析式，适当变形即可；
②将b=2k代入直线 ，并分k-2等于0，大于0，小于0三种情况讨论；
③将中的y消去，然后分k=0与k≠0两种情况讨论；
④先写出平移后的直线的函数解析式，根据“不等式的解集为”，转化为关于K的分式方程求解.
三、解答题
15．（2022八上·蚌山期中）已知一次函数的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点
（1）当a，b为何值时，和的图象重合；
（2）当，且在时，则成立，求b的取值范围；
（3）当的面积为时，求线段的长．
【答案】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴，
∵和的图象重合，
∴，
∴；
即当时，和的图象重合；
（2）解：∵，如图1，
∴，
∴，，
∵且时，成立，
∴由图象得，
∴；
（3）解：∵
中，令得，
令，，
中，令得，
令得
∴
第一种情况，如图2，
根据题意得：
∴，
∵
∴
解得：或；
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
第二种情况，如图3：
∵，
∴，
∴
解得：或，
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
综上所述，或．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）根据题意列不等式即可得出结论；
（3）第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得出B、C、D、E的坐标，求出，根据三角形的面积列方程即可得出结论。
四、实践探究题
16．（2022八下·北京市期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝｜x－2｜的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中，m＝ ；
（2）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；
当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而 ；
（4）进一步探究，
①不等式｜x－2｜≥1.5的解集是 ；
②若关于x的方程｜x－2｜＝kx (k≠0)只有一个解，则k的取值范围是 ．
【答案】（1）3
（2）解：画出该函数图象的另一部分如图；
（3）(2，0)；增大
（4）x≤0.5或x≥3.5；k＜－1或k≥1
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=|x-2|=3，
∴m=3，
故答案为：3；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是（2，0）；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大；
故答案为：（2，0），增大；
（4）观察图像，
①不等式|x-2|≥1.5的解集是x≤0.5或x≥3.5；
②若关于x的方程|x-2|=kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是k＜-1或k≥1；
故答案为：x≤0.5或x≥3.5；k＜-1或k≥1．
【分析】（1）将x=-1代入y=|x-2|求出y值，即得m值；
（2）利用表格中数据描点、连线即可；
（3）观察函数图象直接求解即可；
（4）①观察图象直接写出y=1.5上方y＝｜x－2｜的图像对应x范围即可；②利用图象求出y＝｜x－2｜和直线y=kx只有一个交点时k的范围即可.
17．（2023八下·大同期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）根据图像，直接写出不等式的解集；
（3）若点为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与直线交于点，
故联立方程组，得，
解得：，
∴点的坐标为
（2）解：不等式的解集为
（3）解：存在，点的坐标为，，，
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】（3）解：①若是以为腰的等腰直角三角形，且O为直角顶点时，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图：
当时，
②若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
当时，是等腰直角三角形，则点在轴或轴上，
∵，
∴，
若，点在轴上，
∴；
若，点在轴上，
∴；
综上，点的坐标为，，，．
【分析】（1）联立两直线解析式，求解即可；
（2）根据图中一次函数y1的图象在一次函数y2的图象上方的x取值范围求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，分类讨论即可求解．
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.5一元一次不等式与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·台州期末）已知一次函数的图象与的图象交于点．则对于不等式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
2．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·罗定期末）对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2023八上·怀远期中） 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点 P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程-x+a=bx-4的解是 x=1
B．不等式-x+a<-3和不等式bx-4>-3的解集相同
C．不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2D．方程组的解是
5．（2023八上·怀宁期中） 函数，当，对应的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八下·南岸期末）如图，已知直线 与 交点为P，根据图象有以下3个结论：① ；②③ 是不等式 的解集.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，一次函数y1=ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数y2=x的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1），有下列结论：
①一次函数y1的图象与y轴交点的纵坐标为3；
②方程ax+b=0的解为x=4.5；
③不等式ax+b<0的解集为x>4.5，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．（2023八下·谢家集期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：
①；②关于x，y的方程组的解为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式的解集是．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023八下·天津市期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为 ．
10．（2017八下·新野期末）已知直线y1=x，y2= x+1，y3=﹣ x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
11．（2023七下·利辛期末）若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则关于的不等式的解集为 ．
12．（2023九上·成都开学考）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 ．
13．（2023八下·荆门期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②a＜0，b＞0；③当时，；④不等式的解集是，其中正确的结论有 .
14．（2023八下·青山期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号）
三、解答题
15．（2022八上·蚌山期中）已知一次函数的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点
（1）当a，b为何值时，和的图象重合；
（2）当，且在时，则成立，求b的取值范围；
（3）当的面积为时，求线段的长．
四、实践探究题
16．（2022八下·北京市期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝｜x－2｜的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中，m＝ ；
（2）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；
当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而 ；
（4）进一步探究，
①不等式｜x－2｜≥1.5的解集是 ；
②若关于x的方程｜x－2｜＝kx (k≠0)只有一个解，则k的取值范围是 ．
17．（2023八下·大同期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）根据图像，直接写出不等式的解集；
（3）若点为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点（m，-4）在直线y=-2x上，
∴-2m=-4，
解之：m=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-4），
∵y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，
∴直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），
将点（-2，4）代入直线y=kx-b得
-2k-b=4，
解之：b=-2k-4，
∴y=kx+2k+4=（k+2）x+4，
当2k+4＞0且k＜0时，
解之：-2＜k＜0，
如图，图象在直线x=-2的左侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
∴此时x的取值范围为x＜-2；
当2k+4＜0且k＜0时，
解之：k＜-2，
如图
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
当x＞-2时kx-b＜-2x；
当k＞0时，
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
此时x的取值范围为x＜-2，
∴x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2
故A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】将点（m，-4）代入直线y=-2x，可求出m的值，两端的两函数图象的交点坐标为（2，-4），再根据y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，可得到直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），将点（-2，4）代入y=kx-b，可得到b=-2k-4，据此可得到y=kx+2k+4，分情况讨论：当2k+4＞0且k＜0时，观察图象可知此时x的取值范围为x＜-2；当2k+4＜0且k＜0时，观察图象可知当x＞-2时kx-b＜-2x；当k＞0时，利用函数图象可知此时x的取值范围为x＜-2，综上所述可得到x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
3．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故答案为：C
【分析】先求出，再结合函数图象求解即可。
4．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可得直线与直线相交于点，
方程的解是，
故选项A正确；
由图象可得当时，，
和的解都是，
故选项B正确；
将代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
时，直线在轴下方且在直线上方，
的解集是．
故选项C正确；
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
选项D错误．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解。由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点坐标可得不等式和的解，由点坐标可得的值，从而可得直线与轴的交点，从而可得的解集．
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：画出函数y=|x+1|-2图象如图所示，
把y=3代入y=|x+1|-2得3=|x+1|-2，
解得x=4或-6，
把y=-2代入y=|x+1|-2得-2=|x+1|-2，
解得x=-1，
当m≤x≤4，对应y的取值范围为- 2≤y≤3，
由图可知-6≤m≤-1
故答案为：D.
【分析】求得y=-2和y=3时的x的值，根据图象即可求得m的取值.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，a＜0，故①错误；
b＞0，故②正确；
当x＜2是直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，
即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集，故③错误.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＜0；b＞0；当x＜2时，直线y=ax+3在直线y=bx-3的上方，即x＜2是不等式ax+3＞bx-3的解集.
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 y1=ax+b 图象与y轴交于点A（0，3），
∴ b=3，即y1=ax+3，
∵ 正比例函数 y2=x 的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1），
∴，
解得：m=3，a=，
∴ y1=x+3，
∴ x=0时，y1=3，即一次函数y1的图象与y轴交点的纵坐标为3，故 ① 正确；
∴ ax+b=0，即x+3=0 的解为x=4.5，故 ② 正确；
∴ ax+b<0，即x+3<0 的解为x>4.5，故 ③ 正确；
故答案为：A.
【分析】将点P的坐标代入y2可求得m，一次函数y1过点P和点A，依据待定系数法即可求得a，b的值，即得到y1=x+3，再根据一次函数图象与y轴的交点的纵坐标，即为x=0时， y1的值；再根据一次函数与方程和不等式的关系判断求解即可.
8．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 由函数图象可知，直线y=mx+n与x轴的交点为（2，0），当x=2时，mx+n=0，即2m+n=0，故正确。
由函数图象可知，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a< m<0)的图象的交点坐标为(-3，2)，所以方程组
的解为故错误；
由函数图象可知，直线y=mx+n与一次函数y=ax+b的图象相交点（-3，2），所以方程mx+n=ax+b的解为x=-3，故正确。
由函数图象可知，一次函数y=ax+b图象不在y=mx十n(a∴不等式.ax+b≤mx十n的解集为x≥-3， 即不等式(a-m)x≤n-b的解集是x≥-3 故错误。
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与二元一次方程，不等式与一次函数对各项判断即可。
9．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】把点A的坐标代入y=-3x中，得：4=-3m，
∴m=，
∴点A的坐标（，4），
解不等式 ，
∴kx+b＜-3x，
由图象知，在点A的左侧，y=kx+b的图象在y=-3x
的下边，即kx+b＜-3x，
∴的解集为：x＜。
故第1空答案为：x＜。
【分析】首先求出交点A的坐标，然后直接利用两直线的交点坐标，写出不等式的解集。
10．【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（ ， ）；B（ ， ）；C（ ， ）
当x＜ ，y=y1；
当 ≤x＜ ，y=y2；
当 ≤x＜ ，y=y2；
当x≥ ，y=y3．
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y的取值为图中红线所描述的部分，
则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标 ，
∴y最大= ．
【分析】y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】根据题意可得：经过点（0，3）和（3，-1），
∴将（0，3）和（3，-1）代入，
可得：，
解得：，
∴，
∵与关于轴对称，
∴，
由可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】先利用待定系数法求出直线解析式，再列出不等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
13．【答案】①②③
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，
∴k＜0，①正确；
②∵y1=kx+b与y轴的交点在正半轴上，y2=x+a与y轴的交点在负半轴上，
∴a＜0，b＞0，②正确；
③两函数图象的交点横坐标为3，
∴当x=3时，y1=y2，③正确；
④根据图象可得，当x＜3时，y1的函数图象在y2图象的上方，
即当x＜3时，y1＞y2，④错误；
故答案为：①②③.
【分析】根据一次函数的图象与参数的关系：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限；根据两函数图象的交点坐标判断不等式的关系即可分析得出答案．
14．【答案】①④
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①.∵直线：过点（-2，4），
∴（k-2）×（-2）+b=4．
∴b=2k，故正确；
②由①得b=2k，
∴直线的解析式为y=（k-2）x+2k.
∴当x=-2时，y=-2（k-2)+2k=-2k+4+2k=4．
当k-2=0时，k=2，y=4，不符合题意，
当k-2＞0时，即k＞2时，y随x增大而增大，从而当x＞-2时，y＞4，显然此时不符合题意，
当k-2＜0时，即k＜2时，y随x增大而减小，从而当x＞-2时，y＜4，此时符合题意，
综上，当x＞-2时，y＜4，则k＜2，故错误；
③，
又由①b=2k，
把（1）代入（2）得，
2x+（k-2）x+2k=0．
∴k（x+2）=0．
当k=0时，x的值不确定为任意值，此时y也不确定．
当k≠0时，x+2=0，即x=-2，从而y=4，故错误；
④直线向右平移2个单位得解析式为y=（k-2）（x-2）+2k，当x=2时，y=2k，
∵直线经过（2，m），
∴2k=m=b，
∵（k-2）（x-2）+b＞-m
∴（k-2）（x-2）＞-2m，
∴（k-2）（x-2）＞-4k，
∵不等式的解集为，
∴k-2＜0，且
∴k=-1，经检验k=-1是方程的解，故正确．
故答案为：①④.
【分析】①根据直线过点，将点的坐标代入直线的函数解析式，适当变形即可；
②将b=2k代入直线 ，并分k-2等于0，大于0，小于0三种情况讨论；
③将中的y消去，然后分k=0与k≠0两种情况讨论；
④先写出平移后的直线的函数解析式，根据“不等式的解集为”，转化为关于K的分式方程求解.
15．【答案】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴，
∵和的图象重合，
∴，
∴；
即当时，和的图象重合；
（2）解：∵，如图1，
∴，
∴，，
∵且时，成立，
∴由图象得，
∴；
（3）解：∵
中，令得，
令，，
中，令得，
令得
∴
第一种情况，如图2，
根据题意得：
∴，
∵
∴
解得：或；
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
第二种情况，如图3：
∵，
∴，
∴
解得：或，
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
综上所述，或．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）根据题意列不等式即可得出结论；
（3）第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得出B、C、D、E的坐标，求出，根据三角形的面积列方程即可得出结论。
16．【答案】（1）3
（2）解：画出该函数图象的另一部分如图；
（3）(2，0)；增大
（4）x≤0.5或x≥3.5；k＜－1或k≥1
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=|x-2|=3，
∴m=3，
故答案为：3；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是（2，0）；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大；
故答案为：（2，0），增大；
（4）观察图像，
①不等式|x-2|≥1.5的解集是x≤0.5或x≥3.5；
②若关于x的方程|x-2|=kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是k＜-1或k≥1；
故答案为：x≤0.5或x≥3.5；k＜-1或k≥1．
【分析】（1）将x=-1代入y=|x-2|求出y值，即得m值；
（2）利用表格中数据描点、连线即可；
（3）观察函数图象直接求解即可；
（4）①观察图象直接写出y=1.5上方y＝｜x－2｜的图像对应x范围即可；②利用图象求出y＝｜x－2｜和直线y=kx只有一个交点时k的范围即可.
17．【答案】（1）解：∵直线与直线交于点，
故联立方程组，得，
解得：，
∴点的坐标为
（2）解：不等式的解集为
（3）解：存在，点的坐标为，，，
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】（3）解：①若是以为腰的等腰直角三角形，且O为直角顶点时，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图：
当时，
②若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
当时，是等腰直角三角形，则点在轴或轴上，
∵，
∴，
若，点在轴上，
∴；
若，点在轴上，
∴；
综上，点的坐标为，，，．
【分析】（1）联立两直线解析式，求解即可；
（2）根据图中一次函数y1的图象在一次函数y2的图象上方的x取值范围求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，分类讨论即可求解．
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