【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.6一元一次不等式组 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·江岸期末）关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
2．（2023七上·临平月考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
3．（2023八上·安顺期末）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．5
4．（2021七上·北碚期末）若整数a是使得关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程 ＝ ＋1的解满足y≤87.则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17
5．（2019七下·兴化期末）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=3，y=2 C．x=4，y=1 D．x=2，y=3
6．（2020七下·邢台期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 时，则 ，如 ， ， ， ，…若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
7．运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入 x 后程序操作仅进行了三次就停止，那么 x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·淳安期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格 设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3 B．7.2×3< 7.4+7.9+x≤7.8×3
C．7.2×3 >7.4+7.9+x>7.8×3 D．7.2×3< 7.4+7.9+x< 7.8×
二、填空题
9．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
10．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
11．（2023七下·丰台期末）小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数 （填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为 ．
12．（2023八下·秀山期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“整倍数”．例如：∵，∴135是9的“整倍数”，又如∵∴524不是11的“整倍数”．三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的数A的最小值为 ．
13．（2023七下·无为期末）对x，y定义一种新的运算，规定例如
（1） ；
（2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ．
三、实践探究题
14．（2023八上·期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[-2.5]＝-3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜-2.5＞＝-2．根据上述规定，解决下列问题：
（1）[-4.5]＝ ，＜3.01＞＝ ；
（2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2023，求x的值；
（3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围．
15．（2023八上·东阳期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．
16．（2023八上·福州开学考）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ 为圆周率， ▲ ；
如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
17．（2023八上·镇海区期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中 为常数，对称点是点的“级关联点”，例如：点的“2级关联点”，即.
（1）已知点的：“3级关联点”为，求点的坐标；
（2）已知点关于“2级关联点”为，求的坐标；
（3）点关于-4级关联点在第三象限，求的范围。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： 当2m≥m-3时，m≥-3，
不等式组的解集为：x＞2m，
因为不等式组的最小整数解为1，
所以0≤2m＜1，
解得；
当2m＜m-3时，m＜-3，
不等式组的解集为：x≥m-3，
因为不等式组的最小整数解为1，
解得0＜m-1≤1，
∴1＜m≤2；
∵m＜-3，
∴不存在m.
综上所述的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据同大取大分“2m≥m-3”和“2m＜m-3”两种情况，由该不等式组的最小整数解为1列出关于字母m的不等式组，求解可得答案.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
【分析】首先解不等式组得-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，得m≥-3；最后得到符合条件的所有整数m 的值，即可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式 ≤1，得：x≤m+3，
解不等式x-4＞3（x-2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得m≥-2，
解分式方程，得：x=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
∴-2≤m＜3且m≠2，
∴所有符合条件的整数m的值之和=-2-1+0+1＝-2．
故答案为：A．
【分析】先解不等式组解集，根据不等式组的解集为x＜1，确定出m的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，确定出满足条件m范围，再把符合条件的整数m的值求和即可．
4．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥ ，
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，
∴-1＜ ≤0，
解得：-11＜a≤-5，
＝ ＋1，
去分母得：3（2y+a）=5（y-a）+15，
去括号得：6y+3a=5y-5a+15，
移项得：y=15-8a，
∵该方程的解满足y≤87，
∴15-8a≤87，
∴a≥-9，
∵-9≤a≤-5，
∴整数a为：-9，-8，-7，-6，-5，它们的和为-35，
故答案为：A.
【分析】分别解关于x的不等式组，根据“该不等式组有且仅有4个整数解”得出-1＜ ≤0，求出a的范围，解一元一次方程 ＝ ＋1得出y=15-8a，由于y≤87可得15-8a≤87，求出a的范围，从而得出整数a的值，再相加即可.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】由题意得，7x+9y≤40
则，
∵40-9y，且y是非负整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，，则x=4，此时，所剩的废料是：40-1×9-4×7=3mm；
当y=2时，，则x=3，此时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm；
当y=3时，，则x=1，此时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm；
当y=4时，，则x=0（舍去)．
则最小的是：x=3，y=2．
故选B．
【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定。
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：解不等式组 ，解得： ，
由不等式组的整数解恰有 个得： ，
故 ，
故答案为：D．
【分析】将 a 看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意得出解得：.
故答案为：
【分析】根据计算程序由输入 x 后程序操作仅进行了三次就停止 ，第一次输入的数就是x，第二次输入的数是3x-6，第三次输入的数是3（3x-6）列出三个不等式组成的不等式组，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意得
，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3.
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验pH的读数分别是7.4，7.9，利用平均数公式可得到关于x的不等式组，即可求解.
9．【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
10．【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
11．【答案】；7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图形知： 当小明跑了2圈时，他的运动里程数＜3km；
设公园的环形道的周长为y，小明总共跑的圈数为x（x为正整数），
由题意得：，解得，
∴，
∵xy=10，
∴x=，
∴，
∴正整数x=7，
∴ 小明总共跑的圈数为7.
故答案为：＜，7.
【分析】根据环形跑道的周长与里程数的关系建立不等式组，从而求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，继而求解.
12．【答案】156
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：∵c＜b＜a，
∴P（A）=10a+b，Q（A）=10c+b，
∴，
∵三位数A是12的"整倍数" ，
∴a+b+c=12，
∴a+c=12-b，
∵为整数 ，
∴
∴1＜b＜9，
∴b=3或5或7，
∴当b=3时，a+c=9，
∴或，①舍去，
∴A=372或732；
当b=5时，a+c=7，
∴，
∴A=156或者516；
当b=7时，a+c=5，没有符合的值；
综上满足条件的数为：372或732或156或516，所以A的最小值为156.
故第1空答案为：156.
【分析】根据a，b，c的大小关系，以及P（A）和Q（A）的定义，分别表示P（A）和Q（A），然后代入中，根据三位数A是12的"整倍数"，且是整数，可以写出所有符合条件的a，b，c的值，从中找出最小的三位数A的值即可。
13．【答案】（1）1
（2）
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵2＜3，
∴，
故答案为：1；
（2）∵m＞0，
∴3m＞m，-3m＜-2m，
∴-1-3m＜-2m，
∴由题意可得不等式组：，
解得：1＜m≤a-1，
∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，
∴3≤a-1＜4，
解得：4≤a＜5，
故答案为：4≤a＜5.
【分析】（1）根据所给的规定计算求解即可；
（2）根据题意先求出3m＞m，-3m＜-2m，再求出，最后求解即可。
14．【答案】（1）-5；4
（2）解：∵[x]≤x，且x为整数，
∴[x]＝x，
∵＜x＞＞x，且x为整数，
∴＜x＞＝x+1，
∵[x]+＜x＞＝2023，
∴x+（x+1）＝2023，
解得x＝1011；
（3）解：解原方程组，得，
又∵[x]表示不大于x的最大整数，＜x＞表示大于x的最小整数，
∴-1≤x＜0，2≤y＜3．
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） [-4.5]＝-5， ＜3.01＞＝ 4；
故答案为：-5，4；
【分析】（1）根据 [a]表示不大于a的最大整数 ， ＜a＞表示大于a的最小整数 ，根据定义进行计算即可；
（2）根据 [x]+＜x＞＝2023 可得x+（x+1）＝2023，解出方程即可求解；
（3）解原方程组可得：，再根据 [a]表示不大于a的最大整数 ， ＜a＞表示大于a的最小整数即可得到x、y的取值范围.
15．【答案】（1）②③
（2）解： 关于x的方程的解为，不等式组的解集为，
所以，
解得；
（3）解： 关于x的方程 的解为，不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为不等式组有3个整数解，所以，解得
所以.
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① ，
2x+2-x=-3，
x=-5，
②，
x+1-3=3x，
2x=-2，
解得x=-1，
③ ，
2x=7，
解得x=3.5，
，
解不等式①得x＞-4，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-4＜x≤4，
∴不等式组的“关联方程”是②③.
故答案为：②③；
【分析】（1）先解方程①②③，再解不等式组，然后根据新定义判断即可；
（2）先解方程，再解不等式组，根据新定义可得，解之即可；
（3）先解方程得，再解不等式组，根据新定义可得，求出m的范围，再根据不等式组有3个整数解，可得，求出m的范围，再求其公共部分即可.
16．【答案】（1）解：①7；3；4；
②，
，
；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有个得，，
故；
（3）解：，为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，，，
则，，．
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①Z（7，2）=7， Z（π）=3，
∵的整数部分为4，
∴，
故答案为：7，3，4.
【分析】（1）利用定义新运算，分别求值即可；②利用定义新运算，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，可得到a的取值范围.
（3）设设，为整数，可表示出x，再根据已知条件，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，可得到k的取值范围，可知k的值为0或1或2，然后求出对应的x的值.
17．【答案】（1）解：∵点A（2，-1）的“3级关联点”为B，
∴点B的横坐标为3（-1）+2=-1，纵坐标为32-1=5，
∴点B的坐标为（-1，5）；
（2）解：由题意可知，，
解得，
点P的坐标为（2，-1）；
（3）解：由题意可得点（2m，m-1）的-4级关联点坐标为（-4m+4+2m，-42m+m-1），
∵ 点（2m，m-1）的-4级关联点在第三象限，
∴
解得：m>2.
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）理解题中”关联点“的含义，即可根据已知点A列算式求出点B的坐标；
（2）根据题意可列二元一次方程组，解方程即可求出点P的值；
（3）根据坐标与象限的关系，判定关联点的大小，再根据关联点的含义求出”-4级关联点“的坐标，解不等式组即可求出m的范围.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）2.6一元一次不等式组 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·江岸期末）关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： 当2m≥m-3时，m≥-3，
不等式组的解集为：x＞2m，
因为不等式组的最小整数解为1，
所以0≤2m＜1，
解得；
当2m＜m-3时，m＜-3，
不等式组的解集为：x≥m-3，
因为不等式组的最小整数解为1，
解得0＜m-1≤1，
∴1＜m≤2；
∵m＜-3，
∴不存在m.
综上所述的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据同大取大分“2m≥m-3”和“2m＜m-3”两种情况，由该不等式组的最小整数解为1列出关于字母m的不等式组，求解可得答案.
2．（2023七上·临平月考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
【分析】首先解不等式组得-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，得m≥-3；最后得到符合条件的所有整数m 的值，即可得到结果.
3．（2023八上·安顺期末）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式 ≤1，得：x≤m+3，
解不等式x-4＞3（x-2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得m≥-2，
解分式方程，得：x=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
∴-2≤m＜3且m≠2，
∴所有符合条件的整数m的值之和=-2-1+0+1＝-2．
故答案为：A．
【分析】先解不等式组解集，根据不等式组的解集为x＜1，确定出m的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，确定出满足条件m范围，再把符合条件的整数m的值求和即可．
4．（2021七上·北碚期末）若整数a是使得关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程 ＝ ＋1的解满足y≤87.则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥ ，
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，
∴-1＜ ≤0，
解得：-11＜a≤-5，
＝ ＋1，
去分母得：3（2y+a）=5（y-a）+15，
去括号得：6y+3a=5y-5a+15，
移项得：y=15-8a，
∵该方程的解满足y≤87，
∴15-8a≤87，
∴a≥-9，
∵-9≤a≤-5，
∴整数a为：-9，-8，-7，-6，-5，它们的和为-35，
故答案为：A.
【分析】分别解关于x的不等式组，根据“该不等式组有且仅有4个整数解”得出-1＜ ≤0，求出a的范围，解一元一次方程 ＝ ＋1得出y=15-8a，由于y≤87可得15-8a≤87，求出a的范围，从而得出整数a的值，再相加即可.
5．（2019七下·兴化期末）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=3，y=2 C．x=4，y=1 D．x=2，y=3
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】由题意得，7x+9y≤40
则，
∵40-9y，且y是非负整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，，则x=4，此时，所剩的废料是：40-1×9-4×7=3mm；
当y=2时，，则x=3，此时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm；
当y=3时，，则x=1，此时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm；
当y=4时，，则x=0（舍去)．
则最小的是：x=3，y=2．
故选B．
【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定。
6．（2020七下·邢台期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 时，则 ，如 ， ， ， ，…若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：解不等式组 ，解得： ，
由不等式组的整数解恰有 个得： ，
故 ，
故答案为：D．
【分析】将 a 看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
7．运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入 x 后程序操作仅进行了三次就停止，那么 x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意得出解得：.
故答案为：
【分析】根据计算程序由输入 x 后程序操作仅进行了三次就停止 ，第一次输入的数就是x，第二次输入的数是3x-6，第三次输入的数是3（3x-6）列出三个不等式组成的不等式组，求解即可.
8．（2021八上·淳安期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格 设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3 B．7.2×3< 7.4+7.9+x≤7.8×3
C．7.2×3 >7.4+7.9+x>7.8×3 D．7.2×3< 7.4+7.9+x< 7.8×
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意得
，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3.
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验pH的读数分别是7.4，7.9，利用平均数公式可得到关于x的不等式组，即可求解.
二、填空题
9．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
10．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
11．（2023七下·丰台期末）小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数 （填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为 ．
【答案】；7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图形知： 当小明跑了2圈时，他的运动里程数＜3km；
设公园的环形道的周长为y，小明总共跑的圈数为x（x为正整数），
由题意得：，解得，
∴，
∵xy=10，
∴x=，
∴，
∴正整数x=7，
∴ 小明总共跑的圈数为7.
故答案为：＜，7.
【分析】根据环形跑道的周长与里程数的关系建立不等式组，从而求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，继而求解.
12．（2023八下·秀山期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“整倍数”．例如：∵，∴135是9的“整倍数”，又如∵∴524不是11的“整倍数”．三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的数A的最小值为 ．
【答案】156
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：∵c＜b＜a，
∴P（A）=10a+b，Q（A）=10c+b，
∴，
∵三位数A是12的"整倍数" ，
∴a+b+c=12，
∴a+c=12-b，
∵为整数 ，
∴
∴1＜b＜9，
∴b=3或5或7，
∴当b=3时，a+c=9，
∴或，①舍去，
∴A=372或732；
当b=5时，a+c=7，
∴，
∴A=156或者516；
当b=7时，a+c=5，没有符合的值；
综上满足条件的数为：372或732或156或516，所以A的最小值为156.
故第1空答案为：156.
【分析】根据a，b，c的大小关系，以及P（A）和Q（A）的定义，分别表示P（A）和Q（A），然后代入中，根据三位数A是12的"整倍数"，且是整数，可以写出所有符合条件的a，b，c的值，从中找出最小的三位数A的值即可。
13．（2023七下·无为期末）对x，y定义一种新的运算，规定例如
（1） ；
（2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）1
（2）
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵2＜3，
∴，
故答案为：1；
（2）∵m＞0，
∴3m＞m，-3m＜-2m，
∴-1-3m＜-2m，
∴由题意可得不等式组：，
解得：1＜m≤a-1，
∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，
∴3≤a-1＜4，
解得：4≤a＜5，
故答案为：4≤a＜5.
【分析】（1）根据所给的规定计算求解即可；
（2）根据题意先求出3m＞m，-3m＜-2m，再求出，最后求解即可。
三、实践探究题
14．（2023八上·期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[-2.5]＝-3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜-2.5＞＝-2．根据上述规定，解决下列问题：
（1）[-4.5]＝ ，＜3.01＞＝ ；
（2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2023，求x的值；
（3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围．
【答案】（1）-5；4
（2）解：∵[x]≤x，且x为整数，
∴[x]＝x，
∵＜x＞＞x，且x为整数，
∴＜x＞＝x+1，
∵[x]+＜x＞＝2023，
∴x+（x+1）＝2023，
解得x＝1011；
（3）解：解原方程组，得，
又∵[x]表示不大于x的最大整数，＜x＞表示大于x的最小整数，
∴-1≤x＜0，2≤y＜3．
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） [-4.5]＝-5， ＜3.01＞＝ 4；
故答案为：-5，4；
【分析】（1）根据 [a]表示不大于a的最大整数 ， ＜a＞表示大于a的最小整数 ，根据定义进行计算即可；
（2）根据 [x]+＜x＞＝2023 可得x+（x+1）＝2023，解出方程即可求解；
（3）解原方程组可得：，再根据 [a]表示不大于a的最大整数 ， ＜a＞表示大于a的最小整数即可得到x、y的取值范围.
15．（2023八上·东阳期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．
【答案】（1）②③
（2）解： 关于x的方程的解为，不等式组的解集为，
所以，
解得；
（3）解： 关于x的方程 的解为，不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为不等式组有3个整数解，所以，解得
所以.
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① ，
2x+2-x=-3，
x=-5，
②，
x+1-3=3x，
2x=-2，
解得x=-1，
③ ，
2x=7，
解得x=3.5，
，
解不等式①得x＞-4，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-4＜x≤4，
∴不等式组的“关联方程”是②③.
故答案为：②③；
【分析】（1）先解方程①②③，再解不等式组，然后根据新定义判断即可；
（2）先解方程，再解不等式组，根据新定义可得，解之即可；
（3）先解方程得，再解不等式组，根据新定义可得，求出m的范围，再根据不等式组有3个整数解，可得，求出m的范围，再求其公共部分即可.
16．（2023八上·福州开学考）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ 为圆周率， ▲ ；
如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
【答案】（1）解：①7；3；4；
②，
，
；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有个得，，
故；
（3）解：，为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，，，
则，，．
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①Z（7，2）=7， Z（π）=3，
∵的整数部分为4，
∴，
故答案为：7，3，4.
【分析】（1）利用定义新运算，分别求值即可；②利用定义新运算，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，可得到a的取值范围.
（3）设设，为整数，可表示出x，再根据已知条件，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，可得到k的取值范围，可知k的值为0或1或2，然后求出对应的x的值.
17．（2023八上·镇海区期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中 为常数，对称点是点的“级关联点”，例如：点的“2级关联点”，即.
（1）已知点的：“3级关联点”为，求点的坐标；
（2）已知点关于“2级关联点”为，求的坐标；
（3）点关于-4级关联点在第三象限，求的范围。
【答案】（1）解：∵点A（2，-1）的“3级关联点”为B，
∴点B的横坐标为3（-1）+2=-1，纵坐标为32-1=5，
∴点B的坐标为（-1，5）；
（2）解：由题意可知，，
解得，
点P的坐标为（2，-1）；
（3）解：由题意可得点（2m，m-1）的-4级关联点坐标为（-4m+4+2m，-42m+m-1），
∵ 点（2m，m-1）的-4级关联点在第三象限，
∴
解得：m>2.
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）理解题中”关联点“的含义，即可根据已知点A列算式求出点B的坐标；
（2）根据题意可列二元一次方程组，解方程即可求出点P的值；
（3）根据坐标与象限的关系，判定关联点的大小，再根据关联点的含义求出”-4级关联点“的坐标，解不等式组即可求出m的范围.
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