【提升卷】2024年北师大版数学八（下）2.6一元一次不等式组 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册8.3 一元一次不等式组（1）同步练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把不等式组的解用数轴上的点表示出来，则其解构成的图形为（ ）
A．射线 B．线段 C．直线 D．长方形
3．（2023八上·开州期中）若数m使关于x的方程3x+m＝x﹣5的解为负数，且使关于y的不等式组的解集为y＞﹣2，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．﹣14 B．﹣9 C．﹣7 D．7
4．（2022七下·渠县期末）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32 B．0＜x＜16 C．8＜x＜16 D．8＜x＜32
5．（2023八上·杭州月考）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3≤a＜﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
6．（2023八上·荣昌开学考） 如果关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·黄陂期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若它有解，则．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七下·宣化期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下
二、填空题
9．（2022七下·镇江期末）如图，数轴上表示的是关于x的一元一次不等式组的解集，则m的取值范围是 .
10．（2024八上·杭州期末）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
11．（2023八上·萧山期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 ．
12．（2023八上·义乌期中）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是 ．
三、解答题
13．解下列不等式(组)，并把其解在数轴上表示出来．
（1） ≤1．
（2）
14．已知.
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y200的值．
15．（2023七下·江汉期末）定义运算：，已知，．
（1）直接写出： ， ；
（2）若关于的不等式组无解，求的取值范围；
（3）若的解集为，求不等式的解集．
16．（2023八上·杭州月考）某中学计划购买A型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买3套型和5套型课桌凳共需1640元.
（1）求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，求该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案 怎样的方案使总费用最低 并求出最低消费.
17．（2023七下·长沙期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是____．
A． B．
C． D．
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】根据一元一次不等式组的定义可知选项C正确，
故选：C.
【分析】根据一元一次不等式组的定义可判断.不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的.
2．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：
解得：
在数轴上表示：
其解构成的图形为：线段，
故答案为：B.
【分析】先解出两个一元一次不等式，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，据此即可求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出来即可.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解方程 3x+m＝x﹣5 得
方程的解为负数，
解得：m>-5，
解 不等式组 得，
不等式组的解集为y＞﹣2，
整数m的值为，-4，-3，-2，
满足题意的整数m的和为-9，
故答案为：B.
【分析】先表示出方程的解，由方程的解为负数确定m的取值范围，在表示出不等式组的解集，由已知解集确定出m的取值范围，进而求出满足题意得m的值，从而求解.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的周长为32，腰长为x，
底边长为，
根据三角形三边关系，
得
解得
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意可得底边长为32-2x，然后根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得关于x的不等式组，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥a，
由②得x＜，
∵该不等式组共有4个整数解，
∴这个不等式组的解集为a≤x＜，且四个整数解为1、0、-1、-2，
∴-3＜a≤-2.
故答案为：A.
【分析】将a作为字母系数解出不等式组中两个不等式的解集，根据该不等式组共有4个整数解可得四个整数解为1、0、-1、-2，从而即可得出字母系数a的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解：由①得：x≤5
由②得：
则
∵此不等式组有且只有3个奇数解
∴
则
∵
∴ y=
∵ 此方程的解是非负整数
∴≥0
解得：a≤
综上，a的取值范围是：-1≤a≤
则整数a的值是：-1，1，3
则符合条件的所有整数的积为（-1）×1×3=-3
故答案为：A.
【分析】本题考查一元一次不等式组的特殊解和一元一次方程的特殊解。先解不等式组，求出不等式组的解集，根据要求，求出a的取值范围，此时要慎重找出不等式端点的范围，再解方程，根据要求，求a的范围，综合两种情况下a的取值范围，即可求解。
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解①得x＞1，
解②得x≤，
∴不等式组的解集为1＜x≤，
A、若它的解集是，
则=3，解得a=4，故此项错误；
B、当， 解②得x≤1，则不等式组无解，故此项正确；
C、若它的整数解仅有3个，则4≤＜5，
解得：9≤a＜11，故此项错误；
D、若它有解，则＞1，解得a＞3，故此项正确；
∴正确的结论有2个.
故答案为：B.
【分析】先确定不等式组的解集为1＜x≤，再根据各小题的条件逐一解答，再判断即可.
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设玻璃球的体积为xcm3，根据题意可得
不等式组，
解得40＜x＜50，
则一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故答案为：C．
【分析】设玻璃球的体积为xcm3，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解．
9．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
∴.
故答案为：.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据数轴可得不等式组的解集为x<2，据此可得m的范围.
10．【答案】15
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x≥1，
由②得x≤，
∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴4≤m＜8；
解关于y的方程 得，，
∵该方程的解为非负数，
∴，
∴m≤6，
综上所述，m的取值范围为：4≤m≤6，
∴整数m为4、5、6，
∴ 满足条件的所有整数m的和为4+5+6=15.
故答案为：15.
【分析】将m作为字母系数，根据解不等式的步骤求出不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组有解且至多有2个整数解，可得，求解得出m的取值范围；再将m作为字母系数解方程，由该方程的解为非负数，可得，再求解可得符合题意得m的取值范围为4≤m≤6，从而此题就易得答案了.
11．【答案】1≤x＜7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：1≤x＜7.
故答案为：1≤x＜7.
【分析】 由需要经过2次运算才能输出结果 ，可建立不等式组，解之即可.
12．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
第二次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
第三次敲击后铁钉进入木块的长度是×a=acm，
根据题意得，
∴a的取值范围是：≤a＜．
故答案为：≤a＜.
【分析】根据题意得出第二次和第三次敲击后铁钉进入木块的长度分别为acm和acm，从而得出，解不等式组求出a的取值范围，即可得出答案.
13．【答案】（1）解：，
则.
解集在数轴上表示如下
（2）解：由，得，
由，得，
则不等式组的解集为.
解集在数轴上表示如下
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先将不等式的分母去掉，利用移项合并同类项解出不等式的解集，最后在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
14．【答案】（1）解：由题意得解得a+b=20．
（2）解：∵，且，．
∴；解得
∴7+y200=7×2+(-1)200=15．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等关系式，解得a+b。
（2）根据二次根式的非负性，可以列出关于x、y的方程组，解出x、y的值，再代入求值。
15．【答案】（1）2；1
（2）解：把，代入得，
∴不等式组可转化为，
解得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）解：不等式转化为，
整理，得：，
∵的解集为，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
不等式转化为，
整理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意根据f（2，3）=7和f（3，4）=10可得：
，
解之可得：a=2，b=1；
故答案为：2，1；
【分析】（1）由题意根据f（2，3）=7和f（3，4）=10可得关于a、b的方程组，解之可求解；
（2）根据（1）中求得的a、b的值并结合已知的不等式组可得关于x的一元一次不等式组，解之可求出x的范围，再根据不等式组无解可得关于t的不等式，解之可求解；
（3）将f（mx+3n，2m-nx）≥3m+4n转化为关于x的不等式，解之可得不等式的解集，再结合已知的不等式的解集可得m、n之间的关系，然后根据新运算和所求不等式即可求解.
16．【答案】（1）解：设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套
则，
解得.
答：购买A型需180元/套，B型需220元/套；
（2）解：设购买A型x套，B型(200-x)套.
则，
解得78≤x≤80
又是整数，
.
当时
当时
当时
当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套，根据题中的两个相等关系“A型课桌凳的单价=B型课桌凳的单价-40，3套A型课桌凳的价格+5套B型课桌凳的价格=1640”可列关于a、b的二元一次方程组，解方程组可求解；
（2）设购买A型x套，B型(200-x)套，根据题中的两个不等关系可列关于x的不等式组，解这个不等式组即可求解.
17．【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】（1）A、由，可得，∴A不符合题意；
B、由，可得x＞1，∴B不符合题意；
C、由，可得，∴C符合题意；
D、∵无解，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】（1）分别求出各选项的解集，再判断即可；
（2）先根据题意可得不等式组，求出，再利用方程组求出，将其代入求出，再结合可得，从而得解；
（3）先求出，再结合，求出，可得k的值为，0，1，2； 再结合“P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含””可得，且， 求出，最后可得.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）2.6一元一次不等式组 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册8.3 一元一次不等式组（1）同步练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】根据一元一次不等式组的定义可知选项C正确，
故选：C.
【分析】根据一元一次不等式组的定义可判断.不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的.
2．把不等式组的解用数轴上的点表示出来，则其解构成的图形为（ ）
A．射线 B．线段 C．直线 D．长方形
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：
解得：
在数轴上表示：
其解构成的图形为：线段，
故答案为：B.
【分析】先解出两个一元一次不等式，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，据此即可求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出来即可.
3．（2023八上·开州期中）若数m使关于x的方程3x+m＝x﹣5的解为负数，且使关于y的不等式组的解集为y＞﹣2，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．﹣14 B．﹣9 C．﹣7 D．7
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解方程 3x+m＝x﹣5 得
方程的解为负数，
解得：m>-5，
解 不等式组 得，
不等式组的解集为y＞﹣2，
整数m的值为，-4，-3，-2，
满足题意的整数m的和为-9，
故答案为：B.
【分析】先表示出方程的解，由方程的解为负数确定m的取值范围，在表示出不等式组的解集，由已知解集确定出m的取值范围，进而求出满足题意得m的值，从而求解.
4．（2022七下·渠县期末）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32 B．0＜x＜16 C．8＜x＜16 D．8＜x＜32
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的周长为32，腰长为x，
底边长为，
根据三角形三边关系，
得
解得
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意可得底边长为32-2x，然后根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得关于x的不等式组，求解即可.
5．（2023八上·杭州月考）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3≤a＜﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥a，
由②得x＜，
∵该不等式组共有4个整数解，
∴这个不等式组的解集为a≤x＜，且四个整数解为1、0、-1、-2，
∴-3＜a≤-2.
故答案为：A.
【分析】将a作为字母系数解出不等式组中两个不等式的解集，根据该不等式组共有4个整数解可得四个整数解为1、0、-1、-2，从而即可得出字母系数a的取值范围.
6．（2023八上·荣昌开学考） 如果关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解：由①得：x≤5
由②得：
则
∵此不等式组有且只有3个奇数解
∴
则
∵
∴ y=
∵ 此方程的解是非负整数
∴≥0
解得：a≤
综上，a的取值范围是：-1≤a≤
则整数a的值是：-1，1，3
则符合条件的所有整数的积为（-1）×1×3=-3
故答案为：A.
【分析】本题考查一元一次不等式组的特殊解和一元一次方程的特殊解。先解不等式组，求出不等式组的解集，根据要求，求出a的取值范围，此时要慎重找出不等式端点的范围，再解方程，根据要求，求a的范围，综合两种情况下a的取值范围，即可求解。
7．（2023七下·黄陂期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若它有解，则．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解①得x＞1，
解②得x≤，
∴不等式组的解集为1＜x≤，
A、若它的解集是，
则=3，解得a=4，故此项错误；
B、当， 解②得x≤1，则不等式组无解，故此项正确；
C、若它的整数解仅有3个，则4≤＜5，
解得：9≤a＜11，故此项错误；
D、若它有解，则＞1，解得a＞3，故此项正确；
∴正确的结论有2个.
故答案为：B.
【分析】先确定不等式组的解集为1＜x≤，再根据各小题的条件逐一解答，再判断即可.
8．（2023七下·宣化期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设玻璃球的体积为xcm3，根据题意可得
不等式组，
解得40＜x＜50，
则一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故答案为：C．
【分析】设玻璃球的体积为xcm3，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解．
二、填空题
9．（2022七下·镇江期末）如图，数轴上表示的是关于x的一元一次不等式组的解集，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
∴.
故答案为：.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据数轴可得不等式组的解集为x<2，据此可得m的范围.
10．（2024八上·杭州期末）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】15
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x≥1，
由②得x≤，
∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴4≤m＜8；
解关于y的方程 得，，
∵该方程的解为非负数，
∴，
∴m≤6，
综上所述，m的取值范围为：4≤m≤6，
∴整数m为4、5、6，
∴ 满足条件的所有整数m的和为4+5+6=15.
故答案为：15.
【分析】将m作为字母系数，根据解不等式的步骤求出不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组有解且至多有2个整数解，可得，求解得出m的取值范围；再将m作为字母系数解方程，由该方程的解为非负数，可得，再求解可得符合题意得m的取值范围为4≤m≤6，从而此题就易得答案了.
11．（2023八上·萧山期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 ．
【答案】1≤x＜7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：1≤x＜7.
故答案为：1≤x＜7.
【分析】 由需要经过2次运算才能输出结果 ，可建立不等式组，解之即可.
12．（2023八上·义乌期中）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
第二次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
第三次敲击后铁钉进入木块的长度是×a=acm，
根据题意得，
∴a的取值范围是：≤a＜．
故答案为：≤a＜.
【分析】根据题意得出第二次和第三次敲击后铁钉进入木块的长度分别为acm和acm，从而得出，解不等式组求出a的取值范围，即可得出答案.
三、解答题
13．解下列不等式(组)，并把其解在数轴上表示出来．
（1） ≤1．
（2）
【答案】（1）解：，
则.
解集在数轴上表示如下
（2）解：由，得，
由，得，
则不等式组的解集为.
解集在数轴上表示如下
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先将不等式的分母去掉，利用移项合并同类项解出不等式的解集，最后在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
14．已知.
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y200的值．
【答案】（1）解：由题意得解得a+b=20．
（2）解：∵，且，．
∴；解得
∴7+y200=7×2+(-1)200=15．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等关系式，解得a+b。
（2）根据二次根式的非负性，可以列出关于x、y的方程组，解出x、y的值，再代入求值。
15．（2023七下·江汉期末）定义运算：，已知，．
（1）直接写出： ， ；
（2）若关于的不等式组无解，求的取值范围；
（3）若的解集为，求不等式的解集．
【答案】（1）2；1
（2）解：把，代入得，
∴不等式组可转化为，
解得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）解：不等式转化为，
整理，得：，
∵的解集为，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
不等式转化为，
整理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意根据f（2，3）=7和f（3，4）=10可得：
，
解之可得：a=2，b=1；
故答案为：2，1；
【分析】（1）由题意根据f（2，3）=7和f（3，4）=10可得关于a、b的方程组，解之可求解；
（2）根据（1）中求得的a、b的值并结合已知的不等式组可得关于x的一元一次不等式组，解之可求出x的范围，再根据不等式组无解可得关于t的不等式，解之可求解；
（3）将f（mx+3n，2m-nx）≥3m+4n转化为关于x的不等式，解之可得不等式的解集，再结合已知的不等式的解集可得m、n之间的关系，然后根据新运算和所求不等式即可求解.
16．（2023八上·杭州月考）某中学计划购买A型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买3套型和5套型课桌凳共需1640元.
（1）求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，求该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案 怎样的方案使总费用最低 并求出最低消费.
【答案】（1）解：设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套
则，
解得.
答：购买A型需180元/套，B型需220元/套；
（2）解：设购买A型x套，B型(200-x)套.
则，
解得78≤x≤80
又是整数，
.
当时
当时
当时
当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套，根据题中的两个相等关系“A型课桌凳的单价=B型课桌凳的单价-40，3套A型课桌凳的价格+5套B型课桌凳的价格=1640”可列关于a、b的二元一次方程组，解方程组可求解；
（2）设购买A型x套，B型(200-x)套，根据题中的两个不等关系可列关于x的不等式组，解这个不等式组即可求解.
17．（2023七下·长沙期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是____．
A． B．
C． D．
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】（1）A、由，可得，∴A不符合题意；
B、由，可得x＞1，∴B不符合题意；
C、由，可得，∴C符合题意；
D、∵无解，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】（1）分别求出各选项的解集，再判断即可；
（2）先根据题意可得不等式组，求出，再利用方程组求出，将其代入求出，再结合可得，从而得解；
（3）先求出，再结合，求出，可得k的值为，0，1，2； 再结合“P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含””可得，且， 求出，最后可得.
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