【培优卷】北师大版数学八（下）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023八下·西安月考）若是关于的一元一次不等式.则的值为（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．0或2
2．（2020八下·郑州月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·毕节期末）已知实数，，满足，，则下列判断正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022八下·本溪期中）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜8 B．6≤a＜8 C．6＜a≤8 D．6≤a≤8
5．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a(x-1)-b>0的解集为（ ）
A．x＜－1 B．x＞－1 C．x＞1 D．x＜1
6．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022八下·大田期中）如果不等式组的整数解仅为1，2，那么适合这个不等式组的整数，的有序数对共有（ ）
A．4个 B．6个 C．9个 D．12个
8．（2021八下·重庆开学考）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）
A．2 B．7 C．11 D．10
9．（2023八下·深圳期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：2.6 一元一次不等式组 课时2 一元一次不等式组的应用）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的 .已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2 cm，若铁钉总长度为a cm，则a满足（ ）
A．2.5
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023八下·济阳期中）如果直线与直线相交于第三象限，则实数的取值范围是 ．
12．（2023八下·兴宁期末）我们定义一种新运算：，如，则关于a的不等式的最小整数解为 ．
13．（2023八下·武汉期末）一次函数与交于点A，有下列结论：
①关于x的方程的解为；
②关于x的不等式组的解集为；
③；
④若，则或
其中正确的结论是 ．（填写序号）
14．（2023八下·佛山期末）某商家以元件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于，则每件套装礼品最多可打 折
15．（2023八下·南岸期末）自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作．到6月底，某市部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区有72户业主参加，其中参加户数低于60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参加．根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主参加，且该市这部分小区个数不低于50，且不高于70，则这部分小区有 个．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023八下·佛山期末）解不等式组：，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
17．（2021八下·五华期中）已知方程的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
18．（2023八下·顺德期中）已知一次函数，．
（1）若关于的方程的解为负数，求的取值范围；
（2）若关于的不等式组的解集为，求的值；
（3）在(2)的条件下，若等腰三角形的两边分别为和，求该三角形的面积．
19．（2023八下·恩施期末） 202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式：（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少．
20．（2023八下·南岸期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，元，据我了解这套书进价只有 元．”
班委B：“你可以花元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
21．（2023八下·珠山期中）阅读材料并完成相应的任务．
小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？
【回顾】
小逸回顾做过的一道简单的类似题目：
已知，设，那么的取值范围是 ① ．
【探究】
小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．
由得，则，
由，，得关于的一元一次不等式组 ② ，
解该不等式组得到的取值范围为 ③ ，
则的取值范围是 ④ ．
（1）任务一：补充材料中的信息．
①： ；②： ；③： ；④： ．
（2）任务二：（ⅰ）已知，且，，设，求的取值范围．
（ⅱ）若，且，，，设，且为整数，求所有可能的值的和．
22．（2021八下·广水期末）阅读材料：基本不等式 当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时， 有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0， ，∴ ≥2 ，∴ ，当且仅当 时，即x=1时，有 有最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当 >0时，设 ，则当且仅当 = 时，y有最 值为 ；
（2）若 ＞0，函数 ，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式的概念可得：a-2≠0且|a-1|=1，求解可得a的值.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】A、是二元一次不等式组，故A错误；
B、是一元一次不等式组，故B正确；
C、是一元二次不等式组，故C错误；
D、不是一元一次不等式组，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=-2a，
∴b2=4a2，
∵，
∴a-2a+c<0，
∴c∵a>0，
∴4a>0，
∴4a2>4ac，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等式，可得b=-2a，再结合求出c4ac，可得，从而得解.
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式2x-a≤0得到：x≤，
∵正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，
解得6≤a＜8．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式的解集x≤，再根据题意可得3≤＜4，最后求出a的取值范围即可。
5．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】依题意作图，
可知直线从左往右下降，则a＜0。直线交y轴于上半轴，说明b＞0。把点（2，0)代入原式解得b=-2a.
所以代入a(x-1)-b>0得a(x-1)+2a＞0.
解得a(x+1)＞0。所以x+1＜0.则不等式的解集为x＜-1.
选A.
【点评】本题难度中等。作图辅助判断出a，b值的范围为解题关键。做这类题要注意数形结合的思想。
6．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解仅为1，2，
∴，
∴，
∴整数m的值为5或6，整数n的值为0或1或2，
∴适合这个不等式组的整数，的有序数对有（5，0），（5，1），（5，2），（6，0），（6，1），（6，2），
故答案为：B.
【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，根据原不等式组有解，即得出其解集为，再由不等式组的整数解仅为1，2，得，整理解得m和n的取值范围，根据m和n均为整数，可得到m和n的值，即可得出所有适合这个不等式组的整数m，n的有序数对.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
由解集为 ，得到 ，即 ，
方程去分母得： ，即 ，
由 为非负整数，得 ( 为非负整数)，
整理得： ，
解得： ，
∴ 或1或2或3，
∴ (舍去)或 或 (舍去)或5，
∴ 或 ，
∴符合条件的所有整数m的积为 ，
故答案为：D.
【分析】将m作为常数解不等式，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可.
9．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】设这个球队在全部比赛中胜x场，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设这个球队在全部比赛中胜x场，根据“每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分”直接列出不等式即可。
10．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm
而此时还要敲击1次故长度要大于3cm，
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm
∴a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，
∴a的取值范围是：3＜a≤3.5 ；
故应选 ：D .
【分析】由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得联立方程，
∴，
∵直线与直线相交于第三象限，
∴，
解①得m＞-1，
解②得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：
【分析】先将方程联立得到x和y的值，再根据象限内点坐标的特征即可列出不等式组，解出不等式组即可求解。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得
，
解之：，
∴a的最小整数为-1
故答案为：-1.
【分析】利用定义新运算，列出不等式，然后求出不等式的解集，可得到不等式的最小整数解.
13．【答案】①②③
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与交于点A，
∴
解得：
∴与x轴的交点为（1，0），
由题意，画函数图象如下：
①由图象得：关于x的方程的解为，①正确；
②由图象得：关于x的不等式组的解集为，②正确；
③当b=5时，
解得：
∴当b＞5时，k＜-1，③正确；
④∵ ，
∴
解得：
由三角形全等得：④错误；
综上所述：正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】①根据一次函数与方程的关系求解；②根据函数图象求解；③根据一次函数的性质与系数的关系求解；④根据三角形全等的性质求解.
14．【答案】7.5
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设：每件套装礼品最多可以打x折，
∴，
解得：
∴每件套装礼品最多可打7.5折，
故答案为：.
【分析】设：每件套装礼品最多可以打x折，根据题干：为了保证利润率不低于，列不等式，即可求解本题.
15．【答案】56
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区，每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，
不低于60户的会在y户的基础上增加e户，即：低于60户有(x-e) 个小区，不低于60户的有(y+e)个小区，
由题意得： 72 (x+y) =56x+ 84y，
化简得： 4x=3y① ，
同时有： 58 (x-e) +90 (y+e) =82 (x+y)，
化简得： 3x-y=4e②，
由①②解得： x=2.4e；y=3.2e，
∵x，y，e都是正整数，且50≤x+y≤70，
∴50≤5.6e≤70，
∴e=10，x=24，y=32，
∴x+y=56，
故答案为： 56.
【分析】设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区，根据题意列出方程 72 (x+y) =56x+ 84y，58 (x-
e) +90 (y+e) =82 (x+y)，再求出x=2.4e；y=3.2e，再结合50≤x+y≤70，可得50≤5.6e≤70，再求出e=10，x=24，y=32，最后求出x+y=56即可.
16．【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示解集为：
不等式组的最大整数解为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，据此即可求出该不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
17．【答案】（1）解：由方程组，得，
∵方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得，，
即的取值范围是；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：由不等式得，当时，，当时，，当时，该不等式无解，
∵不等式的解集为，
∴，得，
∵，
∴，
∴当为整数时，，
即在的取值范围内，当时，不等式的解集为．
【知识点】解二元一次方程组；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程的方法和解一元一次不等式的方法可以求得m的取值范围；
（2）根据（1）中的m的取值范围，可以化简题中的式子；
（3）根据解一元一次不等式的方法和不等式的解集为x>1，即可求出m的值。
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
关于的方程的解为负数，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
由得：，
由得：，
，
，
，
解之得：，，
；
（3）解：分两种情况：是腰，是底，
，
能构成三角形，
如图所示：，，，
过点作，
，，
，，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为：，
：是腰，是底，
能构成三角形，
如图所示：，，，
过点作，
，，
，，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为：，
综上可知：等腰三角形的面积为或．
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，换元得：再根据负数的定义，即可求出a的取值范围；
（2）分别解两个一元一次不等式组，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"求出公共解集，结合题意即可求出a和b的值，进而求出的值；
（3）根据等腰三角形的定义知：需分两种情况：①是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积，②是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积.
19．【答案】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，
根据题意，得：，解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，解得：，
在中，∵，∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，即最大利润为5600元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元可得5m+10n=700；根据销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元可得10m+5n=800，联立求解即可；
（2）①根据A的利润×个数+B的利润×个数=总利润可得y与x的关系式；
②根据购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍可得关于x的不等式组，求出x的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
20．【答案】（1）60；；12
（2）解：设当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，
，解得：．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠．
（3）当购买书款在大于 元且少于 元时，办会员卡购书最省钱
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：利润=160-100=60（元）
利润率为
办会员卡可省（元）
故答案为60，60%，12；
（3）设这批书的总价为y，办贵宾卡所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡所需总费用为（20+0.8y）元
由题意可得，
解得100答： 当购买书款在大于 元且少于 元时，办会员卡购书最省钱 。
【分析】（1）利润=售价-进价；；办会员卡可省价钱=原价-（原价·折扣率）-办卡费用
（2）假设未知量，根据题意列方程，解方程即可求出答案。
（3）设这批书的总价为y，办贵宾卡总费用为（100+0.6y）元，办会员卡所需总费用为（20+0.8y）元，根据题意列出不等式组即可求出答案。
21．【答案】（1）；；；
（2）解：（ⅰ）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解该不等式组得，
∴，
∴的取值范围为；
（ⅱ）∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解得，
∴，
∴的取值范围为，
∵为整数，
∴的取值为，，，
∴所有可能的值的和为，
∴所有可能的值的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解： 【回顾】 已知，设 ，
∴-2＜x-1＜2，
解得：-2＜y＜2；
故答案为：-2＜y＜2；
【探究】 由得，则，
由，，得关于的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到的取值范围为 ，
则的取值范围是 ．
故答案为：，，；
【分析】【回顾】利用不等式的性质求出x-1的范围即可；
（1）【探究】，求出， 由， 建立x不等式组，解之即得x范围，从而得出a的范围；
（2）（ⅰ） 由，， 可得 ， ， 根据 ，， 建立关于y的不等式组并解之，即得y的范围，利用不等式的性质求出， 即可求出k的范围；
（ⅱ） ：根据已知得出，， b=-y-4，根据，，建立关于y的不等式组，可得， 继而求出-y-4的范围，即得b的范围，再求出b的整数解，然后相加即可.
22．【答案】（1）2；小；4
（2）解：∵x＞0
∴
∴y= ≥2
当且仅当 即x= 时，y有最小值2
（3）解：设两直角边分别为a，b，斜边为c
由题意得： ，且由勾股定理得：
∴ab=16
∵a＞0，b＞0
∴ =ab
∴ ，
∵
∴
∴ ≥8+4
当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】（1）∵x>0
∴
∴y= ≥4
当且仅当 即x= 时，y有最小值4.
故答案为：2，小，4
【分析】（1）利用基本不等式解答即可；
（2）利用基本不等式解答即可；
（3） 设两直角边分别为a，b斜边为c，利用直角三角形的面积勾股定理可求出ab=16， ，由a＞0，b＞0，利用基本不等式可得 =ab，从而得出 ， ，由于，可得，据此求出最小值即可.
1 / 1【培优卷】北师大版数学八（下）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023八下·西安月考）若是关于的一元一次不等式.则的值为（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．0或2
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式的概念可得：a-2≠0且|a-1|=1，求解可得a的值.
2．（2020八下·郑州月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】A、是二元一次不等式组，故A错误；
B、是一元一次不等式组，故B正确；
C、是一元二次不等式组，故C错误；
D、不是一元一次不等式组，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案.
3．（2023八下·毕节期末）已知实数，，满足，，则下列判断正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=-2a，
∴b2=4a2，
∵，
∴a-2a+c<0，
∴c∵a>0，
∴4a>0，
∴4a2>4ac，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等式，可得b=-2a，再结合求出c4ac，可得，从而得解.
4．（2022八下·本溪期中）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜8 B．6≤a＜8 C．6＜a≤8 D．6≤a≤8
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式2x-a≤0得到：x≤，
∵正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，
解得6≤a＜8．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式的解集x≤，再根据题意可得3≤＜4，最后求出a的取值范围即可。
5．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a(x-1)-b>0的解集为（ ）
A．x＜－1 B．x＞－1 C．x＞1 D．x＜1
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】依题意作图，
可知直线从左往右下降，则a＜0。直线交y轴于上半轴，说明b＞0。把点（2，0)代入原式解得b=-2a.
所以代入a(x-1)-b>0得a(x-1)+2a＞0.
解得a(x+1)＞0。所以x+1＜0.则不等式的解集为x＜-1.
选A.
【点评】本题难度中等。作图辅助判断出a，b值的范围为解题关键。做这类题要注意数形结合的思想。
6．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
7．（2022八下·大田期中）如果不等式组的整数解仅为1，2，那么适合这个不等式组的整数，的有序数对共有（ ）
A．4个 B．6个 C．9个 D．12个
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解仅为1，2，
∴，
∴，
∴整数m的值为5或6，整数n的值为0或1或2，
∴适合这个不等式组的整数，的有序数对有（5，0），（5，1），（5，2），（6，0），（6，1），（6，2），
故答案为：B.
【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，根据原不等式组有解，即得出其解集为，再由不等式组的整数解仅为1，2，得，整理解得m和n的取值范围，根据m和n均为整数，可得到m和n的值，即可得出所有适合这个不等式组的整数m，n的有序数对.
8．（2021八下·重庆开学考）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）
A．2 B．7 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
由解集为 ，得到 ，即 ，
方程去分母得： ，即 ，
由 为非负整数，得 ( 为非负整数)，
整理得： ，
解得： ，
∴ 或1或2或3，
∴ (舍去)或 或 (舍去)或5，
∴ 或 ，
∴符合条件的所有整数m的积为 ，
故答案为：D.
【分析】将m作为常数解不等式，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可.
9．（2023八下·深圳期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】设这个球队在全部比赛中胜x场，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设这个球队在全部比赛中胜x场，根据“每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分”直接列出不等式即可。
10．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：2.6 一元一次不等式组 课时2 一元一次不等式组的应用）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的 .已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2 cm，若铁钉总长度为a cm，则a满足（ ）
A．2.5【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm
而此时还要敲击1次故长度要大于3cm，
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm
∴a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，
∴a的取值范围是：3＜a≤3.5 ；
故应选 ：D .
【分析】由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023八下·济阳期中）如果直线与直线相交于第三象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得联立方程，
∴，
∵直线与直线相交于第三象限，
∴，
解①得m＞-1，
解②得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：
【分析】先将方程联立得到x和y的值，再根据象限内点坐标的特征即可列出不等式组，解出不等式组即可求解。
12．（2023八下·兴宁期末）我们定义一种新运算：，如，则关于a的不等式的最小整数解为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得
，
解之：，
∴a的最小整数为-1
故答案为：-1.
【分析】利用定义新运算，列出不等式，然后求出不等式的解集，可得到不等式的最小整数解.
13．（2023八下·武汉期末）一次函数与交于点A，有下列结论：
①关于x的方程的解为；
②关于x的不等式组的解集为；
③；
④若，则或
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与交于点A，
∴
解得：
∴与x轴的交点为（1，0），
由题意，画函数图象如下：
①由图象得：关于x的方程的解为，①正确；
②由图象得：关于x的不等式组的解集为，②正确；
③当b=5时，
解得：
∴当b＞5时，k＜-1，③正确；
④∵ ，
∴
解得：
由三角形全等得：④错误；
综上所述：正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】①根据一次函数与方程的关系求解；②根据函数图象求解；③根据一次函数的性质与系数的关系求解；④根据三角形全等的性质求解.
14．（2023八下·佛山期末）某商家以元件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于，则每件套装礼品最多可打 折
【答案】7.5
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设：每件套装礼品最多可以打x折，
∴，
解得：
∴每件套装礼品最多可打7.5折，
故答案为：.
【分析】设：每件套装礼品最多可以打x折，根据题干：为了保证利润率不低于，列不等式，即可求解本题.
15．（2023八下·南岸期末）自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作．到6月底，某市部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区有72户业主参加，其中参加户数低于60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参加．根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主参加，且该市这部分小区个数不低于50，且不高于70，则这部分小区有 个．
【答案】56
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区，每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，
不低于60户的会在y户的基础上增加e户，即：低于60户有(x-e) 个小区，不低于60户的有(y+e)个小区，
由题意得： 72 (x+y) =56x+ 84y，
化简得： 4x=3y① ，
同时有： 58 (x-e) +90 (y+e) =82 (x+y)，
化简得： 3x-y=4e②，
由①②解得： x=2.4e；y=3.2e，
∵x，y，e都是正整数，且50≤x+y≤70，
∴50≤5.6e≤70，
∴e=10，x=24，y=32，
∴x+y=56，
故答案为： 56.
【分析】设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区，根据题意列出方程 72 (x+y) =56x+ 84y，58 (x-
e) +90 (y+e) =82 (x+y)，再求出x=2.4e；y=3.2e，再结合50≤x+y≤70，可得50≤5.6e≤70，再求出e=10，x=24，y=32，最后求出x+y=56即可.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023八下·佛山期末）解不等式组：，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示解集为：
不等式组的最大整数解为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，据此即可求出该不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
17．（2021八下·五华期中）已知方程的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
【答案】（1）解：由方程组，得，
∵方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得，，
即的取值范围是；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：由不等式得，当时，，当时，，当时，该不等式无解，
∵不等式的解集为，
∴，得，
∵，
∴，
∴当为整数时，，
即在的取值范围内，当时，不等式的解集为．
【知识点】解二元一次方程组；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程的方法和解一元一次不等式的方法可以求得m的取值范围；
（2）根据（1）中的m的取值范围，可以化简题中的式子；
（3）根据解一元一次不等式的方法和不等式的解集为x>1，即可求出m的值。
18．（2023八下·顺德期中）已知一次函数，．
（1）若关于的方程的解为负数，求的取值范围；
（2）若关于的不等式组的解集为，求的值；
（3）在(2)的条件下，若等腰三角形的两边分别为和，求该三角形的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
关于的方程的解为负数，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
由得：，
由得：，
，
，
，
解之得：，，
；
（3）解：分两种情况：是腰，是底，
，
能构成三角形，
如图所示：，，，
过点作，
，，
，，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为：，
：是腰，是底，
能构成三角形，
如图所示：，，，
过点作，
，，
，，
由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为：，
综上可知：等腰三角形的面积为或．
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，换元得：再根据负数的定义，即可求出a的取值范围；
（2）分别解两个一元一次不等式组，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"求出公共解集，结合题意即可求出a和b的值，进而求出的值；
（3）根据等腰三角形的定义知：需分两种情况：①是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积，②是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积.
19．（2023八下·恩施期末） 202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式：（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少．
【答案】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，
根据题意，得：，解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，解得：，
在中，∵，∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，即最大利润为5600元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元可得5m+10n=700；根据销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元可得10m+5n=800，联立求解即可；
（2）①根据A的利润×个数+B的利润×个数=总利润可得y与x的关系式；
②根据购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍可得关于x的不等式组，求出x的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
20．（2023八下·南岸期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，元，据我了解这套书进价只有 元．”
班委B：“你可以花元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【答案】（1）60；；12
（2）解：设当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，
，解得：．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为 元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠．
（3）当购买书款在大于 元且少于 元时，办会员卡购书最省钱
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：利润=160-100=60（元）
利润率为
办会员卡可省（元）
故答案为60，60%，12；
（3）设这批书的总价为y，办贵宾卡所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡所需总费用为（20+0.8y）元
由题意可得，
解得100答： 当购买书款在大于 元且少于 元时，办会员卡购书最省钱 。
【分析】（1）利润=售价-进价；；办会员卡可省价钱=原价-（原价·折扣率）-办卡费用
（2）假设未知量，根据题意列方程，解方程即可求出答案。
（3）设这批书的总价为y，办贵宾卡总费用为（100+0.6y）元，办会员卡所需总费用为（20+0.8y）元，根据题意列出不等式组即可求出答案。
21．（2023八下·珠山期中）阅读材料并完成相应的任务．
小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？
【回顾】
小逸回顾做过的一道简单的类似题目：
已知，设，那么的取值范围是 ① ．
【探究】
小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．
由得，则，
由，，得关于的一元一次不等式组 ② ，
解该不等式组得到的取值范围为 ③ ，
则的取值范围是 ④ ．
（1）任务一：补充材料中的信息．
①： ；②： ；③： ；④： ．
（2）任务二：（ⅰ）已知，且，，设，求的取值范围．
（ⅱ）若，且，，，设，且为整数，求所有可能的值的和．
【答案】（1）；；；
（2）解：（ⅰ）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解该不等式组得，
∴，
∴的取值范围为；
（ⅱ）∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解得，
∴，
∴的取值范围为，
∵为整数，
∴的取值为，，，
∴所有可能的值的和为，
∴所有可能的值的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解： 【回顾】 已知，设 ，
∴-2＜x-1＜2，
解得：-2＜y＜2；
故答案为：-2＜y＜2；
【探究】 由得，则，
由，，得关于的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到的取值范围为 ，
则的取值范围是 ．
故答案为：，，；
【分析】【回顾】利用不等式的性质求出x-1的范围即可；
（1）【探究】，求出， 由， 建立x不等式组，解之即得x范围，从而得出a的范围；
（2）（ⅰ） 由，， 可得 ， ， 根据 ，， 建立关于y的不等式组并解之，即得y的范围，利用不等式的性质求出， 即可求出k的范围；
（ⅱ） ：根据已知得出，， b=-y-4，根据，，建立关于y的不等式组，可得， 继而求出-y-4的范围，即得b的范围，再求出b的整数解，然后相加即可.
22．（2021八下·广水期末）阅读材料：基本不等式 当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时， 有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0， ，∴ ≥2 ，∴ ，当且仅当 时，即x=1时，有 有最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当 >0时，设 ，则当且仅当 = 时，y有最 值为 ；
（2）若 ＞0，函数 ，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值.
【答案】（1）2；小；4
（2）解：∵x＞0
∴
∴y= ≥2
当且仅当 即x= 时，y有最小值2
（3）解：设两直角边分别为a，b，斜边为c
由题意得： ，且由勾股定理得：
∴ab=16
∵a＞0，b＞0
∴ =ab
∴ ，
∵
∴
∴ ≥8+4
当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】（1）∵x>0
∴
∴y= ≥4
当且仅当 即x= 时，y有最小值4.
故答案为：2，小，4
【分析】（1）利用基本不等式解答即可；
（2）利用基本不等式解答即可；
（3） 设两直角边分别为a，b斜边为c，利用直角三角形的面积勾股定理可求出ab=16， ，由a＞0，b＞0，利用基本不等式可得 =ab，从而得出 ， ，由于，可得，据此求出最小值即可.
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