数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的最值 课件（共36张ppt）

(共36张PPT)
人教A版 选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的最值
教学目标
1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．
3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．
01
复习导入
复习导入
思考：如何用导数的方法判断函数的极值？
解方程，当 时：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值
（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.
情景导入
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？
02
函数的最值
新知探究
思考1：下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗
观察图象，我们发现，，，是函数的极小值，，，是函数的极大值.
从上图中可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.
l
追问1：进一步地，你能找出函数在区间上的最小值、最大值吗？
新知探究
思考2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
新知探究
思考3 ：函数f(x)在区间(a，b)上的最值情况有哪些？
在开区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况：①图1中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；②图2中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；③图3中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；④图4中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值.
在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
新知探究
一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.函数的最值必在________处或__________处取得.
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
端点
极值点
新知探究
对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念；(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．
新知探究
思考4： 函数最值与极值有什么关系
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.
新知探究
思考5： 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢
① 求函数f(x)在(a, b)内的极值；
② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)；
③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
03
最值的简单应用
新知探究
判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一般地，连续函数 在 上既有最大值，又有最小值．( )
√
（2）函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只能有一个．( )
√
（3）最大（小）值一定是函数的极大（小）值．( )
×
（4）极大（小）值一定是函数的最大（小）值．( )
×
概念辨析
(5)开区间上的单调连续函数无最值.( )
√
(6)函数在区间上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( )
×
新知探究
例1.求函数在区间上的最大值与最小值.
题型一：求不含参数的函数的最值
解： ，当 时， 或 ；
当 时， .
所以在 上，当 时， 取得极小值，极小值为 .
又 ， ，
所以函数 在 上的最大值为4，最小值为 .
新知探究
练习1：求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，＋∞)上的最值．
新知探究
B
新知探究
题型二：由函数的最值确定参数
例2:（1）函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于(　　)A．3　 　　B．1 　　　C．2　　 　D．－1
B
新知探究
(2)已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．
(2)解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.f(0)>f(2)>f(－2)，所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.所以当x＝0时，f(x)max＝3.
新知探究
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．　
已知函数最值求参数的步骤
新知探究
练习：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
新知探究
新知探究
题型三：含参函数的最值问题
例3 已知 是实数，函数 ．
（1）若 ，求 的值及曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的最大值．
解：（1） ，
因为 ，所以 ．
又当 时， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
新知探究
（2）令 ，解得 ， ．
①当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，从而 ．
②当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，从而 ．
③当 ，即 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减；令 ，得 ，所以 在 上单调递增.从而
综上所述，
新知探究
方法总结
对于含参函数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．
新知探究
练习：已知函数 ．求函数 在 上的最小值．
解： ，
令 ，解得 ， ．
①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
②当 时， ， 在 上单调递增，所以 ．
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
综上所述，当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为0；
当 时， 的最小值为 ．
新知探究
题型四 　利用最值证明不等式
证明：将不等式转化为
设 ，那么
令，解得 x=1.
新知探究
当x变化时，的变化情况如下表所示.
x (0,1) 1
- 0 +
s(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以
即
所以，当 x>0时，
04
利用导数解决函数相关问题
新知探究
例5 给定.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程= ()的解的个数.
解：（1）函数的定义域为
x (－∞, －2) －2 (－2, +∞)
f '(x) 0
f (x)
当变化时，
的变化情况如表所示:
令f '(x) =0,解得：
∵f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex
–
+
单调递减
单调递增
所以，
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，
有极小值=
新知探究
（2）令=0，解得：
当时， 0; 当时， 0.
所以的图象经过特殊点A( ), B,C.
当时, 与一次函数相比, 指数函数 呈爆炸性增长,
从而
当时， ,
根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示:
x
y
O
1
-1
-2



新知探究
x
y
O
1
-1
-2



由(1)及图可得，当时，有最小值
所以，方程= 的解得个数有如下结论；
（3）方程=
)的解的个数为两函数图象交点的个数
新知探究
（1）求出函数f(x)的定义域；
（2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点；
（3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值；
（4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f(x)的大致图象.
通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象:
方法总结
05
课堂小结
课堂小结