5.1.1 变化率问题 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数,刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.
微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程;二是求曲线的切线;三是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰,终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念,蕴含着微积分的基本思想;导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.
在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例, 学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想,感悟极限的思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的意义.
5.1 导数的概念及其意义
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性,并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多. 进一步地,能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢 下面我们就来研究这个问题.
5.1.1 变化率问题
一、探究新知
问题1 高台跳水远动员的速度
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的
过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下
降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运
动时间段分成许多小段，用运动员在每段时
间内的平均速度v近似地描述他的运动状态.
在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+4.8t＋11.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢
例如,在0≤t≤0.5这段时间里,
在1≤t≤2这段时间里,
一般地,在t1≤t≤t2这段时间里,
一、探究新知
计算运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度，你发现了什么
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
为了精确刻画运动员运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
我们发现，运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度为0.显然，
在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
一、探究新知
瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是 ,可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度,那么 将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.
用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想.
为了求运动员在t=1时的瞬时速度,我们
在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+△t，
△t是时间改变量,可以是正值,也可以是负
值,但不为0.当△t>0时,1+△t在1之后;当△t<0时,1+△t在1之前.当△t>0时,把运动员在时间段[1，1+△t]内近似看成做匀速直线运动,计算时间段[1，1+△t]内的平均速度 ,用平均速度 近似表示运动员在t=1时的瞬时速度．当△t<0时,在时间段[1+△1，1]内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
一、探究新知
△t<0时,在时间段[1+△t,1]内 △t>0时,在时间段[1,1+△t]内
△t △t
-0.01 -4.951 0.01 -5.049
-0.001 -4.9951 0.001 -5.0049
-0.0001 -4.99951 0.0001 -5.00049
-0.00001 -4.999951 0.00001 -5.000049
-0.000001 -4.9999951 0.000001 -5.0000049
…… ……
二、瞬时速度与极限
给出△t更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 的值.当△t无限趋近于0时,平均速度 有什么变化趋势
我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度 都无限趋近于-5.
事实上，由 可以发现,当△t无限趋近
于0时，-4.9△t也无限趋近于0，所以 无限趋近于-5．这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把-5叫做“当△t无限趋近于0时,
的极限”,记为
从物理的角度看，当时间间隔|△t|无限趋近于0时，平均速度
就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=-5m/s.
三、探究新知
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.
如图，当点P(x，x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1，1)时，割线P0P有什么变化趋势
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为抛物线f(x)=x2在点P(1，1)处的切线.
三、探究新知
我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率k0呢
从上述切线的定义可见,抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记△x=x-1,则点P的坐标是(1＋△x，(1+△x)2)．于是,割线P0P的斜率
△x可以是正值,也可以是负值,但不为0.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|△x|来提高近似表示的精确度,得到如下表格.
三、探究新知
△x<0 △x>0
△x k=△x+2 △x k=△x+2
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.0001 1.9999 0.0001 2.0001
-0.00001 1.99999 0.00001 2.00001
-0.000001 1.999999 0.000001 2.000001
…… ……
三、探究新知
利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当△x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势
我们发现,当△x无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线P0P的斜率k都无限趋近于2.
事实上，由 可以直接看出,当△x无限趋近
于0时，△x+2无限趋近于2. 我们把2叫做“当△x无限趋近于0时,
的极限”,记为
从几何图形上看，当横坐标间隔|△x|无限变小时，点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T. 这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线PT的斜率k0．因此,切线P0T的斜率k0=2.
四、切线的斜率与极限
观察问题1中的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，平均速度
的几何意义是什么 瞬时速度v(1)呢
四、切线的斜率与极限
五、典型例题
例1 已知物体自由落体的运动方程为s= gt2.求:
(1)物体在t=10s到10.1s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=10s时的瞬时速度.
五、典型例题
例2 求抛物线f(x)=x2+3在点(1,4)处的切线方程.
六、巩固提升
课堂练习: 第61页练习第2、3题
第64页练习第1、2题
课堂作业: 第70页习题5.1第1、2题