2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期1月期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期1月期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
2.设，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若实数，，满足且，则下列不等式一定成立的是
( )
A. B. C. D.
4.下列函数为奇函数且在上单调递增的是
( )
A. B. C. D.
5.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻，水面高度由图所示，图中为一线段，与之对应的容器的形状是( )
A. B.
C. D.
6.若为锐角，且，则
( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是
( )
A. B. C. D.
8.函数的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，且，在下列结论正确的是
( )
A. 有最小值为 B. 有最小值为
C. 有最大值为 D. 有最小值为
11.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为( )
A. B. C. D.
12.设，已知在上有且仅有个零点，则下列结论正确的是
( )
A. 在上有且仅有个最大值点 B. 在上有且仅有个最小值点
C. 在上单调递增 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ．
14.将函数的图象向右平移个单位，得到函数图象关于轴对称，则的最小值为 ．
15.已知，若，则 ．
16.如图，某学校有一块扇形空地，半径为，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边在扇形的一条半径上，另一边的两个端点，分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算求值
已知，求的值．
18.本小题分
已知二次函数满足．
求的解析式．
求在上的值域．
19.本小题分
已知集合，函数定义域为集合．
若，求实数的取值范围．
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
求的值及的表达式
隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
21.本小题分
已知
求的单调递增区间．
将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，若的图象在恰有条对称轴，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
解关于的方程；
设函数，若在上的最小值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可．
【详解】对于，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故 A错误；
对于，表示有理数集，为无理数，则，故 B错误；
对于，表示自然数集，表示整数集，则，故 C正确；
对于，，则，故 D错误．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】
解：，
当时，则，充分性成立，
当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】由已知条件可得出，，再利用不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】由，可得，，
对于选项A：因为，可得，故选项 A不正确；
对于选项B：因为，可得，故选项 B不正确；
对于选项C：因为，当时，；故选项 C不正确；
对于选项D：因为，所以，所以，故选项 D正确；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据选项中的函数依次进行定义域，奇偶性和单调性求解与判断即得．
【详解】对于项，函数的定义域为，是奇函数，
由其图象可知函数在上递减，在上递增，故 A项错误；
对于项，因，定义域为，且为奇函数，
它的递增区间可由求得，故显然该函数在上必不是增函数，故 B项错误；
对于项，，显然该函数定义域为，且为奇函数，又，故幂函数在上为增函数，故 C项正确；
对于项，的 定义域为，且，则函数为偶函数，故 D项错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】利用时间和高等的变化可知容器先是越往上越小，然后成规则直线上升状，从而求得结果．
【详解】由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，
并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，
再由为直线段，容器上端必是直的 一段，
故排除，，，
故选B．
该题考查的是有关根据函数图象选择容器形状的问题，涉及到的知识点有通过图象看出其变化的速度快与慢的问题，从而得到其形状，选出正确结果．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式的应用，属于中档题．
由条件化简可得，结合为锐角，得到结果．
【解答】
解：，
，
，
为锐角，
，
，，
，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性等函数的重要性质，还考查了方程根的问题，综合性较强，解题的关键是根据奇偶性和对称性得出周期性．
根据函数是奇函数，且满足，推出函数的周期性，然后判断方程在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程在区间上所有实根之和．
【解答】
解：由知函数的图象关于直线对称，
下面证明是一个周期函数，
由是上的奇函数知，
所以是以为周期的周期函数．
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数．
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
由于为奇函数，故在上有唯一实根，在上无实数根．
则由于，故方程在上有唯一实数．
在上，则方程在上没有实数根．
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根．
当时，方程的两实数根之和为图象关于直线对称，
当时，方程的两实数根之和为图象关于直线对称，
当时，方程的两实数根之和为图象关于直线对称，
所以当时，方程的所有六个实数根之和为．
故答案为：．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值．
【详解】令，则，
由，
故，
即，
由，故的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】借助指数幂与对数的运算法则逐项计算即可得．
【详解】对：，故 A正确；
对：由，故，故 B错误；
对：，故 C正确；
对：，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断即可．
【详解】：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；
：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，取等号，
即有最大值，因此本选项不正确；
：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项不正确；
：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次函数的值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，注意分类讨论，属中档题．
求出二次函数的对称轴方程，讨论，当时，可知当时满足题意，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，结合二次函数的对称性可得的可能取值，综合两种情况得到结果．
【解答】
解：函数的对称轴方程为，
当时，函数在上单调递减，
时取最大值，时取最小值，解得．
则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为，
而时，由对称性可知，时，故，
所以．
综上，实数的取值范围为．
实数的值可能为，，．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得．
【详解】
设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有个零点，
须使，解得：，故 D项正确；
对于项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有个最大值点，故A项正确；
对于项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有个或个，故B项错误；
对于项，当时，，由上分析知，则，即，
而此时单调递增，故在上单调递增，故 C项正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数结合对数运算律求函数值即可．
【详解】因为，又，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得．
【详解】由函数的图象向右平移个单位得到函数：的图象，
因的图象关于轴对称，故有，则有，解得：，
因，故当且仅当时，的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】由题意得，由此即可顺利得解．
【详解】由题意，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】由图得到，进而得到，得到矩形的面积，再利用三角函数的性质求解．
【详解】由已知：设，则，
则，
所以矩形的面积为：，
，
，
，
，
，
当，即，矩形面积取得最大值为．
故答案为：
17.【答案】解：原式
原式

【解析】利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；
根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式进行化简计算即可．
18.【答案】解：令，则，
，．
因为，
所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，
，，
即的值域为．

【解析】令，则，利用换元法代入可求得的解析式；
由可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．
19.【答案】解：由题可得，得，即，
所以或．
；对函数，，由于，当时，即，，函数无意义，所以，得，
由，知或，得且或．

【解析】由可得，解不等式可得所求范围；
由可得，根据转化为关于实数的不等式，解不等式可得所求范围．
20.【答案】解：设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．
再由，得，
因此．
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为
，
，
令，即．
解得，舍去．
当时，，当时，，
故是的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为万元．
【解析】本题考查函数模型的选择及利用导数判断函数的单调性及最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．我们可得，得，进而得到建造费用为，则根据隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为，我们不难得到的表达式．
由中所求的的表达式，我们利用导数法，求出函数的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用的最小值．
21.【答案】解：
，
由，
解得，
的单调增区间为
将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得，
当时，，
则有，解得，
即实数的取值范围为．

【解析】借助三角恒等变换公式可将原函数化简为正弦型函数，利用正弦型函数的性质计算即可得；
借助三角函数的平移变换可得函数的解析式，借助正弦型函数的性质计算即可得的取值范围．
22.【答案】解：，则，所以，
由方程，即，可得，
，，即．
，
函数
，
令，，令，则，
因为函数在上单调递增，
且时，；时，，则，
则，，
当时，函数在上单调递减，
所以在上的最小值为，
整理可得，解得舍或；
当时，函数在上单调递增，
所以在上的最小值为，
整理可得，解答舍或；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意．
综上所述，的值为或．

【解析】根据指数函数和对数函数的性质可得，进而结合题设可得，再求解对数方程即可；
化简函数，令，由对勾函数的性质可得，则，进而结合二次函数的性质讨论求解即可．
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