2023-2024学年湖南省长沙市长沙县省示范学校高一上学期期末检测数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省长沙市长沙县省示范学校高一上学期期末检测数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 351.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-26 21:39:05 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省长沙市长沙县省示范学校高一上学期期末检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合， ，则( )
A. B.
C. D. 或
2.函数的零点所在的区间是
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知正数满足，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是
( )
A.
B.
C.
D. 的解集为或
7.已知是上的单调函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则使函数的值域为，且为奇函数的的值为
( )
A. B. C. D.
10.设，，则下列结论正确的是
( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若，则
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与的图象关于对称
C. 为奇函数
D. 函数单调递增区间为，
12.若函数同时满足：对于定义域内的任意，有；对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是
( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
14.当且时，函数的图象一定经过定点 ．
15.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是
16.函数的图象如图，则的值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
18.本小题分
集合．
当时，求；
问题：已知______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分
；；．
19.本小题分
已知函数为常数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若在上有最小值，求的值．
20.本小题分
年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，某新能源公司投资万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．设到第且年年底，该项目的纯利润纯利润累计收入累计维修保养费一投资成本为万元．已知到第年年底，该项目的纯利润为万元．
求实数的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到万元；
到第几年年底，该项目年平均利润平均利润纯利润年数最大？并求出最大值．
21.本小题分
如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于．
建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；
求四边形的面积的最大值．
22.本小题分
若对定义域内任意，都有，则称函数为“隔断”增函数，称隔断距离．
若是“隔断”增函数，求隔断距离的取值范围；
若，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用集合的补集运算计算即可．
【详解】因为集合，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
先判断单调性，再根据零点存在性定理将端点值代入，即可判断零点所在区间．
【解答】
解：由题知，
由于均为单调递增，
故在上单调递增，
，
根据零点存在性定理，
的零点在区间内
故选：．
3.【答案】
【解析】【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选 B．
考点：充分必要条件．
4.【答案】
【解析】【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可．
【详解】由题意得，解得，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】首先乘以，然后根据基本不等式求解；
【详解】因为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据二次不等式的解集可得对应二次函数的开口，即可判断；由已知可得，可判断；根据二次不等式可得对应方程的根，利用韦达定理可解的解集，判断．
【详解】不等式的解集为或，则函数开口向下，故， A正确；
不等式的解集为或，则对于函数，有，，，C正确；
不等式的解集为或，即方程的解为，
则且，
即为，
，解得，故 D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．
【详解】解：因为当时，为减函数，
又因为在上为单调函数，
所以只能为单调递减函数，
当时，一次函数单调递减，
当时，指数函数，
所以将代入得：，
又因为在上为单调递减函数，
所以
解得：，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】利用已知及奇偶性求的周期和解析式，根据指对数性质画出与在内的图像，由交点情况确定参数范围．
【详解】对都有，
，即的周期为，
当时，，
当时，则，
是偶函数，
当时，
，
，
作出在区间内的图像如下：
在内关于的方程恰好有三个不同的实数根，
与在内有三个不同的交点，
只需满足在的下方，过或在其上方，即
．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．
根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．
【解答】
解：当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件．
当时，，为奇函数，值域为，满足条件．
当时，，为偶函数，值域为，不满足条件．
当时，，为奇函数，值域为，满足条件．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用作差法比较大小，即可判断；利用基本不等式，即可判断；利用特殊值，即可判断，从而得解．
【解答】
解：因为：，所以，
则，
所以，故正确
，
因为，所以，则，
故，故错误
因为，，
所以，当且仅当时等号成立，故正确
因为，所以，
设，有，而 ，故错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】对于，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于，根据奇函数定义判断即可；对于，根据二次函数单调性判断即可；
【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故 A错误；
函数与互为反函数，
故其图象关于对称，故 B正确；
因为，可求得定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故 C正确；
因为
所以函数的单调递增区间为，和，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性，属于中档题．
满足可得，是奇函数，满足可得，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果．
【解答】
解：由对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；
由对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或，则在定义域内是减函数；
对于：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”；
对于：由得，所以是奇函数，又在上是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”；
对于：由得，所以是奇函数；又在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和上都是增函数，故不是“理想函数”；
对于：
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】由于，进而结合诱导公式求解即可．
【详解】由诱导公式可得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
利用指数函数的性质即可求解．
【解答】
解：当且时，令得，，此时，
函数的图象一定经过定点．
故答案为：．
15.【答案】 或
【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可．
【详解】由题意可得，扇形的面积是，
扇形的面积是．
则扇面曲边四边形的面积是．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】根据图象可确定最小正周期，由此可得，由此可求得结果．
【详解】由图象可知：最小正周期，，
．
故答案为：．
17.【答案】
解：原式．
解：原式．
【解析】【分析】利用指数的运算性质化简可得结果；
利用对数的运算性质化简可得结果．
18.【答案】
由题知，，
因为，解得，
所以，
当时，，
所以．
选或，由题知，
由得，，
由题得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，或．
选，
当时，，解得，
当时，，或，解得，或，
综上，或。
【解析】【分析】先解得，再根据集合的并集计算即可；分，两种情况解决即可．
19.【答案】【详解】解：已知函数，
则，
化简可得：，
最小正周期为：，
由，，
解得：，，
单调增区间为，；
由题意：时，，
，
当时，最小值为，
解得：，
故在上有最小值，的值为．
【解析】【分析】利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得的单调递增区间，利用周期公式可得最小正周期；
根据上，求出的范围，结合三角函数的性质可得最小值，即可求解的值．
本题考查根据三角函数的图象和性质求出函数的单调性和最值，涉及利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式进行化简，考查运算能力．
20.【答案】解：由题意可知，
，
，
．
，
，
，
或；
答：该项目到第年年底纯利润第一次能达到万元；
年平均利润为：，
当且仅当，即时取等号，又因为为正整数，
所以当时，取得最大值为．
故当时年平均利润最大，此时最大值为．
【解析】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
利用题中的条件列出纯利润的代数式，由已知求出，再令，即可解出答案；
列出平均利润，利用基本不等式，即可得到答案．
21.【答案】解：如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，
点坐标为，
点的坐标为，
坐标为．
四边形的面积
，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为．
【解析】【分析】如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标；
把四边形的面积表示出的函数，利用三角函数求最值即可．
22.【答案】
，因为是“隔断”增函数，
所以恒成立，由，所以；
所以隔断距离的取值范围是；
因为，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为，即时，
恒成立，所以，
当时，即，
当时，，所以，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】【分析】根据题意转化为一元二次不等式恒成立问题，利用根的判别式进行求解；根据题意转化为，分与讨论得到答案．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合， ，则( )
A. B.
C. D. 或
2.函数的零点所在的区间是
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知正数满足，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是
( )
A.
B.
C.
D. 的解集为或
7.已知是上的单调函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则使函数的值域为，且为奇函数的的值为
( )
A. B. C. D.
10.设，，则下列结论正确的是
( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若，则
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与的图象关于对称
C. 为奇函数
D. 函数单调递增区间为，
12.若函数同时满足：对于定义域内的任意，有；对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是
( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
14.当且时，函数的图象一定经过定点 ．
15.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是
16.函数的图象如图，则的值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
18.本小题分
集合．
当时，求；
问题：已知______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分
；；．
19.本小题分
已知函数为常数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若在上有最小值，求的值．
20.本小题分
年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，某新能源公司投资万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．设到第且年年底，该项目的纯利润纯利润累计收入累计维修保养费一投资成本为万元．已知到第年年底，该项目的纯利润为万元．
求实数的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到万元；
到第几年年底，该项目年平均利润平均利润纯利润年数最大？并求出最大值．
21.本小题分
如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于．
建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；
求四边形的面积的最大值．
22.本小题分
若对定义域内任意，都有，则称函数为“隔断”增函数，称隔断距离．
若是“隔断”增函数，求隔断距离的取值范围；
若，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用集合的补集运算计算即可．
【详解】因为集合，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
先判断单调性，再根据零点存在性定理将端点值代入，即可判断零点所在区间．
【解答】
解：由题知，
由于均为单调递增，
故在上单调递增，
，
根据零点存在性定理，
的零点在区间内
故选：．
3.【答案】
【解析】【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选 B．
考点：充分必要条件．
4.【答案】
【解析】【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可．
【详解】由题意得，解得，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】首先乘以，然后根据基本不等式求解；
【详解】因为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据二次不等式的解集可得对应二次函数的开口，即可判断；由已知可得，可判断；根据二次不等式可得对应方程的根，利用韦达定理可解的解集，判断．
【详解】不等式的解集为或，则函数开口向下，故， A正确；
不等式的解集为或，则对于函数，有，，，C正确；
不等式的解集为或，即方程的解为，
则且，
即为，
，解得，故 D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．
【详解】解：因为当时，为减函数，
又因为在上为单调函数，
所以只能为单调递减函数，
当时，一次函数单调递减，
当时，指数函数，
所以将代入得：，
又因为在上为单调递减函数，
所以
解得：，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】利用已知及奇偶性求的周期和解析式，根据指对数性质画出与在内的图像，由交点情况确定参数范围．
【详解】对都有，
，即的周期为，
当时，，
当时，则，
是偶函数，
当时，
，
，
作出在区间内的图像如下：
在内关于的方程恰好有三个不同的实数根，
与在内有三个不同的交点，
只需满足在的下方，过或在其上方，即
．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．
根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．
【解答】
解：当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件．
当时，，为奇函数，值域为，满足条件．
当时，，为偶函数，值域为，不满足条件．
当时，，为奇函数，值域为，满足条件．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用作差法比较大小，即可判断；利用基本不等式，即可判断；利用特殊值，即可判断，从而得解．
【解答】
解：因为：，所以，
则，
所以，故正确
，
因为，所以，则，
故，故错误
因为，，
所以，当且仅当时等号成立，故正确
因为，所以，
设，有，而 ，故错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】对于，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于，根据奇函数定义判断即可；对于，根据二次函数单调性判断即可；
【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故 A错误；
函数与互为反函数，
故其图象关于对称，故 B正确；
因为，可求得定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故 C正确；
因为
所以函数的单调递增区间为，和，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性，属于中档题．
满足可得，是奇函数，满足可得，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果．
【解答】
解：由对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；
由对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或，则在定义域内是减函数；
对于：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”；
对于：由得，所以是奇函数，又在上是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”；
对于：由得，所以是奇函数；又在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和上都是增函数，故不是“理想函数”；
对于：
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】由于，进而结合诱导公式求解即可．
【详解】由诱导公式可得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
利用指数函数的性质即可求解．
【解答】
解：当且时，令得，，此时，
函数的图象一定经过定点．
故答案为：．
15.【答案】 或
【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可．
【详解】由题意可得，扇形的面积是，
扇形的面积是．
则扇面曲边四边形的面积是．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】根据图象可确定最小正周期，由此可得，由此可求得结果．
【详解】由图象可知：最小正周期，，
．
故答案为：．
17.【答案】
解：原式．
解：原式．
【解析】【分析】利用指数的运算性质化简可得结果；
利用对数的运算性质化简可得结果．
18.【答案】
由题知，，
因为，解得，
所以，
当时，，
所以．
选或，由题知，
由得，，
由题得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，或．
选，
当时，，解得，
当时，，或，解得，或，
综上，或。
【解析】【分析】先解得，再根据集合的并集计算即可；分，两种情况解决即可．
19.【答案】【详解】解：已知函数，
则，
化简可得：，
最小正周期为：，
由，，
解得：，，
单调增区间为，；
由题意：时，，
，
当时，最小值为，
解得：，
故在上有最小值，的值为．
【解析】【分析】利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得的单调递增区间，利用周期公式可得最小正周期；
根据上，求出的范围，结合三角函数的性质可得最小值，即可求解的值．
本题考查根据三角函数的图象和性质求出函数的单调性和最值，涉及利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式进行化简，考查运算能力．
20.【答案】解：由题意可知，
，
，
．
，
，
，
或；
答：该项目到第年年底纯利润第一次能达到万元；
年平均利润为：，
当且仅当，即时取等号，又因为为正整数，
所以当时，取得最大值为．
故当时年平均利润最大，此时最大值为．
【解析】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
利用题中的条件列出纯利润的代数式，由已知求出，再令，即可解出答案；
列出平均利润，利用基本不等式，即可得到答案．
21.【答案】解：如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，
点坐标为，
点的坐标为，
坐标为．
四边形的面积
，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为．
【解析】【分析】如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标；
把四边形的面积表示出的函数，利用三角函数求最值即可．
22.【答案】
，因为是“隔断”增函数，
所以恒成立，由，所以；
所以隔断距离的取值范围是；
因为，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为，即时，
恒成立，所以，
当时，即，
当时，，所以，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】【分析】根据题意转化为一元二次不等式恒成立问题，利用根的判别式进行求解；根据题意转化为，分与讨论得到答案．
第1页，共1页