2023-2024学年福建省莆田八中、莆田侨中高一上学期期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田八中、莆田侨中高一上学期期末联考数学试卷
1.已知集合为自然数集，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为
( )
A. B. C. D. 或
4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是
( )
A. B. C. D.
5.对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的值为
( )
A. B. C. D. 或
7.函数的零点所在的区间是
( )
A. B. C. D.
8.已知函数若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.下列命题为真命题的是( )
A. ，为奇数
B. ，二次函数的图象关于轴对称
C. “”是“”的必要条件
D. 与是同一函数
10.若，则，中不可能是最大值的是
( )
A. B. C. D.
11.函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是
( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图像关于点对称
D. 该函数的周期是
12.下列结论正确的有( )
A. 函数图象关于原点对称
B. 函数定义域为且对任意实数恒有则为偶函数
C. 的定义域为，则
D. 的值域为，则
13.函数的定义域为 ．
14.扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
15.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向 左、右、上、下平移 个单位长度
16.已知函数，则的单调增区间为 ．
17.化简求值已知为锐角，且满足求的值
18.已知，其中．
求；
求．
19.已知函数．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数在区间上的值域．
20.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关，若建造宿舍的所有费用万元和宿舍与工厂的距离的关系式为，若距离为时，测算宿舍建造费用为万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元．设为建造宿舍与修路费用之和．
求的表达式；
宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
21.设函数是奇函数．
求的值；
判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
已知，，，试比较三个实数，，的大小并说明理由．
22.已知函数的两个零点分别为和．
求、的值；
若不等式在恒成立，求的取值范围．
令，若函数在上有零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数的性质求出集合，根据集合的交集运算，即可求得答案．
【详解】由题意得，集合为自然数集，
故，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，
推出，“”是“”必要条件．
故选：．
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意．
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
当时，为偶函数关于轴对称，且在上单调递增，不满足题意；
当时，，偶函数关于轴对称，且在上单调递减，满足题意，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
由题意，利用三角函数的图像性质逐项判断得出结论．
【解答】解：由于函数的最小正周期为，故A不满足条件；
由于函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，故B满足条件；
由于函数的最小正周期为，但在区间上单调递增，故C不满足条件；
由于函数的最小正周期为，但在区间上单调递增，故D不满足条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案．
【详解】对于函数，令，
故的图象过定点，
由于点在角的终边上，则，
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果．
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又，所以．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可．
【解答】
解： 的定义域为 ，
又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 ，
根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的区间为 ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，数形结合的应用，属于中档题．
作出函数的图象，利用换元法，结合零点判断定理列出不等式组，从而求解．
【解答】
解：函数的大致图象如图所示，
对于方程有个不同的实数解，
令，则在，上各有一个实数解
或的一个解为，另一个解在内
或的一个解为，另一个解在内．
当在，上各有一个实数解时，
设，则解得，
当的一个解为时，，
此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意
当的一个解为时，，
此时方程的另一个解为，在内，满足题意．
综上可知，实数的取值范围为．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】选项，当是整数时，是偶数，故为假命题．
选项，二次函数的对称轴为轴，所以选项正确．
选项，当时，，
所以“”是“”的必要条件，所以选项正确．
选项，的定义域是，的定义域是，
所以不是同一函数，故为假命题．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式可比较大小，判断，；利用作差法可比较的大小，判断，．
【详解】由于，则，
故，，则，不可能是最大值，，符合题意；
由于，
当时，，，
故，
即，故不可能是最大值，符合题意，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案．
【详解】由函数的 图象可知，
设函数最小正周期为，则，则，
又，即，则
由于，故，即，
对于，，
即函数的图象不关于直线对称， A错误；
对于，，则，
由于正弦函数在上单调递减，
故函数在上单调递减， B正确；
对于，，
故的图象关于点对称， C正确；
对于，结合上面分析可知函数的周期是，正确，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义可判断；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断；根据函数的定义域为，列不等式求解，可判断；根据函数的值域为，列不等式求解，可判断．
【详解】对于，的定义域为，满足，
即为奇函数，其图象关于原点对称， A正确；
对于，令，则，
令，则，
即为奇函数， B错误；
对于，的定义域为，即在上恒成立，
故，即， C错误；
对于，的值域为，即能取到内的所有值，
故或，即， D正确，
故选：
【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、的判断，解答时要注意区分定义域和值域为时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域，属于基础题，
【解答】
解：令可得，则定义域为．
14.【答案】
【解析】【分析】根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】则该扇形的面积为，
故答案为：．
15.【答案】右
或

【解析】【分析】化简函数解析式为，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案．
【详解】由于函数，
故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故答案为：右；
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，属于基础题．
根据二次函数、对数函数的性质及复合函数的单调性求出函数的递增区间即可．
【解答】
解：因为，解得：，
则函数的定义域为．
令，则
要求的单调增区间，只需所以，所以的单调增区间为．
故答案为：．
17.【答案】解：
；
因为为锐角，且满足，
解得，负值舍，
故．

【解析】根据对数的运算法则，即可求得答案；
解方程求出，利用诱导公式化简，结合齐次式法求值，即可得答案．
18.【答案】解：因为，所以，
又因为，且，所以．
因为，，所以，
则，
又因为，所以．
由可得，，
因为，
则，
所以

【解析】依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；
结合中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可．
19.【答案】解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为．
当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为．

【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域．
20.【答案】解：根据题意得，解得，，
故，；
，
当且仅当，即时，．
宿舍应建在离厂处，可使总费用最小，最小为万元．
【解析】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，注意基本不等式的使用条件，属于基础题．
根据距离为时，测算宿舍建造费用为万元，可求的值，由此，可得的表达式；
把中求得的函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
21.【答案】解：奇函数定义域为
则，解之得，经检验符合题意．
由得易得函数在上单调递减，证明如下：
设任意，，
则，
由，可得，则，
又，
则，则
则为上减函数．
由为上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
则，又由得为上减函数，
则，则

【解析】列出关于的方程，解之即可求得的值；
利用函数单调性的定义即可证明函数为减函数；
先比较三个自变量的大小，再利用函数为减函数即可得到，，的大小关系．
22.【答案】解：函数的两个零点分别为和．
可得：，，解得，，
由可得，
不等式在恒成立，
可得不等式在恒成立，
在上的最小值为：，可得．
，函数在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
令，则，
，，
即在上有解，
，，
，的范围是．

【解析】利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
求出函数的最小值，即可求解的范围．
问题转化为在上有解，通过换元得到在上有解，求出的范围即可．
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