安徽省淮北市淮北实高2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

淮北实高2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．若直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．空间一点在平面上的射影为，在平面上的射影为，则在平面上的射影的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．2
4．对于空间任意一点和不共线的三点，且有，则，是四点共面的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．有4名女生2名男生参加学校组织的演讲比赛，现场抽签决定比赛顺序，已知男生甲比男生乙先出场，则两位男生相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．4 B． C．或 D．或4
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知圆与圆，则（ ）
A．两圆的圆心距为
B．两圆的公切线有3条
C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D．两圆相交，且公共弦的长度为
10．若展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A．可能为1
B．展开式的二项式系数之和为256
C．展开式中第4项的二项式系数最大
D．展开式系数的绝对值之和可能为
11．已知抛物线的焦点为，在上存在四点，若弦与弦的交点恰好为焦点，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．抛物线的准线方程是 B．
C． D．四边形PMQN的面积的最小值是128
12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2
C．点到直线的距离是
D．异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，开关电路中，某段时间内，开关开或关的概率均为，且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为_____________．
14．淮北师范大学为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将这四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有_____________种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）
15．已知椭圆的左、右焦点分别为为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为_____________．
16．已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
已知正方形的中心为直线和直线的交点，其一边所在直线方程为．
（1）写出正方形的中心坐标；
（2）求其它三边所在直线的方程（写出一般式）．
18．（本小题12分）
已知点和直线，点是点关于直线的对称点．
（1）求点的坐标；
（2）为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围．
19．（本小题12分）
甲箱的产品有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
20．（本小题12分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有一样的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．
21．（本小题12分）
如图，且，平面平面，四边形为矩形，且．
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离．
22．（本小题12分）
设双曲线右焦点为，且为坐标原点，过的直线与的右支交于，两点．
（1）若，求的离心率的取值范围；
（2）若恒为锐角，求的实轴长的取值范围．
淮北实高2022级高二年级第一学期期末考试
数学试题
【答案】
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．
9．AC 10．ABD 11．BCD 12．CD
13．
14．
15．
16． 3， 2
17． 解：由，得：，即中心坐标为．
正方形一边所在直线方程为，
可设正方形与其平行的一边所在直线方程为，
正方形中心到各边距离相等，
，
或舍，
这边所在直线方程为 ．
设与垂直的两边所在直线方程为，
正方形中心到各边距离相等，
，
或，
这两边所在直线方程为 ，
其它三边所在直线的方程为 ．
18． 解： 点的坐标为．
设点，由题，则，
故，化简得，
又直线与圆有公共点，
故，解得
19．【变式训练1】解（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为，这2个产品都是次品的事件数为．所以这2个产品都是次品的概率为．
（2）设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件表示“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件表示“从甲箱中取出1个正品和1个次品”，事件表示“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥．
，，，，，，
由全概率公式，得．
20．（1）椭圆的长轴长为4，离心率为
∵椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率
∴椭圆的焦点在y轴上，，为
∵椭圆的方程为；
（2）设的坐标分别为，
∵
∴三点共线，且点不在轴上
∴设的方程为
将代入，消元可得，∴
将代入，消元可得，∴
∵，∴，
∴，解得，
∴的方程为
21．
方法1．几何法 略
方法2．向量坐标法
（1）证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得，
．
设为平面的法向量，
则，不妨令，可得；
又，可得．
又直线平面，
平面；
平面平面，
平面，
到平面的距离即到平面的距离，
由知平面，即是平面的法向量，
因与平面所成角的正切值为，
则与平面所成角的正弦为，又，
解得，则点，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，
而，则点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为．
22.（1）的范围为
（2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为，
结合，联立，
得，
设，由韦达定理得，，
由于两点均在的右支上，故，即．
则
，
由恒为锐角，得对，
均有，即恒成立.
由于，因此不等号左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，结合，
可知的取值范围是．
综上所述，的实轴长的取值范围是．
12． 【分析】
本题考查空间向量的线性运算、直线与直线所成角的向量求法、空间向量运算的坐标表示、点线距离的向量求法，
根据空间向量线性运算法则判断，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算、、．
【解答】
解：因为，
所以，故 A错误；
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
对于： B不正确；
对于：，所以，
所以点到直线的距离，故 C正确；
对于：因为，
所以，
所以，即异面直线与所成角的正切值为，故 D正确；
故选：CD