国泰中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷答案
单选题
-4 BADD 5---8 AACD
1.【答案】B
【分析】根据各图中点的分布,分析变量的相关关系即可.
【详解】A:各点分布没有明显相关性,不符;
B:各点分布在一条直线附近,且有负相关性,符合;
C:各点分布在一条抛物线附近,变量之间先呈正相关,后呈负相关,不符;
D:各点分布在一条直线附近,且有正相关性,不符.
故选:B
2.【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率,
所以其倾斜角为30°.
故选:A.
3.【答案】D
【分析】根据概率和为等于1可得,再利用期望的公式即可得解.
【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1.,,
随机变量的数学期望.
故选:D.
4.【答案】D
【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系,再分别求出和,进而求解.
【详解】解:若,则,
因为已知向量,,所以,解得,
所以.
故选:.
5.【答案】A
【分析】根据随机变量服从正态分布,求得其图象的对称轴,再根据曲线的对称性,即可求解答案.
【详解】由题意,随机变量服从正态分布,所以,即图象的对称轴为,
又由,则,则,
则,
故选:A.
6.【答案】A
【分析】由数据得出样本中心点,再代入回归直线方程计算即可.
【详解】易知,代入得.
故选:A
7.【答案】C
【分析】根据古典概率模型以及组合数的运算公式求解.
【详解】设事件表示:至少有1名男医生参加,
则事件表示:没有1名男医生参加,即三名都是女医生,
所以,所以,
故选:C.
8.【答案】D
【分析】根据题意先求得短半轴长,再根据正弦定理求得,进而根据离心率的公式求解即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,
由图可知,椭圆的短半轴长,
在中,,
由正弦定理得:
,
所以,
故选:D.
二、多选题
9. ABD 10.ABC 11. BCD 12. BD
9.【答案】ABD
【分析】利用直线平行或相交的判断进行分析即可.
【详解】当时,与平行或重合,故A错误;
当斜率不存在时,与也平行,故B错误;
一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则它们必然相交,故C正确;
两直线斜率都不存在,与平行或重合,故D错误.
故选:ABD.
10【答案】ABC
【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.
【详解】
选项A中,;
选项B中,;
选项C中,;
选项D中,.
11.【答案】BCD
【分析】根据二项式定理,二项式系数的性质判断.
【详解】的展开式中有7项,A错;
二项式系数和为,C正确;
各项系数和为,D正确,
展开式通项公式为,由得,
所以常数项为,B正确.
故选:BCD.
故选:ABC.
12.【答案】BD
【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线,可判断各选项正误.
【详解】A选项,抛物线的焦点为,则焦点为,则圆锥曲线为双曲线,且,则.故A错误;
B选项,由A分析可知,,故B正确;
C选项,由A分析可知渐近线方程为:,故C错误;
D选项,联立,方程有,
由可知,则,即与的交点在直线上,故D正确.
故选:BD
三、填空题
13.【答案】或
【分析】利用方程式双曲线,解出不等式即可.
【详解】若为双曲线,则或,
故答案为:或
14.【答案】40
【分析】利用椭圆方程可写出四个顶点的坐标,即可求出围成的四边形的面积.
【详解】由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为,
故这四个顶点围成的四边形为菱形,
所以面积.
故答案为:40
15.【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】原来个节目,形成个空位,安排一位老校友;
个节目,形成个空位,安排一位老校友;
个节目,形成个空位,安排一位老校友.
所以不同的安排方式有种.
故答案为:
16.【答案】
【分析】根据给定条件,利用弦长公式计算得解.
【详解】圆的圆心,半径,
点到直线的距离,
所以所求弦长为.
故答案为:
四、解答题
17.【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由两点式可直接得出.
(2)由斜率之积为,再用点斜式求出.
【详解】(1)由两点式可知
化简可得
即为边所在的直线的方程,
(2)因为边上的高垂直,
所以斜率为,
又点在高线上,
所以由点斜式可知
即
18.【答案】(1) (2)672
【分析】(1)根据二项式系数和求得.
(2)结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】(1)因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512,
所以,解得.
(2)由通项公式,
令,可得,
所以展开式中的常数项为.
19.【答案】(1);
(2)
【详解】解:(Ⅰ)设“这箱产品被用户接收”为事件,
即这箱产品被用户接收的概率为.
(Ⅱ)的可能取值为1,2,3.
=,
=,
=,
∴的概率分布列为:
1 2 3
∴=.
20.【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)利用勾股定理证明,根据线面垂直的性质可得,从而可得平面,再根据线面垂直的性质即可得证;
(2)以点为原点建立空间直角坐标系,利用向量法即可得出答案.
【详解】(1)∵,,,
∴,即,
因为平面,平面,
所以,
又,平面,平面,
所以平面,
又因为平面,
所以;
(2)如图以点为原点建立空间直角坐标系,
则,
则,
设平面的法向量,
则有,令,则,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
21.【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由渐近线公式,以及代入点的坐标,即可求解双曲线方程;
(2)直线方程与双曲线方程联立,根据交点个数,求实数的取值范围.
【详解】(1)由条件可知,,且,解得:,,
所以双曲线方程为;
(2)设直线的方程为,
联立,,
时,,得;
当时,时,,得,满足条件,
综上可知,或.
22.【答案】(1)
(2)最大值为,最小值
【分析】(1)根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围;
(2)先确定圆E的方程,再利用对称性得到圆F的方程,根据圆心到直线的距离可得答案.
【详解】(1)若此方程表示圆,则,
解得,
即实数m的取值范围是;
(2)由(1)可知,此时圆E:,
圆心坐标为,半径为1,
因为圆F和圆E关于y轴对称,
所以圆F圆心坐标是,半径是1,
故圆F方程为,
则圆心到直线的距离,
故到直线的距离的最大值为,最小值.国泰中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷
考试范围:选择性必修二全书 考试时间:120分钟; 考试分值:150分
单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.对于变量,有以下四个散点图,由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知离散型随机变量的分布列如下表:
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望( )
A.1 B.0.3 C.2.3 D.3.2
4.已知向量,,若,则实数( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.8
6.对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时,得到一组数据,通过这组数据求得回归直线方程为,则m的值为( )
A.3 B.5 C.5.2 D.6
7.某医院需要从4名女医生和2名男医生中抽调3人参加社区的老年义诊活动,则至少有1名男医生参加的概率为( )
A. B. C. D.
8..油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为e,则( )
B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
9.下列说法错误的有( )
A.若两直线斜率相等,则两直线平行;
B.若,则;
C.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
D.若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
10.已知正方体,则下列各式运算结果是的为( )
A. B.
C. D.
11.对于的展开式,下列说法正确的是( )
A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是240
C.展开式的二项式系数之和为64 D.展开式的各项系数之和为1
12.若圆锥曲线,且的一个焦点与抛物线的焦点重合,则( )
A. B.的离心率
C.为双曲线,且渐近线方程为 D.与的交点在直线上
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13.若为双曲线,则m的取值范围为 .
14.椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是 .
15.某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有 种.
16.直线被圆所截得的弦长为 .
四、解答题(17题10分,18-22题每题12分共70分)
17.(10分)已知的三个顶点是,求:
(1)边所在的直线的方程;
(2)边上的高所在直线的方程.
18.(12分)已知二项式的展开式中,所有项的二项式系数之和为512.
(1)求n的值:
(2)求展开式中的常数项.
(12分)一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.
(1)求这箱产品被用户接收的概率;(2)记抽检的产品件数为,求的分布列和数学期望.
20.(12分)在三棱锥中,底面,,,,
(1)证明:;
(2)求与平面所成的角的正弦值.
.
(12分)已知点在双曲线上,且双曲线的一条渐近线的方程是.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点,求实数的值.
(12分)已知方程.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,设为圆F上任意一点,求到直线的距离的最大值和最小值.