国泰中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷答案
单选题
-4 BADD 5---8 AACD
1.【答案】B
【分析】根据各图中点的分布，分析变量的相关关系即可.
【详解】A：各点分布没有明显相关性，不符；
B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；
C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；
D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.
故选：B
2.【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
3.【答案】D
【分析】根据概率和为等于1可得，再利用期望的公式即可得解.
【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，，
随机变量的数学期望．
故选：D.
4.【答案】D
【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解.
【详解】解：若，则，
因为已知向量，，所以，解得，
所以.
故选：.
5.【答案】A
【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．
【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，则，
则，
故选：A．
6.【答案】A
【分析】由数据得出样本中心点，再代入回归直线方程计算即可.
【详解】易知，代入得.
故选：A
7.【答案】C
【分析】根据古典概率模型以及组合数的运算公式求解.
【详解】设事件表示：至少有1名男医生参加，
则事件表示：没有1名男医生参加，即三名都是女医生，
所以,所以,
故选:C.
8.【答案】D
【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，
故选：D.
二、多选题
9. ABD 10.ABC 11. BCD 12. BD
9.【答案】ABD
【分析】利用直线平行或相交的判断进行分析即可.
【详解】当时，与平行或重合，故A错误；
当斜率不存在时，与也平行，故B错误；
一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则它们必然相交，故C正确；
两直线斜率都不存在，与平行或重合，故D错误.
故选：ABD.
10【答案】ABC
【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.
【详解】
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
11.【答案】BCD
【分析】根据二项式定理，二项式系数的性质判断．
【详解】的展开式中有7项，A错；
二项式系数和为，C正确；
各项系数和为，D正确，
展开式通项公式为，由得，
所以常数项为，B正确．
故选：BCD．
故选：ABC.
12.【答案】BD
【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误.
【详解】A选项，抛物线的焦点为，则焦点为，则圆锥曲线为双曲线，且，则.故A错误；
B选项，由A分析可知，，故B正确；
C选项，由A分析可知渐近线方程为：，故C错误；
D选项，联立，方程有，
由可知，则，即与的交点在直线上，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13.【答案】或
【分析】利用方程式双曲线，解出不等式即可.
【详解】若为双曲线，则或，
故答案为：或
14.【答案】40
【分析】利用椭圆方程可写出四个顶点的坐标，即可求出围成的四边形的面积.
【详解】由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为，
故这四个顶点围成的四边形为菱形，
所以面积.
故答案为：40
15.【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；
个节目，形成个空位，安排一位老校友；
个节目，形成个空位，安排一位老校友.
所以不同的安排方式有种.
故答案为：
16.【答案】
【分析】根据给定条件，利用弦长公式计算得解.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为.
故答案为：
四、解答题
17.【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由两点式可直接得出.
(2)由斜率之积为，再用点斜式求出.
【详解】（1）由两点式可知
化简可得
即为边所在的直线的方程，
（2）因为边上的高垂直，
所以斜率为，
又点在高线上，
所以由点斜式可知
即
18.【答案】(1) (2)672
【分析】（1）根据二项式系数和求得.
（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以，解得．
（2）由通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为．
19.【答案】（1）；
（2）
【详解】解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，
即这箱产品被用户接收的概率为．
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3．
=，
=，
=，
∴的概率分布列为：
1 2 3
∴=．
20.【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）∵，，，
∴，即，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）如图以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21.【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
22.【答案】(1)
(2)最大值为，最小值
【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；
（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.
【详解】（1）若此方程表示圆，则，
解得，
即实数m的取值范围是；
（2）由（1）可知，此时圆E：，
圆心坐标为，半径为1，
因为圆F和圆E关于y轴对称，
所以圆F圆心坐标是，半径是1，
故圆F方程为，
则圆心到直线的距离，
故到直线的距离的最大值为，最小值.国泰中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷
考试范围：选择性必修二全书 考试时间：120分钟； 考试分值：150分
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知离散型随机变量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
4.已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
5.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8
6．对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（ ）
A．3 B．5 C．5.2 D．6
7.某医院需要从4名女医生和2名男医生中抽调3人参加社区的老年义诊活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）
B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
9．下列说法错误的有（ ）
A．若两直线斜率相等，则两直线平行；
B．若，则；
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行.
10.已知正方体，则下列各式运算结果是的为（ ）
A． B．
C． D．
11．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是240
C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式的各项系数之和为1
12．若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A． B．的离心率
C．为双曲线，且渐近线方程为 D．与的交点在直线上
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若为双曲线，则m的取值范围为 ．
14．椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是 .
15．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有 种．
16．直线被圆所截得的弦长为 .
四、解答题(17题10分，18-22题每题12分共70分)
17.(10分）已知的三个顶点是，求：
(1)边所在的直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程．
18.（12分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n的值：
(2)求展开式中的常数项．
（12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
20.（12分）在三棱锥中，底面，，，，
(1)证明：；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
.
（12分）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
（12分）已知方程.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.
