国泰中学2023-2024学年高一上学期期末考试答案
1-4:DCCB 5-8:CBDB 9:CD 10:ABC 11:AB 12:BCD
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集和补集的概念计算即可.
【详解】由题意可得：，则．
故选：D．
2．命题“，”的否定形式是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定形式是，，
故选：C
3．下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据充分不必要条件的定义与集合间的关系判断即可.
【详解】因为不是的真子集，所以选项A不符合题意；
因为不是的真子集，所以选项B不符合题意；
因为 ，所以选项C符合题意；
因为不是的真子集，所以选项D不符合题意.
故选：C.
4．函数在区间上是减函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可得最值.
【详解】由函数在区间上是减函数，
可知当时，函数取最小值为，
故选：B.
5．已知幂函数(为常数)的图象过点，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】将点代入幂函数求出，再将代入解析式即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以，所以，
故选：C
6． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数运算，可得答案.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：B.
7．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】对于A,若取，
则，即，故A错误；
对于B，令，则有，故B错误；
对于C，令，则有，故C错误；
对于D，根据不等式性质可知D正确，
故选:D.
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可．
【详解】是定义在上的奇函数，当时，，
则．
故选：B．
二、多选题
9．若函数，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用指数幂的运算性质判断各项的正误.
【详解】A：，正确；
B：，正确；
或，
而，，故C、D错误；
故选：CD
10．下列说法正确的是（ ）
A．数据，，，，，的平均数和中位数相同
B．数据，，，，，，，，的众数为
C．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取甲个体数为，则样本容量为
D．甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】ABC
【分析】分别求平均数、中位数、方差、根据分层抽样的性质求样本容量.
【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A选项正确；
对于B，数据的众数为，故B选项正确；
对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为，故C选项正确；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误；
故选：ABC.
11．若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.
故选：AB
12．下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】BCD
【分析】根据对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由于，所以，A错误，
对于B，，B正确，
对于C，，所以，C正确，
对于D，，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
13．求值： ．
【答案】
【分析】利用指数、对数的运算性质化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
14．已知事件与事件互斥，且，，则 ．
【答案】/
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为随机事件与互斥，且，，
所以.
故答案：.
15．已知，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】时，，当，即时，等号成立，
故答案为：6
16．函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
四、解答题
17．己知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集；
（2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围.
【详解】（1），
当时，，所以.
（2）因为，所以，显然集合B非空，
所以，得.
五、解答题
18．某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，
(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
【答案】(1)的值为0.1，众数为千步，中位数为千步，平均数为9.44千步
(2)360
【分析】（1）结合频率分布直方图，根据概率之和为1求出的值，进而结合图求解样本众数、中位数、平均数；
（2）根据已知条件求出步数大于或等于13000步的学生的频率，从而估计全校每天获得加分的人数即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为，，，，，，，，
所以，
解得；
因为组频率最高，所以样本众数为千步；
步数小于8的频率为，步数小于10的频率为，所以中位数在之间，记为x，
则，解得，
所以中位数为千步；
平均数为，
所以平均数为9.44千步.
（2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为，
将频率看作概率，
则全校每天获得加分的人数约为（人），
所以估计全校每天获得加分的人数为360.
六、解答题
19．已知
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用函数单调性定义证明：在上是减函数.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
【分析】（1）运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义，运用作差法证明函数的单调性.
【详解】（1）函数，定义域为，
且，
所以为奇函数；
（2）任取，，且，
则，
因为，，且，所以，
有，，，则恒成立，即，
所以在上单调递减.
20．已知指数函数，且过点.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由求解；
（2）利用函数在R上递减，将不等式转化为求解.
【详解】（1）解：因为指数函数，且过点，
所以，解得，
所以函数的解析式为；
（2）由（1）知函数在R上递减，
，转化为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是 .
七、解答题
21．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，甲、乙两人的射击互不影响，求：
(1)甲、乙同时射中目标的概率？
(2)甲、乙中至少有一人击中目标的概率？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得事件“甲、乙中至少有一人击中目标”的概率.
【详解】（1）解：在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，
甲、乙两人的射击互不影响，则甲、乙同时射中目标的概率为.
（2）解：记事件甲、乙中至少有一人击中目标，则事件甲、乙两人都没有击中，
所以，.
22．已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间.
【详解】（1）由题意可得，解得，
的定义域为.
（2）令，
在上单调递增；在上单调递减，
又在上单调递减，
的单调递增区间为，单调递减区间为.国泰中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学试卷
考试时间:120分钟 考试分值:150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定形式是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上是减函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数(为常数)的图象过点，则（ ）
A． B． C．3 D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
9．若函数，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．数据，，，，，的平均数和中位数相同
B．数据，，，，，，，，的众数为
C．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取甲个体数为，则样本容量为
D．甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组
11．若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13．求值： ．
14．已知事件与事件互斥，且，，则 ．
15．已知，则的最小值为 .
16．函数的零点是 ．
四、解答题（17题10分，18~22每题12分，满分70分。）
17．己知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围．
18．某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，
(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
19．已知
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用函数单调性定义证明：在上是减函数.
20．已知指数函数，且过点.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
21．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，甲、乙两人的射击互不影响，求：
(1)甲、乙同时射中目标的概率？
(2)甲、乙中至少有一人击中目标的概率？
22．已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间.
试卷第1页，共3页
