2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 207.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-26 22:16:51 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数，，满足，，则下列结论中正确的是
( )
A. B. C. D.
2.下列各式中：；；；；；正确的个数是
( )
A. B. C. D.
3.命题“任意，都有”的否定为( )
A. 存在，使得 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 对任意，都有
4.方程的解所在区间是
．( )
A. B. C. D.
5.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是
( )
A. B. C. D.
6.设，，，则
( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 幂函数的图象都过点
B. 函数与是同一函数
C. 函数与的图象关于直线对称
D. ，是以为周期的函数
10.记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是
( )
A. B. 也是的函数
C. D. 不是周期函数
11.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有
( )
A.
B. 图象的对称轴过图象的对称中心
C. 在上，与都单调递减
D. 和图象的交点为
12.设函数的定义域为，且，，当时，，则下列说法正确的是
( )
A. 是偶函数
B. 为奇函数
C.
D. 函数有个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为 ．
14.设，，定义运算，则函数的最大值是 ．
15.随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于万人时，其线下销售健身卡的利润单位：万元随粉丝量单位：万人的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立关于的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为万人时，线下销售健身卡的利润大约为 万元．
万人
万元
16.已知满足，，且在上单调，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数的定义域为集合的定义域为集合．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：；
当时，求关于的不等式的解集．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边和单位圆交于点，将绕点按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于点．点的横坐标为，点的横坐标为．
求的值；
求的值；
求的值．
20.本小题分
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
21.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为．
求；
求的最大值及此时的值；
若，求的取值范围．
22.本小题分
已知，函数，．
若，，求；
若，，求；
若，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可．
【详解】因为，，所以，故 A正确；
若，故 B错误；
若，故 C错误；
若，故 D错误．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可．
【详解】错误，中包括；
错误，中没有任何元素；
错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；
由可知，正确；
错误，中有两个元素，中只有一个元素；
正确，有理数中包括整数．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，注意全称量词命题和存在量词命题的关系，属于基础题．
根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，命题“任意，都有”为全称量词命题，
其否定为：存在，使得，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】判断所给选项中的 区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案．
【详解】，
，，，，，
函数的图象是连续的，
函数的零点所在的区间是．
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间，考查了数学运算能力．
5.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可．
【详解】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，
又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除、，
若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，故 D错误；
而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，故 A正确．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小．
【详解】因为，，，
所以．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，
所以
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】设，判断出的奇偶性、单调性，由此求得不等式的解集．
【详解】设，由于是定义在上的奇函数，
所以，所以是定义在上的偶函数．
任取，，则：
，，
所以在上递增，则在上递减．
，，
对于不等式，
当时，有，即；
当时，由，即，
综上所述，不等式的解集为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的性质可判定，利用同一函数的定义可判定，利用反函数的性质可判定，利用周期性定义可判定．
【详解】对于，易知幂函数，显然恒过定点，故 A正确；
对于，由可知，即其定义域为，而的定义域为，所以两函数定义域不同，故B错误；
对于，由反函数的定义易知函数与互为反函数，
故其函数图象关于直线对称，故 C正确；
对于，根据周期性定义知对于定义域内，，不满足周期性定义，故 D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可．
【详解】由题可得，，则不是的子集，所以不正确，
无理数小数点后第位上的数为，故， A正确，
当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故 B不正确，
由于为无理数，所以不是周期函数，故 D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数图象变换及三角函数的图象与性质一一判定选项即可．
【详解】由的图象与的图象关于轴对称可知，
又根据题意可知，
整理得，即，
显然不能恒为零，所以，故 A正确；
即，
令，所以，
即图象的 对称轴为，图象的对称中心为，故 B正确；
当，此时单调递增，显然 C错误；
由，
即，此时，故 D错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定、，利用函数的周期性可计算，结合对数函数的图象与性质可判定．
【详解】因为，，
所以的图象关于轴对称，且关于中心对称，
且，
即，
所以的一个正周期为，
因为当时，，则，
所以由题意可知：，故 A错误；
同理，
所以为奇函数，故 B正确；
易知，，
，
所以，
故，故 C正确；
函数的零点等价于与的交点个数，
作出函数图象如下：
如图所示，，当时，与无交点，
同理时，与无交点，
即两函数交点在上，易知共有个交点，故D错误．
故选：
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
关于轴对称，
关于中心对称，
的一个周期为，
的一个周期为．
可以类比三角函数的 性质记忆以上结论．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积公式的应用，结合扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．
根据扇形的面积公式直接进行求解即可．
【解答】
解：设扇形的弧长为，
则，
得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据题中定义，结合正弦函数、余弦函数的性质进行求解即可．
【详解】当时，，由
，
所以；
当时，，由
，此时函数无最大值，
综上所述：函数的最大值是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法，结合正弦型函数的正负性进行求解即可．
15.【答案】 或
【解析】【分析】代入表格数据利用待定系数法及对数运算法则计算得函数解析式，再求时的函数值即可．
【详解】根据题意及表格有，作差得
即，则，
所以，
则时，．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于一般题．
由 ， 得到 ，再由函数在区间 上单调，求出 的取值范围，从而求出 的最大值．
【解答】
解： 满足 ，
，即 ，
，
在 上单调，
，即 ，
解，得，
当 时 最大，最大值为 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：由，解得或，
所以，
所以．
当时，由，得，即，
解得，所以．
所以．
由知，．
由，得，即，
解得，所以．
因为“”是“”的必要条件，所以．
所以，解得．
所以实数的取值范围是．
【解析】根据真数大于列不等式求得集合，根据被开方数不小于列不等式求得集合，最后根据集合的交并补混合运算求出答案
由题意可得集合是集合的子集，从而列不等式可求出实数的取值范围．
18.【答案】解：由
由，
即，
若，则，
若，则，所以，
若，则，所以，
综上时，不等式解集为；
时，不等式解集为；
时，不等式解集为．
【解析】利用指数与对数的运算法则计算即可；
含参讨论解一元二次不等式即可．
19.【答案】解：由题意及三角函数定义可知，，所以，
由诱导公式可知；
由及二倍角公式可知
，
又，所以，故负值舍去；
由题意可知，为第二象限角，
所以，
所以
，
因为，为第二象限角，，
则为第二象限角，即，
所以
【解析】利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可；
利用诱导公式，二倍角公式计算即可；
利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可．
20.【答案】解：当时，设，，解得．
所以╔╔f(t)= \ begin{cases}5320-20t(16-t),(0
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人．
╔╔(2)P= \ begin{cases}20(t+\dfrac{100}{t}),(0
当时，，当且仅当时等号成立
当时，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少．
【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题．
21.【答案】解：根据题意可知，
所以，
整理得
，
由知，
所以，显然时，，此时；
由知，
且
所以，
即不等式的解集为．
【解析】解直角三角形结合三角恒等变换计算即可；
利用三角函数的图象与性质计算即可；
利用三角函数的图象与性质计算即可．
22.【答案】解：若，，则依题意，
所以；
若，，则，，
所以；
若，，则，，
所以，
设，则，
易知，设，显然在上单调递增，
又，即恰有一个根，
故，得证．
【解析】根据指数与对数的运算法则计算即可；
利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可；
利用函数解析式得出，作商得，根据换元法设，则，结合函数单调性计算即可证明．
思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出，要证，显然作商可得结构，利用换元法设，得，借助函数的单调性计算即可证明．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数，，满足，，则下列结论中正确的是
( )
A. B. C. D.
2.下列各式中：；；；；；正确的个数是
( )
A. B. C. D.
3.命题“任意，都有”的否定为( )
A. 存在，使得 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 对任意，都有
4.方程的解所在区间是
．( )
A. B. C. D.
5.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是
( )
A. B. C. D.
6.设，，，则
( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 幂函数的图象都过点
B. 函数与是同一函数
C. 函数与的图象关于直线对称
D. ，是以为周期的函数
10.记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是
( )
A. B. 也是的函数
C. D. 不是周期函数
11.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有
( )
A.
B. 图象的对称轴过图象的对称中心
C. 在上，与都单调递减
D. 和图象的交点为
12.设函数的定义域为，且，，当时，，则下列说法正确的是
( )
A. 是偶函数
B. 为奇函数
C.
D. 函数有个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为 ．
14.设，，定义运算，则函数的最大值是 ．
15.随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于万人时，其线下销售健身卡的利润单位：万元随粉丝量单位：万人的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立关于的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为万人时，线下销售健身卡的利润大约为 万元．
万人
万元
16.已知满足，，且在上单调，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数的定义域为集合的定义域为集合．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：；
当时，求关于的不等式的解集．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边和单位圆交于点，将绕点按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于点．点的横坐标为，点的横坐标为．
求的值；
求的值；
求的值．
20.本小题分
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
21.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为．
求；
求的最大值及此时的值；
若，求的取值范围．
22.本小题分
已知，函数，．
若，，求；
若，，求；
若，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可．
【详解】因为，，所以，故 A正确；
若，故 B错误；
若，故 C错误；
若，故 D错误．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可．
【详解】错误，中包括；
错误，中没有任何元素；
错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；
由可知，正确；
错误，中有两个元素，中只有一个元素；
正确，有理数中包括整数．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，注意全称量词命题和存在量词命题的关系，属于基础题．
根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，命题“任意，都有”为全称量词命题，
其否定为：存在，使得，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】判断所给选项中的 区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案．
【详解】，
，，，，，
函数的图象是连续的，
函数的零点所在的区间是．
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间，考查了数学运算能力．
5.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可．
【详解】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，
又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除、，
若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，故 D错误；
而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，故 A正确．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小．
【详解】因为，，，
所以．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，
所以
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】设，判断出的奇偶性、单调性，由此求得不等式的解集．
【详解】设，由于是定义在上的奇函数，
所以，所以是定义在上的偶函数．
任取，，则：
，，
所以在上递增，则在上递减．
，，
对于不等式，
当时，有，即；
当时，由，即，
综上所述，不等式的解集为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的性质可判定，利用同一函数的定义可判定，利用反函数的性质可判定，利用周期性定义可判定．
【详解】对于，易知幂函数，显然恒过定点，故 A正确；
对于，由可知，即其定义域为，而的定义域为，所以两函数定义域不同，故B错误；
对于，由反函数的定义易知函数与互为反函数，
故其函数图象关于直线对称，故 C正确；
对于，根据周期性定义知对于定义域内，，不满足周期性定义，故 D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可．
【详解】由题可得，，则不是的子集，所以不正确，
无理数小数点后第位上的数为，故， A正确，
当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故 B不正确，
由于为无理数，所以不是周期函数，故 D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数图象变换及三角函数的图象与性质一一判定选项即可．
【详解】由的图象与的图象关于轴对称可知，
又根据题意可知，
整理得，即，
显然不能恒为零，所以，故 A正确；
即，
令，所以，
即图象的 对称轴为，图象的对称中心为，故 B正确；
当，此时单调递增，显然 C错误；
由，
即，此时，故 D错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定、，利用函数的周期性可计算，结合对数函数的图象与性质可判定．
【详解】因为，，
所以的图象关于轴对称，且关于中心对称，
且，
即，
所以的一个正周期为，
因为当时，，则，
所以由题意可知：，故 A错误；
同理，
所以为奇函数，故 B正确；
易知，，
，
所以，
故，故 C正确；
函数的零点等价于与的交点个数，
作出函数图象如下：
如图所示，，当时，与无交点，
同理时，与无交点，
即两函数交点在上，易知共有个交点，故D错误．
故选：
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
关于轴对称，
关于中心对称，
的一个周期为，
的一个周期为．
可以类比三角函数的 性质记忆以上结论．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积公式的应用，结合扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．
根据扇形的面积公式直接进行求解即可．
【解答】
解：设扇形的弧长为，
则，
得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据题中定义，结合正弦函数、余弦函数的性质进行求解即可．
【详解】当时，，由
，
所以；
当时，，由
，此时函数无最大值，
综上所述：函数的最大值是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法，结合正弦型函数的正负性进行求解即可．
15.【答案】 或
【解析】【分析】代入表格数据利用待定系数法及对数运算法则计算得函数解析式，再求时的函数值即可．
【详解】根据题意及表格有，作差得
即，则，
所以，
则时，．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于一般题．
由 ， 得到 ，再由函数在区间 上单调，求出 的取值范围，从而求出 的最大值．
【解答】
解： 满足 ，
，即 ，
，
在 上单调，
，即 ，
解，得，
当 时 最大，最大值为 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：由，解得或，
所以，
所以．
当时，由，得，即，
解得，所以．
所以．
由知，．
由，得，即，
解得，所以．
因为“”是“”的必要条件，所以．
所以，解得．
所以实数的取值范围是．
【解析】根据真数大于列不等式求得集合，根据被开方数不小于列不等式求得集合，最后根据集合的交并补混合运算求出答案
由题意可得集合是集合的子集，从而列不等式可求出实数的取值范围．
18.【答案】解：由
由，
即，
若，则，
若，则，所以，
若，则，所以，
综上时，不等式解集为；
时，不等式解集为；
时，不等式解集为．
【解析】利用指数与对数的运算法则计算即可；
含参讨论解一元二次不等式即可．
19.【答案】解：由题意及三角函数定义可知，，所以，
由诱导公式可知；
由及二倍角公式可知
，
又，所以，故负值舍去；
由题意可知，为第二象限角，
所以，
所以
，
因为，为第二象限角，，
则为第二象限角，即，
所以
【解析】利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可；
利用诱导公式，二倍角公式计算即可；
利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可．
20.【答案】解：当时，设，，解得．
所以╔╔f(t)= \ begin{cases}5320-20t(16-t),(0
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人．
╔╔(2)P= \ begin{cases}20(t+\dfrac{100}{t}),(0
当时，，当且仅当时等号成立
当时，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少．
【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题．
21.【答案】解：根据题意可知，
所以，
整理得
，
由知，
所以，显然时，，此时；
由知，
且
所以，
即不等式的解集为．
【解析】解直角三角形结合三角恒等变换计算即可；
利用三角函数的图象与性质计算即可；
利用三角函数的图象与性质计算即可．
22.【答案】解：若，，则依题意，
所以；
若，，则，，
所以；
若，，则，，
所以，
设，则，
易知，设，显然在上单调递增，
又，即恰有一个根，
故，得证．
【解析】根据指数与对数的运算法则计算即可；
利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可；
利用函数解析式得出，作商得，根据换元法设，则，结合函数单调性计算即可证明．
思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出，要证，显然作商可得结构，利用换元法设，得，借助函数的单调性计算即可证明．
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