福州延安中学 2023-2024 学年第二学期初三二月质量检测数学答案
1. A，2.D，3.B，4.B，5.D，6.C，7.A，8.A，9.B，10.C，
11. x 3，12. x x 1 2024 ，13. ，14. 48，15.1，16.①②④，
18
17.解：原式 (x 3) 2(x 1)
(x 1)(x 1) ………………………………………………………………2分
x 1
，
(x 1)(x 1) ………………………………………………………………4分
1
x 1 ………………………………………………………………………6分
1
当 x 3 1时，原式
3 1 1
3
．
3 ……………………………………………………………8分
18.证明：
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB CD， AB / /CD，……………………………………………………………………2分
∴ EAB FCD， …………………………………………………………………………3分
∵ BE / /DF，
∴ BEF DFE，
∴ AEB CFD， …………………………………………………………………………4分
在△AEB和△CFD中，
EAB FCD
AEB CFD，
AB CD
∴△AEB≌△CFD（AAS）；………………………………………………………………6分
∴ AE CF． ………………………………………………………………………………8分
19.(1)如图所示：点 D即为所求.…………………………………………………………1分
………………………………………………………………4分
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
设 A ,
∵ DBA A ,
∴ AD BD , BDC DBA A 2 ，
∵ BDC ABC，
∴ ABC 2 ，
∵ ACB 90 ，
∴ ABC A 90 ，
即 2 90 ，解得 30 ，………………………………………………………………6分
∴ BDC 60 ，
∴ cos BDC
CD 1
，
BD 2
∴ BD 2CD，
∴ AD 2CD，
AD
∴ 2， ……………………………………………………………………………………8分
CD
20.解：（1）
……………………………………………2分
(2)54 ………………………………………………………………………5分
(3) 15 25% 60 (人)
3600 18 1080（人)
60 ………………………………………………………………………8分
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数 1080人．
21.解：（1）设购买 A种书架 x个，则购买 B种书架 (20 x)个，根据题意，得
300x 360(20 x) 6540，…………………………………………………………………2分
解得： x 11，
20 11 9 (个)………………………………………………………………………………4分
答：购买 A种书架11个， B种书架9个．
（2）设购买 A种书架m个，所需总费用为w元，根据题意得
w (260 20)m (300 30)(20 m) 50m 6600 ， ………………………………………6分
又由 20 m 3m，得m 5，
∵ 50 0，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
∴ w的值随着m值的增大而减小， ……………………………………………………7分
又∵m为整数，
∴m 5，
∴ w有最小值：w 50 5 6600 6350
20 5 15， ……………………………………………………………………………8分
答：花费最少的购买方案是 A种规格书架5个， B种规格书架15个，花费为6350元．
22.（1）证明：如图所示，连接OD，
∵DF BC
∴ CEF 90
∵OD OC，
∴ OCD ODC，………………………………………………………………………2分
∵CD平分 OCB，
∴ OCD BCD，
∴ ODC BCD，
∴OD / /BC ，………………………………………………………………………………4分
∴ ODF CEF 90
∴OD DF，
∵OD是半径，
∴DF是 O的切线；………………………………………………………………………5分
（2）∵ AB是 O的直径,
∴ ADB 90 ,
∵ O的半径为4
∴ AB 8…………………………………………………………………………………7分
∵ sin A
1
2
∴ A 30 ,………………………………………………………………………………8分
∴ ABD 60 ,
∵OB OD 4，
∴△OBD为等边三角形，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
∴ DOF 60 ， …………………………………………………………………9分
∴ F 30 ，
∴OF 2OD 8，
∴ BF OF OB 8 4 4 .………………………………………………………………10分
23.解：任务1,由题意知： AB MD，CD MD，
即 ABM CDN 90 ，
∵CN∥AM，
∴ AMB CND，
∴△ ABM ∽△CDN． ……………………………………………………………………3分
任务2,小陈同学还要测量图中线段DE的长度,记为 a． ………………………………4分
由题意知： GEB CED，
∵GB BD，CD BD，
∴ GBE CDE 90 ，
∴△GBE∽△CDE．
GB BE
∴ ，
CD DE
∵GB 1.6， BE 2.5，DE a，
∴CD
16
a
25 . ………………………………………………………………………………6分
任务3,过点G作GH CD于点H,交PQ于点F.
由题意知：GF BQ 3.5，FH QD 14，
GB FQ HD 1.6，
即 FP PQ FQ 3 1.6 1.4，
GH GF FH 3.5 14 17.5
CH CD HD CD 1.6，
∵ PQ BD，CD BD，
∴ PQB CDB 90 ，
∴ PQ / /CD，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
∴△GFP∽△GHC． …………………………………………………………………8分
FP GF
∴ HC GH ，
1.4 3.5
∴ CD 1.6 17.5 .
∴CD 8.6 . ……………………………………………………………………………10分
24.（1）∵抛物线 y
1
x2 bx 2与 y轴交于点C ,
2
∴当 x 0时， y 2 .即点C(0, 2) ,
1 2
∵抛物线 y x bx 2与 x轴交于点 A，B（ A在B左边），且OB 2OC ,
2
∴OB 2OC 4 ,即点B(4,0) , ………………………………………………………2分
0 1 3∴ 42 4b 2 ,解得b ，
2 2
1
∴ y x2
3
x 2 …………………………………………………………………4分
2 2
(2)连接BC,AP,过点P作 PE AB于点E.
y 1 x2∵抛物线 bx 2与 x轴交于点 A，B（ A在B左边）
2
∴当 y 0 1 x2 3 时， x 2 0 .
2 2
解得 x1 1， x2 4，
即点 A( 1,0) , …………………………………………………………………………5分
在 Rt△BOC中
tan CBO OC 1 ，
OB 2
∵ PAB CBO
tan PAB 1∴ tan CBO
2
P(t, 1 t 2 3设 t 2) ,
2 2
PE 1 t 2 3∴ t 2， ，
2 2 AE t 1
1 t 2 3 t 2
∴ 2 2 1 ，……………………………………………………………………7分
t 1 2
解得 t1 5， t2 1，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
t 1∴当 5时， 52 31 5 2 3，2 2
即点 P(5, 3) . ……………………………………………………………………8分
(3)过点M 、 N分别作 x轴的垂线，垂足分别为 S，T，
∵ A( 1,0) , B(4,0) ,
∴ AB 5，
∵OD
1
AB，
5
∴OD 1，
∴点D(1,0)，
∴ AD 2 , BD 3，
∵ AM / /BN ，
∴ MAD NBD， AMD BND，
∴△MAD∽△NBD，
MD AD 2
∴ ND BD 3， ……………………………………………………………………9分
∵点M 、 N分别作 x轴的垂线，垂足分别为 S，T，
∴ MSD NTD 90 ，
∵ MDS NDT，
∴△MDS ∽△NDT，
DS MD 2
∴ ，
DT ND 3
xM xD 2 x ，即 M 1 2 ，
xD xN 3 1 xN 3
∵ A( 1,0) ,
∴可设直线 AM 的表达式为 y k (x 1) ,
y 1 3 x2 x 2 1 3
∴联立 2 2 得 x2 (k )x k 2 0
y k (x 1)
2 2
∴ xA xM 2k 3，
∴ xM 2k 4，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
同理可得： xN 2k 1，
2k 4 1 2
∴ ，
1 ( 2k 1) 3
1
解得 k ， ………………………………………………………………………10分
2
1
∴ xM 2 4 3，2
∴ y 1M (3 1) 2，2
∴点M (3, 2)，
∵D(1,0) ,
可设直线 NM 的表达式为 y mx n，
2 3m n
∴ ，
0 m n
m 1
解得 ，
n 1
∴直线MN 的表达式为 y x 1． ………………………………………………12分
25.(1)∵DA绕点D逆时针旋转90°，得到DE．
∴ ADE 90 ，DE DA，
∵B,E,C三点共线，
∴ ADC ADB 90 ，
∵ BAC 90 ， C 30 ， AB 2，
∴ BC 2AB 4， B 60 ，
∴ AD 3 AB sin 60 2 3 ，
2
BD AB cos60 2 1 1，
2
∴DE 3， AE 6，
∴CE BC DE BD 4 3 1 3 3 . ………………………………………4分
(2)当 ADB 45 时，同（1）做法可得：CD 3 3， AD 6，
∵ ADE 90 ，DE DA，
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
∴△ ADE为等腰直角三角形，
∴ E 45 ， AE 2AD 2 3，
∵ ADE 90 ， ADB 45 ，
∴ CDF 45 ，
∴ CDF E，
∵ CFD AFE，
∴△CFD∽△ AFE，
DF CD 3 3 3 1
∴ ，
EF AE 2 3 2
1
S DF AD
∴ ADF
DF 3 1
21 .…………………………………………………9分S AEF EF AD EF 2
2
(3)CE 3 2 6的最小值是 . ………………………………………………………14分
2
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}福州延安中学 2023-2024 学年第二学期初三二月质量检测 7.某校九年级有 11名同学参加知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前 6名参加决赛．小
兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 11名同学成
数 学
绩的（ ）
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
一、选择题．（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 a 28.已知反比例函数 y ，当 x 0时，y随 x增大而增大，则 a的值可能是（ ）
项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） x
1. 5的相反数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A . 5 B. 5 C. 1 D. 1 9. 如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为. 5 5
圆心、CA2. 为半径向内作直角扇形，再以
D为圆心、
下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
DC为半径向内作扇形，使点 E刚好落到半圆上，
A. . B. C. D. 且 A，D，E三点共线，若 AB 8 4 2，则阴影部
分的面积为（ ） （第 9题图）
3. 如图是一个由 5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D.8
10. 点P x1,3 和点Q x2 ,3 在二次函数 y x2 2x 4的图象上，且 x1 x2，PQ 2a，
A. B. C. D.
2 a
则 x1 x 8的值为（ ）2 2
4. 2020-2025 5G 10.6 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2中国信息通信研究院测算， 年，中国 商用直接带动经济总产出达
10.6 二、填空题．（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）万亿元．其中数据 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4 B. 1.06 1013 C.
11.二次根式
10.6 1013 D. 1.06 108 x 3
中，x的取值范围是 ．
10.6 10
2
5. 下列事件中，不是随机事件的是（ ） 12．分解因式： x 2024x ．
A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B.打开电视机，它正在播广告 13.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1到 6
C. 购买一张彩票，中奖 D. 从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球 的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和
6. 下列运算正确的是（ ） 为 3的概率是 ．
A. x4 x3 x12 B. x6 x3 x2 C. 3x2 3 27x6 D. x2 x3 x5 14.如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，点 E是边 AB
的中点，若OE 6，则菱形 ABCD的周长是 ． （第 14题图）
第 1页（共 3 页）
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
x x y15.已知非零实数 x，y满足 y x 1，则
根据以上信息，解答下列问题：
xy 的值是 ．
（1）补全条形统计图；
16.如图，在 Rt△ABC中， ACB 90 , BC 1 , AC 3 ,
（2）在扇形统计图中，“D”主题对应扇形的圆心角为________度；
将线段 AB绕点 A顺时针旋转 150°得到 AD，连接 BD
交 AC于点 E.过点 C作 CF⊥AD于点 F,CF交 AB于点 （3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
G.给出下列四个结论：
CF 3 , CE CG , AD 5
21．(8分)某校为改善办学条件，计划购进 A，B两种规格的书架，经市场调查发现有
① ② ③ ,④DE 3BE .
2 AF 2 线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
其中正确的结论是 ． 线下 线上
规格
（请写出所有正确结论的序号） （第 16题图） 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出 A 300 0 260 20
文字说明、证明过程或演算步骤） B 360 0 300 30
x 3 2
17.(8 ) x 1 A B 20 6540 A B分 先化简，再求值： 2 ，其中 ＝x 1 x 1 3 1
（ ）如果在线下购买 ， 两种书架共 个，花费 元，求 ， 两种书架各购
．
买了多少个；
18.(8分)如图，在 ABCD中，E，F是对角线 AC上的两点， （2）如果在线上购买 A，B两种书架共 20个，且购买 B种书架的数量不少于 A种书
架的 3倍，请设计出花费最少的购买方案．
且 BE //DF．求证：AE＝CF．
（第 18题图）
ACB 90 AC BC 22．(10分)如图，已知 AB是 O的直径，C为 O上一点， OCB的角平分线交 O于19.(8分)在 Rt△ABC中， ，
点D，F在直线 AB上，且DF BC，垂足为E，连接 AD， BD．
（1）在 AC上求作点 D，使得 DBA A . （1）求证：DF是 O的切线；
AD
( 2)在（1）的条件下，若 BDC ABC ,求 的值. （2）若 sin A
1
， O的半径为4，求 BF的长．
CD 2
（第 19题图）
20.(8分) 某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了“ A：文明礼仪， B：生态环
境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为
了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图
所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
（第 22题图）
（第 20题图）
第 2页（共 3 页）
{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
23.(10分)根据以下素材，探索解决问题． 124.(12 2分)抛物线 y x bx 2与 x轴交于点 A， B（ A在 B左边），与 y轴交于
2
测量旗杆的高度 点C ,且OB 2OC .
（1）求抛物线的解析式；
可以利用影子测量旗杆的高 （2）若点 P在第四象限的抛物线上，且 PAB CBO ,求点 P的坐标；
说明：小
度．如右图，光线CN∥AM， 1
1 （3）若点 D 在
x 轴正半轴上且 OD AB ,经过点 D 的直线 MN 交抛物线于点
素材 陈同学、 5
DN， BM分别是旗杆和小陈
旗杆CD M ,N (M 在第一象限，N 在第三象限)，且满足BN //AM，求MN的解析式．
同学在同一时刻的影子．
与标杆
可以利用镜子测量旗杆的高 PQ均垂
度．如右图，小陈同学从镜 直于地
素材 2
子 E中刚好可以看见旗杆的 面，小陈
顶端C，测得BE 2.5m． 同学的眼
睛G离地
可以利用标杆测量旗杆的高
面的距离 （第24题图）
度．如右图，点G，P，C在
3 GB 1.6m 25.(14分)如图，在Rt△ABC中， BAC 90 ， C 30 ， AB 2，点D是线段 BC上素材
同一直线上，标杆PQ 3m， 一动点，连接DA，将DA绕点D逆时针旋转90°，得到DE．
．
测得BQ 3.5m，QD 14m．
问题解决
任务 1 分析测量原理 利用素材 1证明△ ABM ∽△CDN．
在素材 2中，小陈同学还要测量图中哪条线段
（图1） （图2） （图3）
的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆 （第25题图）
任务 2 完善测量数据
的高度？若把该线段的长度记为 a，请你用含 （1）如图1，若B,E,C三点共线时，求CE的长；
a S的式子表示出旗杆的高度． 2 2 ADB 45 DE AC F ADF（ ）如图 ，若 ， 交 于点 ，求 S ； AEF
任务 3 推理计算高度 利用素材 3求出旗杆的高度． （3）如图3，连接CE，请直接写出CE的最小值．
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{#{QQABDYIEggioABBAAAgCUwWYCkEQkAEACIoOABAMIAIBSQNABAA=}#}
