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专题1.5 平方差公式（分层练习，四大类型）
考查题型一、利用平方差公式化简计算
1．计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）
解：原式＝a2﹣9b2﹣（4b2﹣a2）
＝2a2﹣13b2．
2．化简：
（1）5x+3x2﹣（2x﹣2x2﹣1）
（2）x2（x﹣2y）（x+2y）﹣（x2+y）（x2﹣y）．
解：（1）5x+3x2﹣（2x﹣2x2﹣1）
＝5x+3x2﹣2x+2x2+1
＝5x2+3x+1；
（2）x2（x﹣2y）（x+2y）﹣（x2+y）（x2﹣y）
＝x2（x2﹣4y2）﹣（x4﹣y2）
＝x4﹣4x2y2﹣x4+y2
＝﹣4x2y2+y2．
3．202×198 （ 用乘法公式计算）
解：原式＝（200+2）（200﹣2）＝2002﹣22＝39996．
4．计算：
（1）（m3）5÷[（m2）3]2×（﹣m m3）2；
（2）998×1002（用简便方法计算）
解：（1）（m3）5÷[（m2）3]2×（﹣m m3）2
＝m15÷m12 m8
＝m15﹣12+8
＝m11；
（2）原式＝（1000+2）×（1000﹣2）
＝10002﹣22
＝1000000﹣4
＝999996．
考查题型二、利用平方差公式求含条件的整式的值
5．已知：x2﹣y2＝12，x+y＝3，求2x2﹣2xy的值．
解：∵x2﹣y2＝12，
∴（x+y）（x﹣y）＝12，
∵x+y＝3①，
∴x﹣y＝4②，
①+②得，2x＝7，
∴2x2﹣2xy＝2x（x﹣y）＝7×4＝28．
6．已知x2﹣4x﹣3＝0，求代数式（2x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
解：（2x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2
＝2x﹣3﹣x2+y2﹣y2
＝﹣x2+2x﹣3．
∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x+4＝7．
∴（x﹣2）2＝7．
∴x＝±+2．
当x＝时，原式＝＝﹣10﹣．
当x＝﹣时，原式＝+2×﹣3＝﹣10+．
综上：原式＝﹣10．
考查题型三、利用几何背景说明平方差公式及应用公式计算求值
7．先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）．
解：原式＝a2﹣1+a﹣a2﹣a
＝﹣1．
该代数式与a的取值没有关系．
8．已知：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：
（1）a5﹣b5＝（a﹣b）（ a4+a3b+a2b2+ab3+b4 ）；
（2）若a﹣＝2，你能根据上述规律求出代数式a3﹣的值吗？
解：（1）a4+a3b+a2b2+ab3+b4；
（2）a3﹣＝（a﹣）（a2+1+），
＝（a﹣）（a2﹣2++3），
＝（a﹣）[（a﹣）2+3]，
＝2×（4+3），
＝2×7，
＝14．
9．如图，在边长为a的正方形的一角剪去一个边长为b的正方形，把剩余的部分（图中的阴影部分）裁剪后拼成右边的长方形．
（1）请写出上述剪拼过程中所揭示的乘法公式；
（2）请运用乘法公式简便计算：20192﹣2020×2018．
解：（1）第一个图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图中的面积：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
乘法公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝1．
考查题型四、利用积为平方差的因式的特点进行计算
10．如图①，在边长为a的大正方形右下方剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），所得到的图形的面积可以表示为 a2﹣b2 ，把它沿虚线剪下一个长方形，如图②拼成一个大长方形，这个大长方形的图形的面积可以表示为 （a+b）（a﹣b） ，由此可以得到一个等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
运用得到的等式计算：12.52﹣7.52．
解：剪去一个边长为b的小正方形的图形的面积是a2﹣b2，
拼图后的图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
∴12.52﹣7.52＝（12.5+7.5）（12.5﹣7.5）＝20×5＝100．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
11．你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1
（m﹣1）（m2+m+1）＝ m3﹣1
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝ m4﹣1
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝ mn+1﹣1
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程．
（3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果 ．
解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1；
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝mn+1﹣1；
（2）∵（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）＝2100﹣1，
∴299+298+297+…+2+1＝2100﹣1；
（3）∵（3﹣1）（3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1）＝3n+1﹣1，
∴3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1＝．
故答案为：m3﹣1；m4﹣1；mn+1﹣1；．
12．观察下列等式：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4…
利用你的发现的规律解决下列问题
（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝ a5﹣b5 （直接填空）；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2…+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （直接填空）；
（3）利用（2）中得出的结论求62019+62018+…+62+6+1的值．
解：（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5
故答案为：a5﹣b5；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn
故答案为：an﹣bn；
（3）62019+62018+…+62+6+1＝（6﹣1）（62019+62018+…+62+6）×＝．
一、单选题
1．计算（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．x2+2 B．x2﹣2 C．x2+4 D．x2﹣4
解：（x+2）（x﹣2）＝x2﹣22＝x2﹣4，
故选：D．
2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y）
解：A、（x+2）（x+2）＝（x+2）2，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；
C、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，符合平方差公式的特点，故D选项正确；
D、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2不符合平方差公式的特点，故选项C错误．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6
解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27
解：∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故选：A．
5．如果（﹣2x﹣3y） m＝4x2﹣9y2，则m表示的式子为（ ）
A．﹣2x+3y B．2x﹣3y C．﹣2x﹣3y D．2x+3y
解：对4x2﹣9y2因式分解，可得，
4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y），
∵（﹣2x﹣3y） m＝4x2﹣9y2，
即﹣（2x+3y） m＝4x2﹣9y2，
∴m表示的式子为﹣2x+3y．
故选：A．
6．王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（ ）
A．面积相等 B．面积增加了4平方米
C．面积减少了4平方米 D．无法确定
解：由于改造前，这块地的面积为m2平方米，
改造后是长为（m+2）米，宽为（m﹣2）米，面积为（m+2）（m﹣2）＝（m2﹣4）平方米，
所以改造后的菜地与原来的菜地相比减少了4平方米，
故选：C．
7．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（ ）
A．520 B．502 C．250 D．205
解：设较小的奇数为2m﹣1，则与之相邻的较大的奇数为2m+1，
这两个奇数的平方差为：（2m+1）2﹣（2m﹣1）2＝8m，
因此这两个奇数的平方差能被8整除，
而520÷8＝65，502÷8＝62……6，250÷8＝31……2，205÷8＝25……5，
故选：A．
8．数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．
已知a+b＝﹣4，a2﹣b2＝12，求a﹣b的值．
结合他们的对话，通过计算求得a﹣b的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝12，a+b＝﹣4，
∴a﹣b＝﹣3．
故选：B．
9．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
二、填空题
10．已知x+y＝7，x﹣y＝2，则y2﹣x2＝ ﹣14 ．
解：∵y2﹣x2
＝﹣（x2﹣y2）
＝﹣（x+y）（x﹣y），
∴当x+y＝7，x﹣y＝2时，
原式＝﹣7×2＝﹣14，
故答案为：﹣14．
11．计算：9982﹣4＝ 996000 ．
解：原式＝9982﹣22
＝（998+2）（998﹣2）
＝1000×996
＝996000，
故答案为：996000．
12．在边长为3a+1的正方形纸片中剪下一个边长为a+1的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为 8a+4 ．
解：设？＝x，根据题意列方程为：（3a+1）2﹣（a+1）2＝ax，
整理得：x＝8a+4．
故答案为：8a+4．
13．定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝（a+b）（a﹣b），例如：3 1＝（3+1）（3﹣1）＝8，则4 [2 （﹣1）]的值为 7 ．
解：由新定义得运算可得，
4 [2 （﹣1）]
＝4 [（2﹣1）×（2+1）]
＝4 3
＝（4+3）×（4﹣3）
＝7．
故答案为：7．
三、解答题
14．（x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（x﹣y）．
解：原式＝2x2﹣xy﹣y2﹣x2+y2＝x2﹣xy．
15．计算：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝．
解：原式＝x2﹣2x﹣（x2﹣4）
＝x2﹣2x﹣x2+4
＝﹣2x+4，
当x＝时，原式＝﹣1+4＝3．
16．利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．
解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝1．
17．长方形的周长是16，它的两边x，y满足x2+xy+y2﹣49＝0，求此长方形的面积．
解：由题意得：2（x+y）＝16，
∴x+y＝8，
∵x2+xy+y2﹣49＝0，
变形处理可得：x2+2xy+y2﹣xy﹣49＝0，
∴（x+y）2﹣xy﹣49＝0，
∴xy＝（x+y）2﹣49＝82﹣49＝15，
故该长方形的面积为15．
18．计算：（m+n）2﹣m（m+2n）．
解：原式＝m2+2mn+n2﹣（m2+2mn）
＝m2+2mn+n2﹣m2﹣2mn
＝n2．
19．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．
（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）
＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a
＝﹣a2﹣b2﹣a
左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
解：不正确，
原式＝9a2﹣b2﹣4a2+a
＝5a2﹣b2+a，
即正确答案为：5a2﹣b2+a．
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专题1.5 平方差公式（分层练习，四大类型）
考查题型一、利用平方差公式化简计算
1．计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）
2．化简：
（1）5x+3x2﹣（2x﹣2x2﹣1）
（2）x2（x﹣2y）（x+2y）﹣（x2+y）（x2﹣y）．
3．202×198 （ 用乘法公式计算）
4．计算：
（1）（m3）5÷[（m2）3]2×（﹣m m3）2；
（2）998×1002（用简便方法计算）
考查题型二、利用平方差公式求含条件的整式的值
5．已知：x2﹣y2＝12，x+y＝3，求2x2﹣2xy的值．
6．已知x2﹣4x﹣3＝0，求代数式（2x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
考查题型三、利用几何背景说明平方差公式及应用公式计算求值
7．先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）．
8．已知：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：
（1）a5﹣b5＝（a﹣b）（ ）；
（2）若a﹣＝2，你能根据上述规律求出代数式a3﹣的值吗？
9．如图，在边长为a的正方形的一角剪去一个边长为b的正方形，把剩余的部分（图中的阴影部分）裁剪后拼成右边的长方形．
（1）请写出上述剪拼过程中所揭示的乘法公式；
（2）请运用乘法公式简便计算：20192﹣2020×2018．
10．如图①，在边长为a的大正方形右下方剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），所得到的图形的面积可以表示为 ，把它沿虚线剪下一个长方形，如图②拼成一个大长方形，这个大长方形的图形的面积可以表示为 ，由此可以得到一个等式 ．
运用得到的等式计算：12.52﹣7.52．
考查题型四、利用积为平方差的因式的特点进行计算
11．你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1
（m﹣1）（m2+m+1）＝
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝
（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程．
（3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果 ．
12．观察下列等式：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4…
利用你的发现的规律解决下列问题
（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝ （直接填空）；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （直接填空）；
（3）利用（2）中得出的结论求62019+62018+…+62+6+1的值．
一、单选题
1．计算（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．x2+2 B．x2﹣2 C．x2+4 D．x2﹣4
2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y）
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6
4．若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27
5．如果（﹣2x﹣3y） m＝4x2﹣9y2，则m表示的式子为（ ）
A．﹣2x+3y B．2x﹣3y C．﹣2x﹣3y D．2x+3y
6．王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（ ）
A．面积相等 B．面积增加了4平方米
C．面积减少了4平方米 D．无法确定
7．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（ ）
A．520 B．502 C．250 D．205
8．数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．
已知a+b＝﹣4，a2﹣b2＝12，求a﹣b的值．
结合他们的对话，通过计算求得a﹣b的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
9．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
二、填空题
10．已知x+y＝7，x﹣y＝2，则y2﹣x2＝ ．
11．计算：9982﹣4＝ ．
12．在边长为3a+1的正方形纸片中剪下一个边长为a+1的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为 ．
13．定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝（a+b）（a﹣b），例如：3 1＝（3+1）（3﹣1）＝8，则4 [2 （﹣1）]的值为 ．
三、解答题
14．（x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（x﹣y）．
15．计算：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝．
16．利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．
17．长方形的周长是16，它的两边x，y满足x2+xy+y2﹣49＝0，求此长方形的面积．
18．计算：（m+n）2﹣m（m+2n）．
19．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．
（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）
＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a
＝﹣a2﹣b2﹣a
左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
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