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专题1.7 整式的除法（第1课时）（分层练习，五大类型）
考查题型一、利用整式的除法法则进行计算
1．计算：
（1）（﹣3x﹣4）（3x﹣4）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
2．计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．
3．计算：
（1）（12x4﹣8x3）÷2x；
（2）．
考查题型二、利用整式除法法则化简求值
4．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
5．先化简，再求值：
[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣9x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣2，．
6．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
考查题型三、利用整式运算法则解误算问题
7．某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？
8．小刚在计算一个多项式除以单项式的时候，不小心当成是乘，结果得2x5y2﹣x4y3﹣3x3y4+4x2，你能帮小刚求出正确的结果吗？
9．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求整式B；
（3）求A÷B的正确结果．
考查题型四、利用乘除运算求字母的值
10．已知a （x3y4）3÷（﹣x2+ny4）＝x2y2m，求实数a、m、n的值．
11．将一多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c），除以（5x+6）后，得商式为（2x+1），余式为0，求a﹣b﹣c的值．
考查题型五、利用已知等式探究规律求值
12．观察下列式子：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+22+23+24+…+22021．
一、单选题
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．24a3b2÷3ab2＝8a2b D．a2+a3＝a5
2．计算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2的结果是（ ）
A．2a2 B．2a2﹣1 C．2a2﹣b D．2a2b﹣1
3．下列计算正确的是（ ）
A．x10÷x2＝x5
B．（x3）2÷（x2）3＝x
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x
4．长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b
5．张芳家有一个圆柱形的塑料桶，体积是3πx3+6πx2，底面半径为x，则这个塑料桶的高为（ ）
A．3x+6 B．3πx+6 C．3πx2+6πx D．3πx+6π
6．已知M （﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（ ）
A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1
C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1
7．已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那么B﹣A的正确结果为（ ）
A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6
8．墨迹污染了等式15x33x＝5x2（x≠0）中的运算符号，则污染的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
9．用一个容量为2GB（1GB＝210MB）的便携式优盘存储数码照片，若每张数码照片的文件大小都为16MB，则理论上可以存储的照片数是（ ）
A．212张 B．28张 C．27张 D．26张
二、填空题
10．计算：10a2b÷（﹣5ab）＝ ．
11．计算：（4a3﹣a2）÷a2＝ ．
12．填上合适的式子，使等式成立：（ ）．
13．一个多项式除以﹣x2，结果是﹣x+2y，则这个多项式为 ．
14．已知，A是一个多项式，小明在计算A+3x2时，错将“+”抄成了“÷”，运算结果得x2﹣3x﹣1，那么，原来算式 A+3x2的计算结果应为 ．
15．火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 倍．
三、解答题
16．计算：（5a3+20a2﹣15a）÷5a．
17．计算：14a8b4÷7a4b4﹣a3 a﹣（2a2）2．
18．已知一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3）平方厘米，它的宽为6xy厘米，求它的长为多少厘米？
19．不论x、y取何非零实数，等式m（xayb）3÷（2x3y2）2＝x3y2恒成立，求a、b、m的值．
20．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘以a，结果是8a4b﹣4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
21．一个工件的形状和部分尺寸如图所示，其体积为（a2+2a）（6a+1）﹣a（a2﹣2a+2），求工件的长x是多少（用含a的式子表示）．
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专题1.7 整式的除法（第1课时）（分层练习，五大类型）
考查题型一、利用整式的除法法则进行计算
1．计算：
（1）（﹣3x﹣4）（3x﹣4）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
解：（1）原式＝（﹣4）2﹣（3x）2
＝16﹣9x2；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1．
2．计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．
解：原式＝（x2﹣16y2﹣x2）÷4y
＝﹣16y2÷4y
＝﹣4y．
3．计算：
（1）（12x4﹣8x3）÷2x；
（2）．
解：（1）（12x4﹣8x3）÷2x
＝12x4÷2x﹣8x3÷2x
＝6x3﹣4x2；
（2）
＝a2﹣2a+a2+3a﹣2a﹣6
＝（a2+a2）+（﹣2a+3a﹣2a）﹣6
＝2a2﹣a﹣6．
考查题型二、利用整式除法法则化简求值
4．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
解：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2）
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
5．先化简，再求值：
[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣9x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣2，．
解：原式＝4（x﹣y）2﹣（4x2﹣3xy）
＝4x2﹣8xy+4y2﹣4x2+3xy
＝4y2﹣5xy，
当时，
原式＝
＝
＝1﹣5
＝﹣4．
6．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x
＝（﹣x2）÷2x
＝﹣x，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣．
考查题型三、利用整式运算法则解误算问题
7．某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？
解：商的第一项＝21x4y3÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2；
被除式的第二项＝﹣（﹣7x2y）×5xy＝35x3y2．
8．小刚在计算一个多项式除以单项式的时候，不小心当成是乘，结果得2x5y2﹣x4y3﹣3x3y4+4x2，你能帮小刚求出正确的结果吗？
解：原多项式＝（2x5y2﹣x4y3﹣3x3y4+4x2）÷x＝6x4y2﹣3x3y3﹣9x2y4+12x，
∴正确结果：（6x4y2﹣3x3y3﹣9x2y4+12x）÷x＝18x3y2﹣9x2y3﹣27xy4+36．
9．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求整式B；
（3）求A÷B的正确结果．
解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，
＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2，
＝﹣x2y2﹣xy，
（2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2．
由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy，
∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2，
∴B＝﹣xy．
（3）由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy，
由（2）知B＝﹣xy．
∴A÷B＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy）＝xy+1．
故A÷B的正确结果xy+1．
考查题型四、利用乘除运算求字母的值
10．已知a （x3y4）3÷（﹣x2+ny4）＝x2y2m，求实数a、m、n的值．
解：原式等价于
ax9y12÷（﹣x2+ny4）＝[a÷（﹣）]x9﹣2﹣ny12﹣4＝x2y2m，
得a÷（﹣）＝，9﹣2﹣n＝2，12﹣4＝2m．
解得a＝﹣，m＝4，n＝5．
11．将一多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c），除以（5x+6）后，得商式为（2x+1），余式为0，求a﹣b﹣c的值．
解：∵多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c），除以（5x+6）后，得商式为（2x+1），余式为0，
∴（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）＝（5x+6）（2x+1），
即（17﹣a）x2+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）＝10x2+17x+6，
∴，
解得：a＝7，b＝﹣20，c＝﹣2，
∴a﹣b﹣c＝7﹣（﹣20）﹣（﹣2）＝29．
考查题型五、利用已知等式探究规律求值
12．观察下列式子：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+22+23+24+…+22021．
解：（1）原式＝xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+ +x+1．
（2）∵（2﹣1）×（22021+22020+22019+…+2+1）＝22022﹣1．
∴1+2+22+23+24+…+22020+22021＝22022﹣1．
一、单选题
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．24a3b2÷3ab2＝8a2b D．a2+a3＝a5
解：A、原式＝a7，故A不符合题意．
B、原式＝﹣8a6，故B符合题意．
C、原式＝8a2，故C不符合题意．
D、a2与a3不是同类项，故D不符合题意．
故选：B．
2．计算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2的结果是（ ）
A．2a2 B．2a2﹣1 C．2a2﹣b D．2a2b﹣1
解：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2
＝14a3b2÷7ab2﹣7ab2÷7ab2
＝2a2﹣1．
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x10÷x2＝x5
B．（x3）2÷（x2）3＝x
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x
解：A．x10÷x2＝x8，故A不符合题意；
B．（x3）2÷（x2）3＝1，故B不符合题意；
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故C符合题意；
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x+1，故D不符合题意；
故选：C．
4．长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b
解：∵长方形的面积是12a2﹣6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．
故选：B．
5．张芳家有一个圆柱形的塑料桶，体积是3πx3+6πx2，底面半径为x，则这个塑料桶的高为（ ）
A．3x+6 B．3πx+6 C．3πx2+6πx D．3πx+6π
解：这个塑料桶的底面积为：πx2，
这个塑料桶的高为：（3πx3+6πx2）÷πx2
＝3πx3÷πx2+6πx2÷πx2
＝3x+6．
故选：A．
6．已知M （﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（ ）
A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1
C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1
解：已知M （﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，
则M＝﹣4x3+9xy3+1，
故选：B．
7．已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那么B﹣A的正确结果为（ ）
A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6
解：∵B÷A＝x，
∴B＝Ax
＝x（2x+6）
＝2x2+6x，
∴B﹣A＝2x2+6x﹣（2x+6）
＝2x2+6x﹣2x﹣6
＝2x2+4x﹣6，
故选：A．
8．墨迹污染了等式15x33x＝5x2（x≠0）中的运算符号，则污染的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
解：由题意得15x3÷5x2＝3x，
∴15x3÷3x＝5x2，
故选：D．
9．用一个容量为2GB（1GB＝210MB）的便携式优盘存储数码照片，若每张数码照片的文件大小都为16MB，则理论上可以存储的照片数是（ ）
A．212张 B．28张 C．27张 D．26张
解：理论上可以存储的照片为：2×210÷16＝211÷24＝27
故选：C．
二、填空题
10．计算：10a2b÷（﹣5ab）＝ ﹣2a ．
解：原式＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
11．计算：（4a3﹣a2）÷a2＝ 4a﹣1 ．
解：（4a3﹣a2）÷a2
＝4a3÷a2﹣a2÷a2
＝4a﹣1．
故答案为：4a﹣1．
12．填上合适的式子，使等式成立：（ ）．
解：∵．
故答案为：．
13．一个多项式除以﹣x2，结果是﹣x+2y，则这个多项式为 x3﹣2x2y ．
解：设这个多项式为A，由题意得：
A÷（﹣x2）＝﹣x+2y，即A＝（﹣x+2y） （﹣x2），
解得：A＝x3﹣2x2y，
故答案为：x3﹣2x2y．
14．已知，A是一个多项式，小明在计算A+3x2时，错将“+”抄成了“÷”，运算结果得x2﹣3x﹣1，那么，原来算式 A+3x2的计算结果应为 3x4﹣9x3 ．
解：由题意可知：A÷3x2＝x2﹣3x﹣1，
∴A＝（x2﹣3x﹣1） 3x2
＝3x4﹣9x3﹣3x2．
∴A+3x2
＝3x4﹣9x3﹣3x2+3x2
＝3x4﹣9x3．
15．火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 80 倍．
解：1.08×1021÷1.35×1020＝8．
故答案为：8．
三、解答题
16．计算：（5a3+20a2﹣15a）÷5a．
解：原式＝5a3÷5a+20a2÷5a﹣15÷5a
＝a2+4a﹣3．
17．计算：14a8b4÷7a4b4﹣a3 a﹣（2a2）2．
解：14a8b4÷7a4b4﹣a3 a﹣（2a2）2
＝2a4﹣a4﹣4a4
＝﹣3a4．
18．已知一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3）平方厘米，它的宽为6xy厘米，求它的长为多少厘米？
解：∵一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3 ）平方厘米，它的宽为6xy厘米，
∴它的长为：（6x2y+12xy﹣24xy3 ）÷6xy＝（x+2﹣4y2）厘米．
19．不论x、y取何非零实数，等式m（xayb）3÷（2x3y2）2＝x3y2恒成立，求a、b、m的值．
解：∵m（xayb）3÷（2x3y2）2＝x3a﹣6y3b﹣4＝x3y2恒成立，
∴＝，3a﹣6＝3，3b﹣4＝2，
解得m＝，a＝3，b＝2．
20．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘以a，结果是8a4b﹣4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
解：原多项式为：（8a4b﹣4a3+2a2）÷a＝16a3b﹣8a2+4a，
∴正确结果为（16a3b﹣8a2+4a）÷a＝32a2b﹣16a+8
21．一个工件的形状和部分尺寸如图所示，其体积为（a2+2a）（6a+1）﹣a（a2﹣2a+2），求工件的长x是多少（用含a的式子表示）．
解：工件的体积为（a2+2a）（6a+1）﹣a（a2﹣2a+2）
＝6a3+a2+12a2+2a﹣a3+2a2﹣2a
＝5a3+15a2，
横截面积为：2a 3a﹣a2＝5a2，
则工件长x＝（5a3+15a2）÷5a2＝a+3．
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