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专题2.2 探索直线平行的条件（分层练习，五大类型）
考查题型一、利用同位角、内错角、同旁内角求角的度数
1．如图，直线AB，CD被直线EF所截，若∠1的内错角是58°，求∠1的同旁内角的度数．
解：∵∠1的内错角是58°，∠1和∠EMD是内错角，
∴∠EMD＝58°，
∴∠CME＝180°﹣∠EMD＝122°，
∵∠1和∠CME是同旁内角，
∴∠1的同旁内角的度数是122°．
2．如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C．
（1）写出∠1的同位角；
（2）求∠B的度数．
解：（1）∠1的同位角是∠A；
（2）∵∠1＝∠C，
∴AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠DAB＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝115°．
3．如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角；
（2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
解：（1）∠1的同旁内角是∠MOE，∠AOE，∠ADE，∠2的内错角是∠MOE，∠AOE；
（2）∵∠BOM＝145°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°，
∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°，
∴水下部分向上折弯了30度．
考查题型二、利用定义判断是否为同位角、内错角、同旁内角
4．如图，∠1与∠2，∠3与∠4是内错角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的？
解：∠1与∠2是直线AB和DC被直线所AC截得到的内错角，∠3与∠4是直线AD和BC被直线BD所截得到内错角．
5．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
6．如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角；
（2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
解：（1）∠1的同旁内角是∠MOE，∠AOE，∠ADE，∠2的内错角是∠MOE，∠AOE；
（2）∵∠BOM＝145°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°，
∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°，
∴水下部分向上折弯了30度．
考查题型三、同位角、内错角、同旁内角的定义探究规律
7．（1）如图1，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有 4 对，内错角有 2 对，同旁内角有 2 对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有 12 对，内错角有 6 对，同旁内角有 6 对．
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有 2n（n﹣1） 对，内错角有 n（n﹣1） 对，同旁内角有 n（n﹣1） 对．（用含n的式子表示）
解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对．
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n﹣1）对，内错角有 n（n﹣1）对，同旁内角有n（n﹣1）对，
故答案为：4，2，2；12，6，6；2n（n﹣1），n（n﹣1），n（n﹣1）．
8．如图，直线AB、CD相交于点O、形成四个角．
（1）∠1与∠2有怎样的位置关系？∠1与∠2的顶点所在的位置有什么特点？∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？图中还有具有这种位置关系的角吗？
（2）类似地，用同样的方法来研究∠1与∠3的位置关系．你能从∠1与∠3这两个角的顶点和边说明∠1与∠3的位置关系吗？具有这种位置关系的角还有几对？
解：（1）∠1与∠2位置关系：位置相邻，∠1与∠2的顶点所在的位置：有公共顶点，∠1与∠2的边所在的位置特点：一边重合，另一边互为反向延长线，图中还有具有这种位置关系的角：∠2与∠3，3与∠4，4与∠1．
（2）∠1与∠3的顶点所在的位置：有公共顶点，∠1与∠2的边所在的位置特点：两边互为反向延长线，图中还有具有这种位置关系的角：∠2与∠4．
9．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常
见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 2 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 6 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 24 对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 n（n﹣1）（n﹣2） 对同旁内角．
解：因为两个交点可以形成2对同旁内角，而三个交点形成的同旁内角的对数为6对，
（1）直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角．
（2）平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有6＝3×2×1对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，由图可知任意不同的两条直线都可被另外的两条直线所截，所以任意不相同的两条直线可以形成4对同旁内角，4条直线共有6种两条直线被另两条直线所截的情况所以有24对同旁内角．24＝4×（4﹣1）×（4﹣2）对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角
故答案为：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）
考查题型四、判定是否为平行线
10．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
证明：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．
因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），
所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．
因为∠B＝∠ACB，
所以∠B＝∠ECD（等量代换）．
所以AB∥CE（同位角相等，两直线平行）．
11．已知：如图，直线AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，若NQ平分∠END，若∠AME＝∠DNF，请对MP∥NQ说明理由．
证明：∵∠AME＝∠DNF，∠AME+∠AMN＝∠DNF+∠DNM＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM，
又∵，，
∴∠PMN＝∠QNM，
∴MP∥NQ．
12．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）；
∴（ AC ）∥（ BD ）（ 同位角相等，两直线平行 ）；
又∵AC⊥AE
∴∠EAC＝90°；
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝（ 125° ）（ 等式的性质 ）；
同理可得∠FBD+∠2＝（ 125° ）
∴（ AE ）∥（ BF ）（ 同位角相等，两直线平行 ）
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2（等量代换）；
∴（AC）∥（BD）（同位角相等，两直线平行）
又∵AC⊥AE，
∴∠EAC＝90°；
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝（125°）（等式的性质）；
同理可得∠FBD+∠2＝（125°）．
∴（AE）∥（BF）（同位角相等，两直线平行）．
13．如图，∠ADE＝∠DEF，∠EFC+∠C＝180°，试问AD与BC平行吗？为什么？
解：结论：AD∥BC．
理由：如图，∵∠ADE＝∠DEF（已知），
∴AD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∵∠EFC+∠C＝180°（已知），
∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴AD∥BC（平行于同一条直线的两条直线平行）
14．如图，直线AB、CD交直线MN于点E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由．
解：结论：AB∥CD．
理由：∵HG⊥MN，
∴∠HGE＝90°，
∵∠AEF＝∠HGE+∠EHG＝90°+27°＝117°，∠CFN＝117°，
∴∠CFN＝∠AEF，
∴AB∥CD．
考查题型五、利用定义探索直线平行的条件
15．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠BCD＝∠ACE ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ∠BCE+∠ACD＝180° ；
【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；
【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE；
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案为：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；
（2）分两种情况：
①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；
（3）设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．
由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，即∠ACD＝45°，
此时DE⊥AC或DE∥AC．
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一、单选题
1．下列各图中，∠1＝∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项符合题意；
B．∠1与∠2互为邻补角，故B选项不符合题意；
C．∠1与∠2是同位角，但是不相等，故C选项不符合题意；
D．∠1与∠2是内错角，但是不相等，故D选项不符合题意．
故选：A．
2．下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
3．如图，下列各条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4
解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
故选：A．
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角属于同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠3与∠4 D．∠1与∠3
解：A、∠1与∠2属于邻补角，故A不符合题意；
B、∠2与∠3属于同旁内角，故B符合题意；
C、∠3与∠4属于对顶角，故C不符合题意；
D、∠1与∠3属于内错角，故D不符合题意；
故选：B．
5．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等，两直线平行
解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故选：A．
6．如图，直线a，b被直线c所截，能使a∥b的条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3
C．∠1+∠3＝180° D．∠2+∠3＝180°
解：如图，
A、由∠1＝∠2，不能判断a∥b，故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠3，
∴a∥b，故B符合题意；
C、由∠1+∠3＝180°，不能判断a∥b，故C不符合题意；
D、由∠3+∠2＝180°，不能判断a∥b，故D不符合题意；
故选：B．
7．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
故①符合题意；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故②不符合题意；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故③符合题意；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故④符合题意；
综上，①③④符合题意，共3个，
故选：C．
8．如图，给出下列四个条件：①AC＝BD；②∠DAC＝∠BCA；③∠ABD＝∠CDB；④∠ADB＝∠CBD，其中能使AD∥BC的条件为（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③④
解：②由∠DAC＝∠BCA可得AD∥BC，
④由∠ADB＝∠CBD可得AD∥BC，
故选：C．
9．如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）时能判定a∥b．
A．35° B．45° C．125° D．145°
解：如图，∵∠2＝125°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝55°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，
故选：C．
10．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，不符合题意；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b，不符合题意；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，不符合题意．
故选：C．
11．给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）相等的两个角是对顶角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
（2）相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
（3）同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，是真命题；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做该点到直线的距离，故原命题是假命题；
其中正确的有1个，
故选：B．
12．如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，若∠1＝44°，∠2＝75°，要使木条a与b平行，则木条a需要顺时针转动的最小度数为（ ）
A．21° B．31° C．75° D．119°
解：如图，过点O作OA∥b，
∵∠AOB＝∠1＝44°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a需要顺时针转动的最小度数为75°﹣44°＝31°．
故选：B．
二、填空题
13．如图，点E为AB延长线上一点，要使AB∥CD，则可以添加的一个条件是 ∠CDB＝∠ABD（答案不唯一） ．
解：若∠CDB＝∠ABD，则AB∥CD
故答案为：∠CDB＝∠ABD（答案不唯一）．
14．如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝38°，则当∠2＝ 52 度时，a∥b．
解：当∠2＝52°时，a∥b，理由如下：
如图所示：
∵∠1＝38°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣38°＝52°，
当∠2＝52°时，∠2＝∠3，
∴a∥b；
故答案为：52．
15．如图，直线a、b被c所截，∠1＝130°，当∠2＝ 50 °时，a∥b．
解：当∠1+∠2＝180°时，a∥b，
∵∠1＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50．
16．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝ 60°或120° 时，CE∥AB．
（2）分两种情况：
①如图1所示，
当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°；
②如图2所示，
当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
故答案为：60°或120°．
17．如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏CD∥AE，此时∠ABC＝120°，∠BCD＝ 150 °．
解：过B作BM∥CD，
∵CD∥AE，
∴BM∥EA，
∴∠ABM+∠BAM＝180°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABM＝30°，
∵CD∥BM，
∴∠BCD+∠CBM＝180°，
∴∠BCD＝150°．
故答案为：150．
18．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制．如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A＝40°，当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB′＝ 140°或40° 时，CB'∥AB．
解：当∠ACB′＝140°时，CB'∥AB，理由如下：
∵∠ACB′＝140°，∠A＝40°，
∴∠ACB′+∠A＝180°，
∴CB'∥AB，
当CB′在AC的左侧时，∠ACB′＝40°时，CB'∥AB，
故答案为：140°或40°．
三、解答题
19．如图，点B是射线AC上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是： 同位角相等，两直线平行 ．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示：∠CBE＝∠A，
则BE∥AD，依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
20．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝50°，请你再添加一个条件，可以说明直线a与b平行，并说明理由．
解：添加∠4＝50°（添加条件不唯一），可以说明直线a与b平行，
∵∠1＝50°，∠4＝50°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
21．如图，为了说明示意图中的平安大道与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1＝90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由．
解：①通过度量∠2的度数，若满足∠1+∠2＝180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；
②通过度量∠3的度数，若满足∠1＝∠3，
根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；
③通过度量∠5的度数，若满足∠1＝∠5，
根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；
④通过度量∠4的度数，若满足∠1+∠4＝180°，可得∠1+∠2＝180°，
先根据对顶角相等，再根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论．
22．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
证明：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．
因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），
所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．
因为∠B＝∠ACB，
所以∠B＝∠ECD（等量代换）．
所以AB∥CE（同位角相等，两直线平行）．
23．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC ，
得∠1＝∠2（ 等量代换 ），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
24．【条件信息】
①三角形三个角的和是180°．
②如图，点E，F分别在CD、AB上，连接BE、CF，BE⊥FD于点G．∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°．
【结论评价】
（1）小明得出结论：∠2与∠3的数量关系相等；
（2）小强得出结论：AB与CD的位置关系平行．
你认为小明和小强的结论正确吗？若正确，说明理由；若不正确，写出正确的结论并说明理由．
解：（1）小明的结论错误，正确的结论是∠2与∠3互余，理由如下：
∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵∠C＝∠1，
∴BE∥CF，
∴∠CFD＝∠DGE＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠CFD＝180°﹣90°＝90°，
即∠2与∠3互余；
（2）小强的结论正确，理由如下：
∵∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝180°﹣∠DGE＝180°﹣90°＝90°，
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD．
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专题2.2 探索直线平行的条件（分层练习，五大类型）
考查题型一、利用同位角、内错角、同旁内角求角的度数
1．如图，直线AB，CD被直线EF所截，若∠1的内错角是58°，求∠1的同旁内角的度数．
2．如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C．
（1）写出∠1的同位角；
（2）求∠B的度数．
3．如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角；
（2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
考查题型二、利用定义判断是否为同位角、内错角、同旁内角
4．如图，∠1与∠2，∠3与∠4是内错角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的？
5．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
6．如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角；
（2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
考查题型三、同位角、内错角、同旁内角的定义探究规律
7．（1）如图1，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．（用含n的式子表示）
8．如图，直线AB、CD相交于点O、形成四个角．
（1）∠1与∠2有怎样的位置关系？∠1与∠2的顶点所在的位置有什么特点？∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？图中还有具有这种位置关系的角吗？
（2）类似地，用同样的方法来研究∠1与∠3的位置关系．你能从∠1与∠3这两个角的顶点和边说明∠1与∠3的位置关系吗？具有这种位置关系的角还有几对？
9．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常
见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
考查题型四、判定是否为平行线
10．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
11．已知：如图，直线AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，若NQ平分∠END，若∠AME＝∠DNF，请对MP∥NQ说明理由．
12．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°
∴∠1＝∠2（ ）；
∴（ ）∥（ ）（ ）；
又∵AC⊥AE
∴∠EAC＝90°；
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝（ ）（ ）；
同理可得∠FBD+∠2＝（ ）
∴（ ）∥（ ）（ ）
13．如图，∠ADE＝∠DEF，∠EFC+∠C＝180°，试问AD与BC平行吗？为什么？
14．如图，直线AB、CD交直线MN于点E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由．
考查题型五、利用定义探索直线平行的条件
15．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ；
【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；
【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
一、单选题
1．下列各图中，∠1＝∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，下列各条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角属于同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠3与∠4 D．∠1与∠3
5．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
6．如图，直线a，b被直线c所截，能使a∥b的条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3
C．∠1+∠3＝180° D．∠2+∠3＝180°
7．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，给出下列四个条件：①AC＝BD；②∠DAC＝∠BCA；③∠ABD＝∠CDB；④∠ADB＝∠CBD，其中能使AD∥BC的条件为（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③④
9．如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）时能判定a∥b．
A．35° B．45° C．125° D．145°
10．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
11．给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）相等的两个角是对顶角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，若∠1＝44°，∠2＝75°，要使木条a与b平行，则木条a需要顺时针转动的最小度数为（ ）
A．21° B．31° C．75° D．119°
二、填空题
13．如图，点E为AB延长线上一点，要使AB∥CD，则可以添加的一个条件是 ．
14．如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝38°，则当∠2＝ 度时，a∥b．
15．如图，直线a、b被c所截，∠1＝130°，当∠2＝ °时，a∥b．
16．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝ 时，CE∥AB．
17．如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏CD∥AE，此时∠ABC＝120°，∠BCD＝ °．
18．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制．如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A＝40°，当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB′＝ 时，CB'∥AB．
三、解答题
19．如图，点B是射线AC上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是： ．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝50°，请你再添加一个条件，可以说明直线a与b平行，并说明理由．
21．如图，为了说明示意图中的平安大道与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1＝90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由．
22．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
23．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
24．【条件信息】
①三角形三个角的和是180°．
②如图，点E，F分别在CD、AB上，连接BE、CF，BE⊥FD于点G．∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°．
【结论评价】
（1）小明得出结论：∠2与∠3的数量关系相等；
（2）小强得出结论：AB与CD的位置关系平行．
你认为小明和小强的结论正确吗？若正确，说明理由；若不正确，写出正确的结论并说明理由．
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