初三年级数学学科作业展示
(2024年2月)
第1卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.)
1.下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（
D
2.2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上中，门票销售已经超过35万张，票务
收入也超过6.1亿元.其中数据“305000“用科学记数法表示为（)
A.3.05×105
B.30.5×105
C.3.05×107
D.3.05×106
3、如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=42°，则∠2的度数是(）
A.429
B.48°
C.58
D.849
4.实数α，b在数轴上的对应点的位图如图所示，则下列结论正确的是()
b
-2-】
0】2
A.a+b>0
B.a-b>0
C.ab<0
D.a<
5.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
C.
6.下列运算结果正确的是(
A.m2+m=2n
B.2g=as
C.(mn2)3=mn6
D。m÷2=m
.函数)产~“-5与y女《0)在同一坐标系内的图象可能是(
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8,将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外
其他完全相同，每次摸球前先授匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字
可以组成“济南”的概率是（)
九号
a
9.如图，在△ABC中，AB=AC,现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A8,AC于点D,E.再分别以
BE为图心，大于号D说的长为半径面鼠，两弧相交于点R射线交C于点户取4C的中点Q连结
PQ.若AC=4,BC-6,则△CP的面积为(
B
EQ
A3
4
B.3W7
D.7
2
C.7.5
10.定义：在平面直角坐标系中，对于点P(,)当点Q(,)满足2(x+)=t时，称点Q(,
)是点P(,)的“倍增点”.已知点R(2,0),有下列结论
①点Q(2,8),Q（-3,-2)都是点P的“倍增点”
②若直线=x#2上的点A是点R的“倍增点”，则点A的坐标为(~2,0)：
③抛物线=-2x-3上存在两个点是点B的“倍增点”：
④喏点B是点R的“倍增点”，则AB的最小值是V5,
5
其中，正确结论的个数是()
A.1
B.2
C,3
D.4
第Ⅱ卷（非选择题
共110分)
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分填空题请直接填写答案.）
11,因式分解：m2-4=
12.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，
结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：
蜂巢巢房的横截面均为正大边形.如图2是由7个全等的正六边形
组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，
1
图2
则落在阴影部分所在巢房中的概率为
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
【解答】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
2．2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（ ）
A．3.05×105 B．30.5×105 C．3.05×107 D．3.05×106
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：3050000＝3.05×106．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．84°
【分析】根据平角的定义可得∠1+∠3＝90°，进而求得∠3＝48°，由两直线平行，同位角相等即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D．|a|＜|b|
【分析】观察数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，验证选项是否正确．
【解答】解：观察数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，
a+b＜0，故A选项不符合题意，
a﹣b＜0，故B选项不符合题意，
ab＜0，故C选项符合题意，
|a|＞|b|，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴、绝对值，关键是从数轴中提取信息．
5．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
6．下列运算结果正确的是（ ）
A．m2+m2＝2m4 B．a2 a3＝a5
C．（mn2）3＝mn6 D．m6÷m2＝m3
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．m2+m2＝2m2，故此选项不合题意；
B．a2 a3＝a5，故此选项符合题意；
C．（mn2）3＝m3n6，故此选项不合题意；
D．m6÷m2＝m4，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．函数y＝﹣kx﹣5与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据当k＞0、当k＜0时，函数y＝﹣kx﹣5与（k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：∵当k＞0时，y＝﹣kx﹣5过二、三、四象限，反比例函数y＝过一、三象限，
当k＜0时，y＝﹣kx﹣5过一、三、四象限，反比例函数y＝过二、四象限，
∴C正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
8．将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率为＝，
故选：A．
【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线AF交BC于点P，取AC的中点Q，连结PQ．若AC＝4，BC＝6，则△CPQ 的面积为（ ）
A． B． C．7.5 D．7
【分析】求出△APC的面积，再利用三角形中线的性质求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC，CP＝PB＝BC＝3，
∴AP＝＝＝，
∴S△ACP＝ AP CP＝××3＝，
∵AQ＝CQ，
∴S△APQ＝S△APC＝．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（2，0），有下列结论：①点Q1（2，8），Q2（﹣3，﹣2）都是点P1的“倍增点”；②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（﹣2，0）；③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意的“倍增点”A为（x，x+2），从而可以求得A（﹣2，0），进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③；设B（x，y），再由倍增点的意义得出y＝2（x+2），再利用两点间的距离公式表示出P1B，然后利用配方可以判断④，从而可以得解．
【解答】解：①依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2（2+2）＝8+0，2（﹣3+2）＝﹣2+0，
∴点Q1（2，8），Q2（﹣3，﹣2）都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+2）＝x+2+0．
∴x＝﹣2．
∴A（﹣2，0）．
∴②正确．
③可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+2）＝x2﹣2x﹣3+0．
∴x2﹣4x﹣7＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝16+28＝44＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”，
∴③正确．
④，设B（x，y），
∴2（x+2）＝y+0．
∴y＝2（x+2）．
∴P1B＝＝＝，
∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．
∴④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：m2﹣4＝ （m+2）（m﹣2） ．
【分析】根据平方差公式，进行因式分解．
【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为 ．
【分析】令每个正六边形的面积为a，得巢房截面图面积为7a，阴影部分的面积为4a，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：令每个正六边形的面积为a，则巢房截面图面积为7a，阴影部分的面积为4a，
则落在阴影部分所在巢房中的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13．代数式与代数式的值相等，则x＝ 3 ．
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，＝，
去分母得，5x＝3（2x﹣1），
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以原方程的解为x＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 4.8π ．
【分析】先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，
∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，
∵正五边形的边长为4，
∴S阴影＝＝1，
故答案为：4.8π．
【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
15．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 3.9 小时与轿车相遇．
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，
将（5，300）代入，得：5k＝300，
解得k＝60，
即OA段对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令110x﹣195＝60x，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，菱形ABCD中AB＝8，∠ABC＝60°，点E为AD上一动点，连接CE，将△DCE沿CE翻折得到△FCE，连接BF，点G为BF上一点，且GF＝BG，连接AG，则线段AG的最小值为 4﹣4 ．
【分析】延长BA至点H，使BA＝AH，连接FH、CH，易证AG是△BHF的中位线，得出AG＝FH，连接AC，再证△ABC是等边三角形，求出∠BCH＝90°，由勾股定理求出CH＝8，然后由折叠的性质得CF＝AD＝8，推出点F在以C为圆心，以8为半径的圆上，最后证当点C、F、H三点共线时，AG的值最小，即可得出结果．
【解答】解：如图，延长BA至点H，使BA＝AH，连接FH、CH，
∵GF＝BG，BA＝AH，
∴AG是△BHF的中位线，
∴AG＝FH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝AH＝8，
∴BH＝AH+AB＝8+8＝16，∠AHC＝∠ACH，
连接AC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝∠AHC+∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACH＝30°，
∴∠BCH＝∠ACB+∠ACH＝60°+30°＝90°，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH＝＝＝8，
由折叠的性质得：CF＝AD＝8，
∴点F在以C为圆心，以8为半径的圆上，
∵CF+FH≥CH，
∴当点C、F、H三点共线时，CF+FH值最小，
∵CF为定值8，
∴CF+FH值最小时，FH值最小，
∵AG＝FH，
∴当点C、F、H三点共线时，AG的值最小，
此时，FH＝CH﹣CF＝8﹣8，
∴AG＝FH＝×（8﹣8）＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线，将AG转为三角形中位线是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
17．计算：（）0+2﹣1+cos45°﹣|﹣|．
【分析】根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直接计算即可．
【解答】解：原式＝1++×﹣
＝1++1﹣
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握知识点，正确计算．
18．解不等式组并写出该不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出整数即可．
【解答】解：，
由①得：x≤1；
由②得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集是：﹣2＜x≤1，
则不等式组的整数解是：﹣1，0，1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）
【分析】（1）过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG＝53°，再根据对顶角相等可得∠PDH＝∠BDG＝53°，即可解答；
（2）根据已知可得CG＝9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用（1）的结论可得：∠PDH＝53°，从而可得sin∠PDH＝sinα≈，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度数为53°；
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC＝＝＝15（cm），
∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα≈，
∴折射率n＝＝＝，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】；
4，4，3，3，5，5，5，7，7，7；
7，6，6，6，6，6，6，8，8，8；
8，9，9，10，10，10，10，11，12，13；
【数据整理】：
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．3≤t＜5，B．5≤t＜7，C．7≤t＜9，D．9≤t＜11，E．11≤t＜13，其中t表示阅读时间）；
统计量 平均数 众数 中位数
阅读时间（h） 7.3 m n
【数据分析】：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：m＝ 6 ，n＝ 7 ；
（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为 48 °；
（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数．
【分析】（1）根据已知数据即可补全图形；
（2）由众数和中位数的定义可得出答案．
（3）用360°乘以A组人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中每周不少于9h的人数占比，即可得出答案．
【解答】解：（1）补全直方图如下：
（2）众数m＝6，中位数n＝＝7，
故答案为：6，7；
（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为360°×＝48°，
故答案为：48；
（4）3000×＝900（人），
答：估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数为900人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
22．如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BF＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABG＝∠A+∠C，
∴∠ABG＝2∠C；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝6，
∴BF＝＝3，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买1个足球和2个篮球共需240元，购买2个足球和3个篮球共需390元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共80个，但要求足球和篮球的总费用不超过6000元，学校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“购买1个足球和2个篮球共需240元，购买2个足球和3个篮球共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买篮球m个，则购买足球（80﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合购买总资金不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元；
（2）设购买篮球m个，则购买足球（80﹣m）个，
依题意得：90m+60（80﹣m）≤6000，
解得：m≤40．
答：学校最多可以购买40个篮球．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．已知在等腰直角三角形△ABC中，∠B＝90°，A（0，2），B（1，0）．
（1）如图1，请直接写出点C的坐标 （3，1） ，若点C在反比例函数y＝（x＞0）上，则k1＝ 3 ；
（2）如图2，若将△ABC沿x轴向右平移得到△A'B'C'，平移距离为m，当A'，C'都在反比例函数y＝（x＞0）上时，求k2，m；
（3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得△B'C'P的面积是△A'B'C'面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△ABO≌△BHC（AAS），进而求解；
（2）设A'（m，2），C'（3+m，1），则k2＝2m＝3+m，进而求解；
（3）求出D（，1），作DP∥B'C'交y轴于点P，点P即为所求点；DP点关于直线B'C'的对称直线与y轴交点P′也为所求点，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
则BA＝BC，∠ABC＝90°，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠ABO＝∠BHC＝90°，BC＝BA，
∴△ABO≌△BHC（AAS），
∴BH＝AO＝2，CH＝OB＝1，
∴C（3，1），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝3×1＝3，
故答案为：（3，1），3；
（2）设A'（m，2），C'（3+m，1），
∴k2＝2m＝3+m，
∴m＝3，则点A′（3，2），
将点A′坐标代入反比例函数表达式得：k2＝2×3＝6；
（3）存在，理由：
∵A'（3，2），C'（6，1），B′（4，0），
设A'B'中点为D，则D（，1），
由点B′、C′的坐标得，直线B′C′的表达式为：y＝x﹣2，
延长C′B′交y轴于点H，则点H（0，﹣2），
作DP∥B'C'交y轴于点P，
则DH的表达式为：y＝（x﹣）+1，则点P（0，﹣），
点P即为所求点；
DP点关于直线B'C'的对称直线与y轴交点P′也为所求点，
由中点坐标公式得，点P′（0，﹣），
综上，点P的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
25．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE，
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 等腰直角三角形 ，连接BD，可求出的值为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请求出的值．
【分析】（1）由正方形的性质得∠BDC＝45°，＝，∠BAD＝90°，AB＝AD，由旋转的性质得AB＝AB′，∠BAB′＝60°，推出△ABB′为等边三角形，∠B′AD＝30°，∠AB'B＝60°，∠AB′D＝75°，∠DB'E＝45°，易证△DEB'为等腰直角三角形，得出∠BDC＝∠B'DE＝45°，＝，再证△BDB'∽△CDE，即可得出结果；
（2）①由旋转的性质得AB＝AB'，∠BAB'＝α，推出∠AB′B＝90°﹣，∠AB′D＝135°﹣，∠EB'D＝45°，易证△DEB'是等腰直角三角形，得出＝，由正方形的性质得＝，∠BDC＝45°，再证明△B'DB∽△EDC，即可得出结论；
②若以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以CD为边时，则CD∥B'E，此时点B'在线段BA的延长线上，此时点E与点A重合，BE＝CD＝B′E，即可得出结果；第二种以CD为对角线时，由平行四边形的性质得B′F＝EF＝B′E，点F为CD中点，证明△BCF∽△CB'F∽△BB'C，得出＝＝＝2，则BB'＝4B'F，BE＝6B'F，B'E＝2B'F，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，＝，∠BAD＝90°，AB＝AD，
由旋转的性质得：AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴AB＝AD＝AB′，△ABB′为等边三角形，∠B′AD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AB'B＝60°，∠AB′D＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE⊥BB'，
∴∠DEB'＝90°，
∴∠B'DE＝45°，
∴△DEB'为等腰直角三角形，
∴∠BDC＝∠B'DE＝45°，＝，
∴∠BDC﹣∠B'DC＝∠B'DE﹣∠B'DC，即∠BDB'＝∠CDE，
∵＝＝，
∴△BDB'∽△CDE，
∴＝＝，
故答案为：等腰直角三角形，；
（2）①两个结论仍然成立，理由如下：
连接BD，如图2所示：
由旋转的性质得：AB＝AB'，∠BAB'＝α，
∴∠AB′B＝×（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，
∴∠AB′D＝×（180°﹣α+90°）＝135°﹣，
∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣﹣90°+＝45°，
∵DE⊥BB'，
∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
∴＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴＝，∠BDC＝45°，
∴＝，
∵∠EDB'＝∠BDC，
∴∠B'DB＝∠EDC，
∴△B'DB∽△EDC，
∴＝＝，
∴（1）中的两个结论不变，依然成立；
②若以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：
第一种：以CD为边时，则CD∥B'E，
此时点B'在线段BA的延长线上，如图3所示：
此时点E与点A重合，
∴BE＝CD＝B′E，
∴＝1；
第二种：当以CD为对角线时，如图4所示：
∵四边形CB′DE是平行四边形，
∴B′F＝EF＝B′E，点F为CD中点，
∴BC＝CD＝2CF，
∵DE⊥BB'，
∴CB'⊥BB'，
∴∠BB′C＝∠CB′F＝90°，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠CB′F＝∠BB′C，
∵∠CBF＝∠B′BC，∠BFC＝∠CFB′，
∴△BCF∽△CB'F∽△BB'C，
∴＝＝＝2，
∴BB'＝4B'F，
∴BE＝6B'F，B'E＝2B'F，
∴＝＝3，
综上所述，的值为3或1．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、分类讨论等知识，证明△B'DB∽△EDC与进行分类讨论是解题的关键．
26．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标．
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，利用铅垂法分别表示△PAE的面积和△PAB的面积，再求比值即可；
（3）过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N，利用等腰三角形的性质，先求出∠BTC＝∠BMC时，直线BT的解析式，利用ON∥BT求出点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴E（1，4），
∵直线y＝mx+1过点A（﹣1，0），
∴直线AF：y＝x+1，
如图1，分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，
∴S1＝（xP﹣xA） EH，S2＝（xP﹣xA） BG
∴＝，
∵B（3，0），
∴G（3，4），BG＝4，
∵E（1，4），
∴H（1，2），EH＝2，
∴＝＝＝，
∴的值是一个定值，这个定值为；
（3）如图2，过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N，
∴∠ONC＝∠BTC＝∠BMC，
∴BT＝BM，点P是点T，点M的中点，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC：y＝﹣3x﹣3，
∵BP⊥AC，B（3，0），
∴直线BP：y＝x﹣1，
联立，解得，
∴P（﹣，﹣），
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴直线BD：y＝2x﹣6，
联立，解得，
∴M（，﹣），
∴由中点坐标公式可得，T（﹣，），
设直线BT的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，，
∴y＝﹣x+，
∴直线ON的表达式为：y＝﹣x，
联立，解得，
∴N（﹣，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题；第（3）问也可证明∠BMC＝45°，再结合全等求出点N的坐标．
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