福建省福州市长乐区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题（含答案)

准考证号：______ 姓名：______
（在此卷上答题无效）
2022－2023学年第二学期开学初八年级数学
适应性练习
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．我们知道，那么一把20cm的刻度尺就等于．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件还不能判定△ΑBE△ACD的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线交AB，BC于点D，E，连接AE，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．把分式方程去分母得到的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角和为180°
B．面积相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高相互重合
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
9．如图，在中，，角平分线AD，BE相交于点F，则的度数是（ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
10．我们学了分式后，发现在中，a，b可以是整式，也可以是分式．比如：，，，也就是说具有特征的三项式，都可以写成一个代数式的平方．
问题：若添上一项M后，可以写成一个代数式的平方，则符合条件的M有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．超过3个
第Ⅱ卷
二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．已知，则的值是______．
13．如图，△ABC△EDB，点E在AB上，∠C＝∠EBD＝90°，若AC＝4，DE＝5，则AE的长为______．
14．如图，在正五边形ABCDE中，延长AE，CD交于点F，则的度数是______．
15．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为，底面长方形的一边长为b（b<4a），则这个长方形纸板的面积是_______．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以AB，AC为底边在BC上方作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接ED并延长交BC于点F．
现给出以下结论：①∠BAC＝∠DAE；②∠ABC+∠ADF＝180°；③∠CFE＝45°；④DE＝DF．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2024，y＝1．
19．（8分）如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，，∠C＝∠F．求证：AC＝EF．
20．（8分）某班级为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费300元，购买排球共花费450元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个，求跳绳的单价．
21．（8分）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且a，b满足，求△ABC的周长．
22．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求作：△ABC的角平分线AE，交CD于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若CE＝CF，求∠ACB的度数．
23．（10分）如图，在长方形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE，△ABE沿直线BE翻折后，点A恰好落在长方形ABCD的对称轴MN上的点处，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）延长交BC于点F，若BC＝5，AE＝2，求FC的长．
24．（12分）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．
（1）已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
（2）已知分式，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若为定值，求m与n之间的数量关系．
25．（14分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AC＝AD，∠CAD＝30°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，∠CBD＝∠BAD，求证：AD＝2CD；
（3）如图3，在（1）的条件下，延长AD交BC于点E，P为BD上一动点，连接EP，若，，求的最小值．
2022－2023学年第二学期开学初八年级数学
适应性练习（参考答案）
一、选择题
1－5　BCDCA 6－10　BCDBD
二、填空题
11． 12．3 13．1 14．36
15． 16．①②③
三、解答题
17．解：原式
18．解：原式
当x＝2024，y＝1时，原式．
19．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，∴AB＝ED
∵，∴∠ABC＝∠EDF
在△ABC和△EDF中，
∴，∴
20．解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，
根据题意，得，解得x＝15
经检验x＝15是原分式方程的解，且符合题意．
答：跳绳的单价是15元．
21．解：∵
∴
∴
∴，，解得，
∵a，b，c为△ABC的三边长，∴．
∵c是正整数，∴
∴△ABC的周长为9．
22．解：（1）如图所示，△ABC的角平分线AE，点F即为所求；
（2）∵CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF
∴AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝∠BAE
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B，∴∠ACD＝∠B
∵，∴∠BCD+∠B＝90°
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°．
23．（1）证明：∵直线MN是长方形ABCD的对称轴
∴MN垂直平分AB，∴
由翻折得，∴
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，∴
由翻折得，
在长方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°
∴BE＝2AE＝4，，
∴∠BFE＝180°－∠AEB－∠EBF＝60°
∴∠BFE＝∠FEB＝∠EBF＝60°．
∴BF＝BE＝4，∴FC＝BC－BF＝5－4＝1．
24．解：（1）C是D的“最友好分式”．
理由：∵
，∴C是D的“最友好分式”；
（2）∵分式，且E是F的“最友好分式”
解得；
（3）当时，
设
∴
∴
∵为定值
∴且
由解得
把代入，得
∴．（，等关系式均可）
25．（1）解：∵AC＝AD，∠CAD＝30°
∴
∵∠ACB＝90°
∴
（2）证明：过点B作BE⊥CD，交CD延长线于点E，则∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵∠ADC＝90°，∠ACB＝90°
∴∠CAD+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°
∴∠CAD＝∠BCD
∵∠CBD＝∠BAD
∴∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝∠CAD+∠BAD＝∠CAB＝45°
∴∠BDE＝∠DBE＝45°
∴DE＝BE．
在△ACD和△CBE中
∴
∴AD＝CE，CD＝BE＝DE，
∴CE＝CD+DE＝2CD，∴AD＝2CD；
（3）解：过点D作，垂足为F，G
∴∠DFC＝∠ACB＝∠CGD＝90°
∴，∴∠FDC＝∠GCD
∵DC＝CD，∴，∴DF＝CG
在中，
∴
∴
∴DG垂直平分BC，∴DC＝DB
∴∠CBD＝∠BCD＝15°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝30°
过点P作，垂足为H，则
∴当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，
即最小，最小值为EH的长
∵，
∴
∴的最小值为