2023-2024学年云南重点大学附中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南重点大学附中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，直线与直线、都相交若，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.作为世界文化遗产的长城，其总长大约为将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
6.某校随机抽查了名参加年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：
成绩分
人数人
下列说法正确的是( )
A. 这名同学的体育成绩的平均数为 B. 这名同学的体育成绩的中位数为
C. 这名同学的体育成绩的方差为 D. 这名同学的体育成绩的众数为
7.由个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
8.不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是( )
A. B.
C. D.
9.按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则( )
A. B. C. D.
11.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树棵，实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
13.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则在中边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
14.如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D. 矩形的周长
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
15.若式子有意义，则的取值范围是 ．
16.分解因式： ______．
17.如图，已知，，，则 ______．
18.计算： ______．
19.已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且若，，则的长是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
20.计算：
解方程：．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，已知，求证：．
22.本小题分
有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果；
若得到的两数字之和是的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
23.本小题分
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元．
每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
若该校计划购买甲、乙两种消毒液共桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
24.本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
25.本小题分
如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
求证：是的切线；
求证：；
点是的中点，交于点，若，求的值．
26.本小题分
已知抛物线经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小设是抛物线与轴的交点交点也称公共点的横坐标，．
求、的值；
求证：；
以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握定义是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：如图，
，和是对顶角，
，
，
．
故选：．
由对顶角相等可得，，又，由两直线平行，同位角相等可得，．
本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【解答】
解：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用整式乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了整式乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
【解答】
解：设这个多边形是边形，
则，
解得：，
即这个多边形为七边形．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：、这名同学的体育成绩的平均数为，故本选项错误；
B、这名同学的体育成绩的中，第和第名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：，故本选项错误；
C、方差，故本选项错误；
D、名学生的体育成绩中分出现的次数最多，众数为，故本选项正确；
故选：．
结合表格给出的数据，再根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解即可得出答案．
本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是．
故选：．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
由上规律可知，第个单项式为：
故选：．
根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数为比序号数少，字母为．
本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在中，、分别为线段、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
即，
故选：．
根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接、．
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．
13.【答案】
【解析】解：作于如图：
由作图可知，是的角平分线，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
作于，利用是角平分线以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半即可求解．
本题主要考查了含角的直角三角形，以及角的直角三角形三边的关系，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
四边形是黄金矩形，且，，
，
，
矩形的周长，
的面积矩形的面积，
故A、、都不符合题意，符合题意；
故选：．
根据矩形的性质可得，，再利用黄金矩形的定义求出求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用矩形的周长公式求出矩形的周长，再求出的面积，逐一判断即可解答．
本题考查了矩形的性质，黄金分割，三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：式子有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
16.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，
把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确将常数项以及二次项系数分解得出是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据垂直定义求出，进而求出的度数．
本题考查垂线和度分秒的换算，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
18.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据分式的除法法则先把除法转化成乘法，再进行约分即可．
此题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
当点在上时，
，
，
；
当点在上时，
，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
由勾股定理可求，分点在上或在上两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20.【答案】解：原式；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
【解析】根据推出和全等，再根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
公平，理由如下：
由的表格可知，共有种可能出现的结果，其中“和为的倍数”的有种，“和为的倍数”的有种，
小杰胜，小玉胜，
小杰胜和小玉胜的概率是一样的，因此游戏是公平的．
【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况；
根据的表格，得出“和为的倍数”“和为的倍数”的概率即可．
本题考查列举法求概率，以及游戏公平性．
23.【答案】解：设每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意可得：
解得
答：每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元；
由题意可得，
，
随的增大而增大，
甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲消毒液桶，乙消毒液桶时，才能使总费用最少，最少费用是元．
【解析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
根据购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，一共需要元；购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，一共需要元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意，可以写出与的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到的最小值．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形；
解：由得四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形的面积，
答：四边形的面积为．
【解析】由四边形是平行四边形，得，而点是的中点，可得≌，即知，从而四边形是平行四边形，又，即得四边形是矩形；
由，，，得，，四边形是平行四边形，得，从而，即可得四边形的面积为．
本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明≌．
25.【答案】证明：，
．
又，，
．
又是的直径，
．
．
即，
是的半径．
是的切线．
证明：，
，
．
又，，
，
．
．
解：连接，，
点是的中点，
，
．
，
．
，
∽．
．
．
又是的直径，，
，．
，
．
．
【解析】已知在圆上，故只需证明与垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故是的切线；
是直径；故只需证明与半径相等即可；
连接，，由圆周角定理可得，进而可得∽，故B；代入数据可得．
此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
26.【答案】解：经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，即对称轴为直线，
，解得；
证明：由题意，抛物线的解析式为，
是抛物线与轴的交点的横坐标，
，
，
，
，
．
正确，理由如下：
由知：；
，
，
而
，
由知：，
，
，
，即，
，
，
即，
．
【解析】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点的坐标、对称轴、增减性、与轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断和的符号．
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可得对称轴为直线，且抛物线经过点，列出方程组即可得答案；
由是抛物线与轴的交点的横坐标，可得，，两边平方得，，即可得结果；
正确，可用比差法证明，由可得，即，而，再由，判断，，
故，从而．
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