深圳科学高中 2023-2024 学年第二学期开学考试参考答案
一．单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C B C C C
二．多选题
9 10 11
AC BCD ACD
三．填空题
2 2
12． x R,3x 0 13． y 2x 14． x y+ = 1
9 8
8．对于 A：因为 F1 1，F2 1， Fn F
*
n 1 Fn 2 ， n 3,n N ，
所以 F1 F3 F5 F2023 F2 F3 F5 F2023 F4 F5 F2023
F6 F7 F2023 F2022 F2023 F2024 ，故 A正确；
对于 B：显然 a1 1,a 2 1，由 Fn Fn 1 Fn 2 （ n 3， n N ）可知，
an （ n 3， n N ）可由 an 1 an 2判断，若 an 1 an 2 1，则 an 1，
若 an 1 an 2 0或 an 1 an 2 2，则 an 0，
由此可得 a3 0，a4 1，a5 1，a6 0，L，a3k 0，a3k 1 1，a3k 2 1（n 3，n N ），
所以 S2023 674(a1 a2 a3 ) a1 1348 1 1349 ，故 B正确；
*
对于 C：因为 F1 1， F2 1， Fn Fn 1 Fn 2 ， n 3,n N ，
所以 F1 F2 F4 F6 F2020 F3 F4 F6 F2020 F5 F6 F2020
F7 F8 F2020 F2019 F2020 F2021 ，
又由选项 A，易知 F1 F3 F5 F2021 F2022，
所以 2F1 F2 F3 F6 F2021 F2021 F2022 F2023 m，
则 F1 F2 F3 F6 F2021 m F1 m 1，故 C错误；
2
对于 D： Fn F n 1 (Fn 1 Fn 2 ) Fn 1 Fn 1 Fn 1 Fn 2 （n 3， n N ）
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F 2 2 22023 F2022 =F2022 F2022 F2021 F2022 F2021 F2021 F2020
F 2 F 2 F 22022 2021 2020 F
2
2 F2 F1，
F F F F =F 2 2 2 2 2又因为 1 2，所以 2023 2022 2022 F2021 F2020 F2 F1 ，
F 2 2 2 2 2
故 F 2022
F2021 F2020 F2 F1
2023 ，故 D正确.F2022
11．对 A，因为 AA1 / /CC1，所以点 A, A1,C,C1四点共面，
当M 点与 A1点重合时，直线 AC1 平面 ACM ，故 A正确；
对 B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
因为 E为C1D1中点，则设M 1 2t, t,1 t 0,
1
， ， A 1,0,0 ，C 0,1,0 ， 2
则 AC 1,1,0 ， AM 2t, t,1 ，DA 1,0,0 ，
AC
m 0
m x, y, z
x y 0
设平面 ACM 的方向量为 ，则 ，即 ，
AM m 0 2tx ty z 0
y 1 x 1, z t m 令 ，则 ，所以 1,1, t ，
DA m
则点D到平面 ACM d 1 1的距离 ，显然不是定值，故 B错误；
m 12 12 t 2 2 t 2
1 1
对 C，当M 点与 E点重合时，由 B知此时 t ，m 1,1, ，平面CC1D1D的法向量2 2
n 1,0,0 ，
m n
cos 1 2
设平面 ACM 与平面CC1D1D夹角为 ， m n 1 2 312
，
12 1
2
2
sin 1 2 5则 ，故 C正确；
3 3
对 D，连接 A1C1，并在上底面内将直线 A1C1沿着 B1D1 的方向平移，直至该直线经过点M ，
交D1A1于点 P，交C1D1于点 N，
因为 AA1 / /CC1， AA1 CC1，所以四边形 AA1C1C为平行四边形，所以 A1C1 / /AC，
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因为 PN / /A1C1，所以 AC / /PN，因为点M PN，
所以平面 ACM 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的图形为四边形 APNC，
不妨以D1为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，
A 0, 1 ,E 1则 1 ,0
1 1
，因为M 为线段 A1E中点，则M , ，
2 4 2
根据直线 PN / /A1C1，则 kPN 1，设直线 PN的方程为 y x b，代入点M 坐标得
1 1
b，解得b
3 3
，则 y x ，则点 P位于线段 A1D1的四分之一等分点处，且靠近2 4 4 4
点 A1，
点 N位于线段C1D1的四分之一等分点处，且靠近点C1，
1 2 17 3
则 AP CN 2 4
1 ， AC 2， PN 2，结合 AC / /PN，
4 4
则四边形 APNC为等腰梯形，则其高为
2
2 2 2
3 2
AP2 AC PN
17
4 66 ,
2 4 2 8
1 3 66 7 33
则 S梯形APNC 2
2 2 ，故 D正确.
4 8 32
c 1
14． e ， a 3c，
a 3
设 P(x0 ， y0 )( 3c x0 3c)，则
PF ( c x0 , y0 ), PA (a x0 , y0 )，
uuur uur
PF PA ( c x0 ， y0 ) (a x0， y0 )
2
ac cx ax x 2 2 2 2 b 20 0 0 y0 ac cx0 ax0 x0 b xa2 0
c2 1
22 x0 (a c)x b
2
0 ac x
2
0 (a c)x0 a
2 c2 ac．
a 9
1
x 2 2cx 5c2 10 0 [x
2
0 18cx0 81c
2 ] 1 4c2 (x 20 9c) 4c
2
9 9 9 ．
当 x0 3c时， PF PA有最大值为12c2 12．
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c2 1，则 a2 9，b2 a2 c2 8．
x2 y
2
所求椭圆方程为 + = 1．
9 8
四．解答题
15．（1）当 a 2 x时， f x 2x 1 2e ， f 1 1 2e，即切点 1,1 2e ，.................2分
f x 2 2ex，则 k f 1 2 2e，...................................................................................4分
所以切线 y 1 2e 2 2e x 1 ，即 y 2 2e x 1 ....................................................6分
2x 1
（2） f x 定义域为 R, f x 0恒成立，所以 2x 1 aex 0恒成立，即 a 恒成立.
ex
设 g x 2x 1 3 2x x ，则 a g x min ，g x x ，.................................................................8分e e
令 g x 0 3，解出 x .
2
3
所以 x , ， g x 0， g x 为增函数，
2
x 3 ,
， g x 0， g x 为减函数，..........................................................................11分
2
g x g 3 2
3
所以
2e 2
3
max 2 3 ，即 a 2e 2e2
3
故实数 a的取值范围 2e 2 , ..............................................................................................13分
16．（1）因为m n，
所以m n c b c b 2a b 2a b 0 ，
即 c2 2b2 2a2 .......................................................................................................................2分
又b2 a2 c2 2accosB，
所以， c2 2a2 2b2 2a2 2c2 4accosB
整理可得 c 4acosB ...............................................................................................................4分
再由正弦定理得： sinC 4sinAcosB，
结合 sinC sin A B sin AcosB cos Asin B，
可得， sinAcosB cosAsinB 4sinAcosB .
即 cosAsinB 3sinAcosB ...........................................................................................................6分
显然 cosAcosB 0，
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sinB 3 sinA两边同时除以 cosAcosB可得， ，即 tanB 3tanA ..........................................7分
cosB cosA
π
（2）如图：设 BAC 0 ，则 tanB 3tan (tan 0) .
2
因为 AD BD，所以 B BAD CAD，
则 CAD B ............................................................................................................8分
tan CAD tan B tanB tan 故
1 tanBtan
2tan 2
1 3tan2 1 3tan ............................................................................................10分
tan
1 1
因为 3tan 2 3tan 2 3，
tan tan
1 3 π
当且仅当 3tan ，即 tan , 时取等号................................................12分tan 3 6
所以， tan CAD 2 3 ............................................................................................13分
2 3 3
此时 tanB 3，......................................................................................................................14分
所以 B
π
，故△ABD为等边三角形，即 tanD 3 ...........................................................15分3
17．（1）四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD， BC 平面 ABCD，则 PA BC，
而 ACB 90 ，即 AC BC，又 PA AC A， PA, AC 平面PAC，
所以BC 平面 PAC ................................................................................................................5分
（2）在平面 ABCD内作 Ax AB，由 PA⊥底面 ABCD可得 Ax, AB, AP两两垂直，
以射线 Ax, AB, AP分别为 x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，.................6分
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因 AB / /CD， AD CD 1， BAD 120 ，则 ADC 60 ，即△ADC是正三角形，
D( 3 , 1 ,0),C( 3 , 1 ,0) ，而 AC BC，则 B(0,2,0)，设点 P(0,0, t)，..........................7分
2 2 2 2
DC (0,1,0),PC ( 3 , 1, t ),AP (0,0,t ) ，令平面DPC的一个法向量 n (x , y
2 2 1 1
, z1)，
n DC y
1
0
则 3 1 ，令 z1 3，得 n (2t,0, 3)，由（1）知平面PAC的法向
n PC x1 y1 tz1 0 2 2
量 BC ( 3 , 3 ,0)，............................................................................................................9分
2 2
| cos n, BC | n BC | 3t 5 |
因二面角 D-PC-A 5的余弦值为 ，则 | n || BC | 3 5 ，5 ( )2 ( 3 )2 4 t2 3
2 2
解得 t 3，..............................................................................................................................11分
P(0,0, 3) PC ( 3 , 1
则 ， , 3) ，令平面 PBC的一个法向量m (x2 , y2 , z2) ，2 2
m BC 3 x 3 2 y 2 2 2
0 2
则 ，令 y 1 2 ，得
m ( 3,1, ) ，..................................13分
3
m
3 1 PC x 2 y 3z 2 2 2 2
0
d |m AB | 2 3
又 AB (0, 2,0)，所以点 A到平面 PBC的距离 |m | 2 2 2 2 ..15分( 3) 1 ( )2
3
3 16
2 2 1
a b a 1
c
18．（1）由题可得 3 ，解得 b 2 2 ，
a
c2 a2 b2 c 3
2
故C x的标准方程为 y2 1；................................................................................................4分
8
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（2）由题意可知直线 l的斜率存在，设直线 l : y kx m, A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y kx m
联立 x2 ，整理得 8k 2 1 x2 16kmx 8m2 8 0，
y
2 1
8
则Δ (16km)2 4 8k 2 1 8m2 8 0，即8k 2 m2 1 .........................................................8分
2 2
由（1）可知C的渐近线方程为 y x和 y x，.......................................................9分
4 4
不妨设直线 l 2与直线 y x的交点为A 2，与直线 y x的交点为 B，
4 4
x 4m
y 2 x 2 4k 4m 2m
联立 4 ，解得 ，即 A , ，
y kx m y 2m 2 4k 2 4k
2 4k
4m
2 x y x 2 4k B 4m , 2m
联立 4 解得 ，即 ，.................................11分
y kx m
2m 2 4k 2 4k
y
2 4k
OA 4m , 2m
4m 2m
则 ，OB , ，
2 4k 2 4k 2 4k 2 4k
OA OB 4m 4m 2m 2m 7m
2
得 2 ，.........................................14分2 4k 2 4k 2 4k 2 4k 8k 1
因为8k 2 m2 1，所以m2 1 8k 2 ，
7m2
所以 2 7，即OA OB 7，......................................................................................16分8k 1
故OA OB是定值，且该定值为 7 ..........................................................................................17分
A
1 4 1 4 2 4
19．（1）满足条件的数表 22为 2 3
， 3 2
， 3 1 ，
所以a11 a12 的值分别为 5，5，6.............................................................................................6分
（2）若当 a11 a12 a1n取最大值时，存在1 j n，使得 a2 j 2n .
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由数表 A2n具有性质 P可得 j为奇数，
a
A 11
a12 a1 n
不妨设此时数表为 2n 2n a a ................................................................................7分 22 2 n
①若存在 a1k （ k为偶数，1 k n），使得 a1k a11，交换 a1k 和2n的位置，所得到的新数表
也具有性质 P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，
所以存在1 i n，使得 a1i 2n .................................................................................................8分
②若对任意的 a1k （ k为偶数，1 k n），都有 a1k a11，交换 a12和a11的位置，所得到的新
数表也具有性质 P，此时转化为①的情况...............................................................................9分
综上可知，存在正整数 k(1 k n)，使得 a1k 2n .................................................................10分
a a a
（3 11 12 1n）当 n为偶数时，令 n 2k， 1 k n ，对任意具有性质 P数表 A2n
a21 a22 a
，
2n
一方面， (a12 a22 ) (a14 a24 ) (a1,2k a2,2k )≤ (4k 1) (4k 3) (2k 1)，
因此 (a12 a14 a1,2 k) ≤(a22 a24 a2,2 k) 3k
2
．①............................................................12分
另一方面， a2i a1i ≥1(i 1，3，5， ，n 1)，
因此 (a11 a13 a1,2k 1)≤ (a21 a23 a2,2k 1) k .②..............................................................14分
记 S1 a11 a12 a1,2n , S2 a21 a22 a2,2n．
由①+②得 S1≤ S2 3k 2 k .
2
又 S S 8k 21 2 2k S
11k k
，可得 1≤ .......................................................................................15分2
k 1 4k k 3 4k 1 k 5 4k 2 k 7 4k 3 3k 2 3k 1 3k 1
构造数表 A2n
k 2 1 k 4 2 k 6 3 k 8 4 k 1 3k k
A S 11k
2 k 11n2 2n
可知数表 2n具有性质 P，且 1 .2 8
2
综上可知，当 n为偶数时，a11 a12 a
11n 2n
1n的最大值为 .........................................17分8
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{#{QQABZYgAgggoAAJAAQhCQwWYCEOQkBAAAAoOQBAIIAABiRFABAA=}#}深圳科学高中 2023-2024 学年第二学期开学考试试题
科目：高二数学 考试时长 120 分钟 卷面总分：150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
3 ai
1．已知 i为复数单位， 2 i a R ，则复数 z 2 ai在复平面上对应的点在（ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2
．已知向量a 1, 1 ，b m, 2 ，若 (a b) / /a，则 2a b （ ）
A． 8 B． 7 C．7 D．8
3．过点M (2, 4)作直线 l与抛物线 y2 8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四
个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的
体积为（ ）
A．36 B．32
C．28 D． 24
5．给出下列命题：
①若 A，B，C，D是空间任意四点，则有 AB BC CD DA 0；
② a b a b 是 a，b 共线的充要条件；
③若 AB CD，则 AB，CD共线；
④对空间任意一点 O与不共线的三点 A，B，C，若OP xOA yOB zCO且 x y z 1（其
中 x，y， z R），则 P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数 f x 的图象如图所示， f x 为函数 f x 的导函数，下列排序正确的是（ ）
A． f a 1 f a ＜f a ＜f a 1
B． f a 1 ＜f a ＜f a 1 f a
C． f a 1 ＜f a 1 f a ＜f a
D． f a ＜f a 1 f a ＜f a 1
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABZYgAgggoAAJAAQhCQwWYCEOQkBAAAAoOQBAIIAABiRFABAA=}#}
7．已知函数 f x Asin x B A 0, π 0,
的部分图象如图，则函数 f x
2
（ ）
A π．图象关于直线 x 对称
3
π
B．图象关于点 ,3
对称
6
2π , 5π C．在区间 上单调递减
3 6
5π π
D．在区间 , 上的值域为 1,3
12 12
8．若数列 Fn 满足 F *1 1，F2 1，Fn Fn 1 Fn 2 ， n 3,n N ，则称数列 Fn 为Fibonacci
数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于 1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、
化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A．F1 F3 F5 F2023 F2024
B．数列 Fn 各项除以 2后所得的余数构成一个新数列 an ，若数列 an 的前 n项和为 Sn，
则 S2023 1349
C．记 F2023 m，则数列 Fn 的前 2021项的和为m 2
F 2 F 2 F 2
D． 1 2 2022 F
F 20232022
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9．已知M 为直线 x y 5 0上的一点，动点 N与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为 2，
则（ ）
A．动点N 9 2的轨迹方程为 (x 4)2 y2 4 B． MN 2
2
1 π
C． MN NO 的最小值为 D． AON 的最大角为
2 4 2 3
a 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 210．已知数列{ n }： ， 2 ， 2 ， ， ，2 2 2 22 23 23
， ， ， ，
23 23 23 23
，
23
， ， ，…
24 24
1 1 2 3 1 2
（其中第一项是 1 ，接下来的 22－1项是 2 ， 2 ， 2 ，再接下来的 23－1项是 3 ， 3 ，2 2 2 2 2 2
3 4 5 6 7
23
，
23
，
23
， ， ，依此类推），其前 n项和为 S ，则下列判断正确的是（ ）
23 23 n
A．存在常数 M，使得 Sn＜M恒成立
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABZYgAgggoAAJAAQhCQwWYCEOQkBAAAAoOQBAIIAABiRFABAA=}#}
210B 1．
210
是{an}的第 2 036项
C．S2 036＝1 018
D．满足不等式 Sn＞1 019的正整数 n的最小值是 2 100
11．如图，在边长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M 是线段 A1E上的
一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M 点与 A1点重合时，直线 AC1 平面 ACM
B．当点M 移动时，点D到平面 ACM 的距离为定值
C．当M 点与 E点重合时，平面 ACM 与平面CC1D1D夹角
5
的正弦值为
3
D．当M 点为线段 A1E中点时，平面 ACM 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得截面面积为
7 33
32
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．命题“ x R,3x 0 ”的否定是 ．
13．已知 f x 1 1为偶函数，当 x 0时， f x x x，则曲线 y f x 在点 1,2 处的切线e e
方程是 ．
14 x
2 y2 1
．如图，椭圆 e
a2
2 1(a b 0)的离心率 ，F ，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，b 3
P是椭圆上任意一点，若 PF PA的最大值是 12，则椭圆方程为
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数 f x 2x 1 aex .
(1)当 a 2时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程;
(2)若 f x 0恒成立，求实数 a的取值范围.
16．（15分）在 ABC中，角 A,B,C
所对的边分别为 a,b,c，向量m c b, 2a b ，向量
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABZYgAgggoAAJAAQhCQwWYCEOQkBAAAAoOQBAIIAABiRFABAA=}#}
n c b, 2a b ，且m n .
(1)求证： tanB 3tanA；
(2)延长 BC至点D，使得DA DB .当 DAC最大时，求 tanD的值.
17．（15分）四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD， AB / /CD, AD CD 1， BAD 120 ，
ACB 90 .
(1)求证：BC⊥平面 PAC；
(2)若二面角 D-PC-A 5的余弦值为 ，求点 A到平面 PBC的距离.
5
y2 x218．（17分）已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的离心率是 3，点 P 4, 3 在C上.a b
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线 l与C相切，且与C的两条渐近线分别交于 A,B两点，O为坐标原点，试问
OA OB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
a a a
19．（17 11 12 1n分）已知数表 A2n 中的项 aij (i 1, 2; j 1, 2, ,n)a a a 互不相同，且 21 22 2n
满足下列条件：
① aij 1,2, , 2n ；
② ( 1)m 1 a1m a2m 0(m 1,2, ,n) .
则称这样的数表 A2n具有性质 P .
(1)若数表 A22具有性质 P，且 a12 4，写出所有满足条件的数表 A22，并求出a11 a12 的值；
(2)对于具有性质 P的数表 A2n，当 a11 a12 a1 n 取最大值时，求证：存在正整数 k 1 k n ，
使得 a1k 2n；
(3)对于具有性质 P的数表 A2n，当 n为偶数时，求 a11 a12 a1 n 的最大值.
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