2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间中点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.两平行直线和间的距离为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点到点的距离为( )
A. B. C. D.
5.将个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到个苹果，共有不同的分法( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7.在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列说法正确的有( )
A. 的一个方向向量为
B. 的截距式方程为
C. 若与直线互相垂直，则
D. 点到的距离为
10.的展开式中( )
A. 二项式系数之和为 B. 最高次项系数为
C. 所有项系数之和为 D. 所有项系数之和为
11.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于，两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则( )
A.
B.
C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
12.在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 直线与底面所成的角的正弦值为
C. 平面与底面夹角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是______．
14.第届杭州亚运会开幕前需在某高中招募名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组人，共有人报了名其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为______．
15.抛物线上有一动点，过作曲线的切线，其中一个切点为，则的最小值为______．
16.已知实数，满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
判断是否能被整除？并推理证明．
18.本小题分
已知为过点，，三点的圆．
求圆的方程；
若直线：与圆有交点，求的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，，，，．
求；
判断点，，，是否共面，并说明理由．
20.本小题分
已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标．
21.本小题分
如图，直四棱柱的棱长均为，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足．
若，证明：；
若，且与平面所成角的正弦值为，求．
22.本小题分
设，，向量，分别为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，且．
求点的轨迹的方程；
已知，，斜率不为的直线过点且与轨迹交于，两点，若平分，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角，
直线的斜率，
则，．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：点关于平面对称的点的坐标是．
故选：．
结合空间点对称的性质，即可求解．
本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线，即，
则平行线间距离．
故选：．
将直线方程化简，代入平行线间的距离公式即可．
本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，
所以点到焦点的距离．
故选：．
首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了点与点的距离公式，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：挡板法：个苹果间会产生个空隙，任选个空隙将苹果分开，即分成三份，
共有种分法．
故选：．
利用“挡板法”求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，即，
由圆：，可得，，
则点到直线的距离，
解得或，代入，
所以直线的方程为：或．
故选：．
设直线的方程为，利用垂径定理可求，进而可得直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为平面，
所以以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为为正三角形，，，
所以，，，，
所以，，
因为是棱上一点，所以设，
则，
因为，所以，
即，解得．
故选：．
建立空间直角坐标系，设，由建立的方程，求解即可．
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：椭圆方程为，
，，，
，，设，
则，
设，则，
直线的方程为，令可得为，
又直线的方程为，令可得为，
，解得或．
故选：．
根据椭圆的几何性质及题意，建立方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由直线方程知：的一个方向向量为，故A对；
由，则截距式为，故B错；
与直线互相垂直，则，可得，故C错；
点到的距离为，故D对．
故选：．
由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断、；由垂直关系的判定列方程求参判断；应用点线距离公式求距离判断．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由于二项式系数之和为，故A正确．
设展开式第项为，
故当时，可得最高次项的系数为，故B正确．
令得，所有项系数之和为，故C错误，D正确．
故选：．
由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式．给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于，两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，
可得，，则，故A错误．
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
则，B正确．
设任一边所在直线为斜率存在时，
联立得，
则，即，C正确．
由，
设：；，，
联立得，
，，
则
，
设，则，
，
又，，
故，D错误．
故选：．
根据已知条件求得双曲线的方程，再逐一进行判断即可．
本题主要考查双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
12.【答案】
【解析】解：对于，在棱长为的正方体中，，，
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
，，
平面，平面，平面，故A正确；
对于，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，故B正确；
对于，，，
设平面的法向量，
则令，则．
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故C错误；
对于，，平面，平面，
又，平面的法向量，
点到平面的距离就是直线与平面的距离，
点到平面的距离为：，故D错误．
故选：．
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查线面平行的判断与性质、线面角、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：二元二次方程表示圆，
，故，解得．
故答案为：．
根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可．
本题主要考查圆的一般方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为，
人选人分两组的分法种数为，
两人都被选中且被分在不同组的概率．
故答案为：．
利用古典概型、排列组合求解．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：曲线，即，
表示以圆心，半径为的圆，
如图：
，
设，
则，即当时，取最小值，
故的最小值为．
故答案为：．
把问题转化为求两点间距离的最小值，结合二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查抛物线的性质以及计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
根据数形结合，，，可看作是椭圆的一半如图．
又因为等价于过点和点的直线的斜率．
设直线为，
联立，消得：．
令，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
由题可得可看作是椭圆的一半，从而将问题转化为直线与椭圆有公共点时的取值范围．
本题考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：能被整除，
证明：
，
能被整除，
故能被整除．
【解析】将已知关系式化简为，然后利用二项式定理展开即可证明．
本题考查了二项式定理的应用，整除问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：设圆的方程为：，
由题可得：，解得，
所以圆的方程为：；
将圆的一般方程化为标准方程：，
所以圆心，半径为，
因为直线：与圆有交点，
所以到：的距离，解得，
所以的取值范围为．
【解析】由待定系数法即可求得；
由直线与圆有交点建立关于的不等式，求解即可．
本题考查圆的方程的求法和直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：，，．
则，，
；
，，，
设，则无解，
故点，，，不共面．
【解析】根据已知条件，结合向量的数量积运算，即可求解；
结合向量共面定理，即可求解．
本题主要考查空间向量的应用，属于基础题．
20.【答案】证明：点是直线：与轴正半轴的交点，
，，
设，，
联立方程组，
整理得，
，，
则，，
，
，，
，
，
，
整理得，
，，
，即，
故此时点为定点，．
【解析】设，，联立直线和抛物线的方程可得关于的一元二次方程，由韦达定理和弦长公式可求，，，结合已知条件可得的值，即可得结论．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式的运用，是中档题．
21.【答案】证明：直四棱柱的棱长均为，底面是菱形，
连接，交于点，如图所示．
，且，互相平分．
又，
，，
连接，交于点，连接，
则平面，
，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
，，，
，
，
，
时，．
，．
解：由可得，
，，
设平面的法向量为，
则即
，令，得，
则，，
设与平面所成角为，
则，
化简得，
解得或舍去．
【解析】连接，交于点，连接，交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．通过向量的数量积为，证明．
求解平面的法向量，设与平面所成角为，利用直线与平面所成角转化求解即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量数量积的应用，是中档题．
22.【答案】解：因为，，且，
所以，
该式子可看作是点到两个定点，的距离之和为，
由椭圆定义可得，，，则，，
所以点的轨迹的方程为．
直线斜率不为，设直线的方程为，
直线与椭圆方程联立
消去，整理得，
，
设，，
可得根与系数的关系为，，
由平分知，
即，又，
则．
整理得．
把式代入上式，化简得，解得，
所以直线的方程为．
【解析】利用数量积运算律化简得，利用椭圆定义即可求解方程；
设：，联立直线与椭圆方程，设，，可得根与系数的关系，再根据平分线的性质得点的坐标关系，结合根与系数的关系求解，即可解答．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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