2023-2024学年江西省宜春市重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则动点的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线 C. 双曲线左支 D. 双曲线右支
3.长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.某校有甲、乙等名同学到个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去个社区，每个社区至少安排名同学，则甲、乙人被分配到不同的社区的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：与圆：相内切，则( )
A. B. C. D.
6.已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是( )
A. B. C. D.
7.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 对任意正数， D. 对任意正数，
8.如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，如果中途共转向次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，：，则( )
A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
10.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则( )
A. 前天的极差大于后天的极差 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数与众数相同
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点点不与点，重合，过点作平面分别与棱，交于，两点，若，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 存在点，使得平面
C. 存在点，使得点到平面的距离为
D. 用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12.已知点为双曲线：上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别是，，则( )
A. B.
C. D. 为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在二项式的展开式中，的系数是______．
14.从位男同学，位女同学中选出位同学，男女生都要有的选法有______种
15.甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则______．
16.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，，设，分别是，的中点，则平面截球所得截面的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求直线被圆截得的弦长．
求过原点且与圆相切的直线的方程．
18.本小题分
已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，．
求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望．
19.本小题分
某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，投资新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的散点图如图所示．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
求关于的线性回归方程；
若该企业有一笔资金万元用于投资，两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？
20.本小题分
已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点．
求的方程；
求圆心在轴上，且过，两点的圆的方程．
21.本小题分
如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，，，分别为，，的中点．
在线段上找一点，使平面，并说明理由；
若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为，
求椭圆的方程；
过点作两条互相垂直的弦，分别交椭圆于，，
证明：直线过定点；
求点到直线距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率等于，设直线的倾斜角为，
则，，解得，
故选D．
由直线的方程可得斜率等于，设直线的倾斜角为，则，，由此解得的值．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
用排除法做：如果是双曲线，那么，，与在双曲线中矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除
【解答】
解：如果是双曲线，那么，
，
而两个定点，为双曲线的焦点，
，
而在双曲线中，
所以把后三个关于双曲线的答案全部排除．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：连接，则，
就是异面直线与所成的角
，，则在中，，，，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．
故选：．
由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接，再证明就是异面直线与所成的角，最后在中计算此角的余弦值即可．
本题考查异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：先在名同学中选出名同学分配到一个社区，有种分配方法，
再将另外人分配到个社区且每个社区各人，则共有种分配方法，
其中甲、乙人被分配到同一个社区的分法有种，
甲、乙人被分配到不同的社区的概率为：
．
故选：．
由排列与组合的相关计算公式能求出甲、乙人被分配到不同的社区的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
显然点在圆外，由圆与圆相内切，
得，于是，
解得．
故选：．
求出两个圆的圆心坐标及半径，利用两圆内切列式求解即得．
本题考查两圆内切的充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件，“小陆同学解答不正确”为事件，
则，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
直接利用正态分布曲线的特征，结合概率，直接判断即可．
【解答】
解：正态分布密度曲线图象关于对称，所以，从图中容易得到．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，中途共三次转向可以分为两类，由此分种情况讨论：
，右上右即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法，
，上右上，此时共有种方法．
则共有种最短路径．
故选：．
根据题意，按路线的不同分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：曲线：整理得，
则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，
所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，
所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C错误；
：的渐近线方程为，故B正确；
又，
所以与的离心率互为倒数，故D正确．
故选：．
根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可．
本题主要考查椭圆与双曲线的性质，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，前天的极差，后天的极差，所以前天的极差大于后天的极差，故A正确；
对于，数据出现次，出现的次数最多，所以众数为，故B正确；
对于，数据从小到大排列为，，，，，，，，，，所以这组数据的中位数为，故C错误；
对于，这组数据的第百分位数是第个数和第个数的平均数与众数相同，故D正确．
故选：．
利用极差、众数、中位数和百分位数的定义求解．
本题主要考查了极差、众数、中位数和百分位数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：连接，，．
易得，，，．
对于，可得正方体中面，即可得平面，故A正确．
对于，可得面面，故AC不可能平行面故错．
对于，平面，且，所以存在点，使得点到平面的距离为，故正确．
对于，用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形，，四边形一定是梯形，故正确．
故选：．
连接，，易得，，，再结合正方体的性质即可判断．
本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题
12.【答案】
【解析】解：设，则，
双曲线：的渐近线方程为和，
则，，不为常数，
，故A错误，B正确；
由四边形的对角互补，可得，
由渐近线的斜率分别为，可得两渐近线的夹角的正切值为，
则，
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
设，利用点到直线的距离公式可判断；利用向量的数量积计算可判断；求得可判断．
本题主要考查双曲线的性质，点到直线的距离公式，向量的数量积，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为
令得
故展开式中项的系数是
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为求出展开式中项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：从位男同学，位女同学中选出位同学，全是男生的选法有种，全是女生的选法有种，
所以男女生都要有的选法有种．
故答案为：．
先计算出全是男生和全是女生的选法，再利用间接法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，事件发生且事件发生的概率为，
事件发生且事件发生的概率为，
事件发生且事件发生的概率为，
故．
故答案为：．
分析事件所有的可能性，结合已知条件，计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥的体积公式，考查了球的结构特征，及空间几何体的截面问题，属于中档题．
先求出球的直径，再利用等体积法求出点到平面的距离，进而求出截面圆的半径，即可求解．
【解答】
解：由题设知球心为中点，
所以球的直径，
所以，
所以球的体积，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
由题意可知，球心到平面的距离等于点到平面的距离，
在三棱锥中，由等体积法得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以截面面积为．
故答案为：．
17.【答案】解：易知圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则弦长；
易知轴与圆相切，即符合题意，
当切线斜率存在时可设切线方程为，
易知的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，即符合题意，
综上过原点与圆相切的直线为或．
【解析】利用弦长公式计算即可；
利用直线与圆的位置关系计算即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件．
通过招聘的概率为，通过招聘的概率为，
．
即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为．
随机变量可能的取值为，，，．
通过招聘的概率为，
由得，两位毕业生通过招聘的概率均为．
，，三位毕业生通过招聘的人数．
则，
，
，
，
随机变量的分布列为：
数学期望．
【解析】由独立事件乘法公式，对立、互斥事件概率的关系即可得解．
由题意可得，由二项分布的概率计算公式、期望公式即可得解．
本题考查离散型随机变量分布列以及数学期望等相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：由散点图可知，取，，，，时，的值分别为，，，，，
所以，，
．
则．
故关于的线性回归方程为．
因为投资新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，
所以若投资项目，则该企业所得纯利润为万元；
因为关于的线性回归方程为，
所以若投资项目，则该企业所得纯利润的估计值为万元．
因为，
所以当时，投资项目；
当时，投资或项目；当时，投资项目．
【解析】由散点图得到，的数据，计算出，代入公式即可求解．
分别求出投资，项目所得纯利润的估计值，用作差法即可得出答案．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：依题意，抛物线的焦点在直线上，
则，解得，
所以的方程为．
由知，抛物线的准线方程为，
设，，的中点为，
由，消去得，
则，有，，即，
因此线段的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为，则，
又过的焦点，
则有，
设所求圆的半径为，则，
故所求圆的方程为．
【解析】求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答．
根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答．
本题考查抛物线与圆的标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】证明：取中点，的中点，
连接，，，如图，
在三棱柱中，易得且，
所以四边形为平行四边形，则，
又面，面，所以平面，
即存在的中点，使得平面；
解：由，可得为正三角形，取得中点，可得，
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，
又为等边三角形，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则由，令，可得，，即，
取平面的法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
【解析】取中点，的中点，连接，，，可证四边形为平行四边形，即可证明平面；
根据图形特点建立空间直角坐标系，利用两平面法向量夹角的余弦的绝对值可求得结论．
本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，属中档题．
22.【答案】解：由题意得
又因为，得，，
所以椭圆的方程为．
证明：当直线斜率存在时，设其方程为，
代入椭圆方程，整理得，
由，得．
设，，
则
因为，所以，
即
其中，
代入整理得，
即，
当时，
直线过点，不合题意，
所以，
此时直线的方程为，所以直线过定点．
当直线斜率不存在时，设其方程为，
代入解得或舍去，
综上所述，直线恒过定点．
由可知，当时，
点到直线的距离最大，最大距离为．
【解析】结合题意建立关于，的方程求解即可；
当直线斜率存在时，设其方程为，根据建立，的关系，进而得到直线过定点，再验证当直线斜率不存在时也过这个点，进而得到直线过定点；
因为直线过定点，结合几何关系可得当时点到直线距离最大，最大距离为．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点问题，考查设而不求法的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．
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