5.3分式的加减法 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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5.3分式的加减法北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，若为正整数，则表示的值的点落在
( )
A. 段 B. 段 C. 段 D. 段
2.已知，则的值等于( )
A. B. C. D.
3.若是自然数，则表示的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( )
A. B. C. D. 或
4.已知两个不等于的实数，满足，则的值为
( )
A. B. C. D.
5.若和互为倒数，则的值是
( )
A. B. C. D.
6.化简的结果是
( )
A. B. C. D.
7.江苏扬州邗江实验、蒋王、江都实验初中期中已知，则值为
．( )
A. B. C. D.
8.如下是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( )
第一步
第二步
第三步
第四步
A. 第二步运用了分式的基本性质 B. 从第三步开始出现错误
C. 原分式的计算结果为 D. 当时，原分式的值为
9.设且为自然数，如果是整数，的值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知，则 ．
12.当满足时，则分式的值为 ．
13.若，则代数式的值为 ．
14.我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知，，则化简的结果为________．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：．
16.本小题分
求代数式的值，其中．
17.本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：．
第个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
18.本小题分
已知其中，为常数，求的值．
19.本小题分
舟山中考观察下面的等式：，，，
按上面的规律归纳出一个一般的结论用含的等式表示，为正整数；
请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
20.本小题分
已知，求代数式的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据为正整数，从所给图中可得正确答案．
解：．
，且为正整数，
，，
，即，
故表示的值的点落在段．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由，得

，
则，，
．
故选：．
把所给等式整理为个完全平方式的和为的形式，得到，的值，代入求值即可．
考查分式的化简求值，把所给等式整理为个完全平方式的和为的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：个完全平方式的和为，这个完全平方式的底数为．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：和互为倒数，
，
．
故选：．
根据和互为倒数可得，再将进行化简，将代入即可求值．
本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
6.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
先通分，再计算，然后化简，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式的化简求值，考查整体代入法的应用，属中档题．
由，得，，，原式，代入即可得解．
【解答】
解：由，得，
则原式，
由，得，
因为不为，将上式两边除以，得，
两边平方，得，故．
故原式．
8.【答案】
【解析】解：第二步运用了分式的基本性质，将两个分式的分母进行通分，故选项A判断正确，不符合题意；
从第三步运算，应为分式的分母不变，分子相加减，解答过程丢掉分母，选项B判断正确，不符合题意；
分式的计算过程如下：
故选项C判断正确，不符合题意；
当时，原分式的分母值为，分式没有意义，故D判断错误，符合题意．
故选：．
根据异分母分式加减运算的法则，逐项判定即可．
本题考查了异分母分式的减法运算，掌握相关运算法则，计算过程中不要丢掉分母是关键．
9.【答案】
【解析】本题考查了平方差公式，分式的加减法，分式的值，掌握是解题的关键．
根据平方差公式化简，再求出，根据是整数，且为自然数，得到可以为，，，，从而得到的值．
解：
，
，
是整数，且为自然数，
应是的约数，即可以为，，，，
的值可以为，，，共个．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
根据题目中的式子，可以写出各步之间的计算过程，从而可以解答本题．
【解答】
解：老师到甲：，故选项A不符合题意；
甲到乙：，故选项B符合题意；
乙到丙：，故选项C不符合题意；
丙到丁：，故选项D不符合题意；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：
原式

，
，
，
原式，
故答案为．
根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后根据，即可解答本题。
解：原式

，
，
，
原式，
故答案为．
点拨：本题考查对分式的化简，熟练运用并综合运算是解决这题的关键。
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：原式．．
【解析】略
16.【答案】解：原式
当时，
原式
．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
17.【答案】解：．
．
证明：因为左边右边，
所以等式成立．
【解析】【分析】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
根据题目中前个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第个等式；
把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等即可．
【解答】
解：观察等式可知等式左边可以看作两个因式的积，第一个因数分子是，，，，分母是，，，，，则第六个等式左边的第一个因数的分子为；分母为；等式的左边第二个因式是与一个分数的和，该分数的分子都为，分母为，，，，，，则第六个等式左边的第二个因式为，所以第六个等式左边为；
观察等式右边为与一个分数的差，该分数的分子均为，分母为，，，，，，则第六个等式右边为；
故第六个等式为；
由分析可知第个等式左边为，右边为，即第个等式为．
故答案为；证明见答案．
18.【答案】解：将等式的左边相减，得：，
根据左右两边相等，可得：解得：
．
【解析】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程，求出、的值，将其代入计算即可．
19.【答案】【小题】解：，
，
，，
观察规律可得．
【小题】解： ，
故结论正确．

【解析】 本题考查分式有关的规律问题，属基础题．
根据题意归纳得结论．
本题考查分式的加减计算，属基础题．
根据分式的加法计算方法证明等式即可．
20.【答案】解：原式

．
，
，
原式．

【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，整体代入计算即可．
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