6.2平行四边形的判定 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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6.2平行四边形的判定北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是 边延长线上一点，连接、、，交于点添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平面直角坐标系中，以、、为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是
( )
A. B. C. D.
4.如图，将绕的中点顺时针旋转，嘉琪发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处，
，
四边形是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充．下列正确的是( )
A. 嘉琪推理严谨，不必补充 B. 应补充：且
C. 应补充：且 D. 应补充：且
5.如图，在平行四边形中，，按如下步骤作图：以点为圆心，的长为半径作圆弧，交边于点；分别以点和点为圆心、大于线段长的一半为半径作圆弧，两弧交于点；作射线，交边于点；连结，下列结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，则( )
A. B. C. D.
8.已知四边形的对角线相交于，给出下列个条件：；从以上条件中任选个条件为一组，能推出四边形为平行四边形的有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
9.如图，在 中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.在同一平面内，直线，是通过直线平移得到的，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离为
．( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：；；四边形为平行四边形；其中正确结论的序号是______．
12.如图，在中，对角线，相交于点，，于点若，，则的长为 ．
13.如图，在 中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点若，，则的大小为_______．
14.如图，在方格棋盘上有三枚棋子，位置分别为，，，请你再放下一枚棋子，使这四枚棋子组成一个平行四边形，这枚棋子的坐标可以是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与轴平行且若点的坐标为，求点的坐标．
16.本小题分
如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于点．
求证：；
若平分，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
17.本小题分
如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
18.本小题分
已知：如图，在中，，是对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．
19.本小题分
如图，在中，点，在对角线上，且．
求证：≌；
四边形是平行四边形．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．
若，求的度数；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到，求得，求得，同理，，不能判定四边形为平行四边形，故C错误；根据平行线的性质得到，推出，接着得到，于是得到四边形为平行四边形，故D正确．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，故A正确；
，
，
在与中，
，
，
，
四边形为平行四边形，故B正确；
，
，
，
，
，
同理，，
不能判定四边形为平行四边形，故C错误；
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，故D正确，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，关键是利用勾股定理得出的长，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式根据勾股定理，可得的长，根据平行四边形的判定，可得四边形的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】
解：在中，，，
，
又，四边形为平行四边形．
．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．根据以、、为顶点，构造平行四边形，根据平行四边形的判定分别对答案A，，，进行分析即可得出符合要求的答案．
【解答】
解：以、、为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为时，
，
，，两点纵坐标相等，
，
四边形是平行四边形；故此选项正确；
B.以、、为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为时，
，
，，两点纵坐标相等，
，
四边形是平行四边形；故此选项正确；
C.以、、为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为时，
，
，，两点纵坐标相等，
，
同理可得出，
进而得出，，
四边形是正方形，故此选项正确；
D.以、、为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为时，四边形是平行四边形；
当第四个点为时，四边形不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故应补充“”，
故选：．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
利用基本作法克判定平分，再根据平行四边形的性质得到，则可判断四边形是平行四边形，再利用平分证明，则，然后根据菱形的判定方法可判断四边形是菱形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，再求出，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定分别进行论证即可．
【解答】
解：与能推出四边形为平行四边形；理由如下：
，，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
与能推出四边形为平行四边形；理由如下：
，
，，
，
，
四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
与能推出四边形为平行四边形；理由如下：
，，
四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
与不能推出四边形为平行四边形不能推出或或．
与不能推出四边形为平行四边形不能推出或或．
与不能推出四边形为平行四边形不能推出或．
综上所述，能推出四边形为平行四边形的有组．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：设交于点，连接，如图所示：
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
故选：．
设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形是菱形．
10.【答案】
【解析】解：如图，直线在、外时，
与的距离为，与的距离为，
与的距离为，
直线在直线、之间时，
与的距离为，与的距离为，
与的距离为，
综上所述，与的距离为或．
故选：．
因为直线的位置不明确，所以分直线在直线、外，直线在直线、之间两种情况讨论求解．
本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．
11.【答案】
【解析】解：如图，
连接，
，点是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
故正确；
是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
由知：，，
，
，
四边形是平行四边形，
故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，，
，
故正确；
故答案为：．
连接，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，故正确；根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，故正确；根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，故正确；根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，故正确．
本题考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
14.【答案】或或
【解析】解：因为以三点组成的三角形可作出三个平行四边形，所以分三种情况，设，，，另一点为：
当以为平行四边形的对角线时，则；
当以为平行四边形的对角线时，则；
当以为平行四边形的对角线时，则；
这枚棋子的坐标为或或．
设，，，若以为平行四边形的对角线，则；若以为平行四边形的对角线，则；若以为平行四边形的对角线，则．
本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，题目围绕，，三条线段都有可能作为平行四边形的对角线，分类讨论，得出三种可能的结果．
15.【答案】解：当点在点的右边时，如图，
与轴平行且，，
，
对角线的中点在坐标原点，
点、关于原点对称，
四边形为平行四边形，
点、关于原点对称，
；
当点在点的左边，如图，
同理可得，则．
故点的坐标为或．
【解析】根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，或，由于点与点关于原点对称，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类思想的应用．
16.【答案】证明：四边形是平行四边形，，，为边的中点， 在和中， ≌．
结论： 理由：平分，，≌，．

【解析】略
17.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
过点作于点，证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，求出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：连接，交于点如图所示：
在平行四边形中，，平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的定义，
．
在和中，
，
≌．
．
，即．
四边形是平行四边形．
【解析】连接，由证明≌，得出对应边相等，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的判定方法．
19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
由可知，≌，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，利用证明≌；
根据全等三角形的性质得到，，推出，根据平行线的判定定理证明，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，，，
，分别平分和，
，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
根据平行四边形的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
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