6.3三角形的中位线 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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6.3三角形的中位线北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，、、分别是、、的中点，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图， 的对角线，相交于点，是中点，且，则 的周长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，分别是边，，的中点，若，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，，分别是边，的中点．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接，
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图，先证明≌，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图，连接，先后证明四边形，分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A. 甲思路正确，乙思路错误 B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确 D. 甲、乙两人思路都错误
6.如图，在中，，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是
( )
A. B. C. D.
7.如图，，两点被池塘隔开，，，三点不共线．设，的中点分别为，若米，则
( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图，中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，点，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，于点，若，分别为，的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为、的中点，则长度的取值范围是 ．
12.如图所示，和为等腰直角三角形，、、三点在同一条直线上，，且，连接，点，分别是，的中点，连接，则 ______．
13.在中，，平分交于点，交于点，交于点有以下结论：
四边形一定是平行四边形；
连接所得四边形一定是平行四边形；
保持的大小不变，改变的长度可使成立；
保持的长度不变，改变的大小可使成立．
其中所有的正确结论是________填序号．
14.如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，与都是等边三角形，边长分别为和，连接，为高，连接，为的中点．
求证：≌；
将绕点旋转，当点在上时，如图，与交于点，连接，求线段的长；
连接，在绕点旋转过程中，求的最大值．
16.本小题分
如图，是内一点，连结，，并将，，，的中点，，，依次连结，得到四边形．
求证：四边形是平行四边形．
如果，，，求的长．
17.本小题分
已知：如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．
求证：四边形是平行四边形．
18.本小题分
下图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接得到四边形

求证：四边形是平行四边形；若，和互余，，求的长度．
19.本小题分
如图，为的边延长线上的一点，且，连接分别交，于点，点，连接交于点，连接．
求证：．
20.本小题分
如图，在四边形中，两条对角线相交于点，，垂足为点，，垂足为点，，点，分别是，的中点，连接，，，．
求证：；
从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
，．
选择的条件：______填写序号．
注：如果选择，分别进行解答，按第一个解答计分
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．根据三角形的中位线定理得到，，由平行线的性质得出，，即可得出答案．
【解答】
证明：点、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接并延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，，
由勾股定理得，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接并延长交于，
，
，
是的中点，
，
在和中，
≌，
，，
，
是的中点，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型，首先证明，再由，推出即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
根据三角形的中点的概念求出、，根据三角形中位线定理求出、，计算得到答案．
【解答】
解：点是的中点，，，
，
是边的中点，
，
、分别是边、的中点，
，
同理，，
四边形的周长，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：甲：是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故甲的思路正确；
乙：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故乙的思路正确；
故选：．
甲：证≌，得，，则，再证四边形是平行四边形，得，，即可解决问题；
乙：证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，得，，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
A、当时，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，
，
，
，
四边形为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，
，
由，，，不能判定，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：．
利用三角形中位线定理得到，，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点，分别是和的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8.【答案】
【解析】解：中，，分别是，的中点，
是的中位线，
同理，．
又，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得到，，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
A、当时，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，
，
，
，
四边形为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，
，
由，，，不能判定，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】如图，作于，连接，
在中，，
，
即，
解得，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
当的长最大时，的长最大．
当时，的长最小，最小值为，
当点与点重合时，的长最大，最大值为，
故答案为
12.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于，以点为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立坐标系，
和为等腰直角三角形，，，
，
，
同理可得，
点，分别是，的中点，
，，
，
故答案为：．
过点作于，以点为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出，，再由点，分别是，的中点，，，据此利用两点距离计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题．
13.【答案】
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断；保持的大小不变，改变的长度能使成立，故可判断；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断．
【详解】解：，
四边形是平行四边形，故正确；
只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故错误；
改变的长度，与的交点为中点时，则，
即为的中点，
是的中位线，
四边形是平行四边形，
，
，
，故正确；
保持的长度不变且时，
平分，
为的中点，
同，改变的大小都能使，
但当的长度不变且不等于时，不可能使成立，故错误，
所以，正确的结论是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】证明：如图中，与是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
解：如图中，为等边的高，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为的中点，
；
解：如图中，取的中点，连接，．
为等边的中线，
，
由同理可得，
为的中点，
是的中位线，
，
在旋转过程中，，
而且当点在线段上时可以取到最大值，
的最大值．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
根据证明三角形全等即可；
证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出；
取的中点，连接，，在旋转过程中，，而且当点在线段上时可以取到最大值．
16.【答案】解：，分别是，的中点，
，．
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形．
如图，过点作于点．
在中，，，
，
．
在中，，，
，
，
．

【解析】略
17.【答案】证明：如图，连结．
是的中位线，
三角形的中位线等于第三边的一半．
同理，．
．
同理可得．
所以四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

【解析】由，，，分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明．
18.【答案】解：、分别是、的中点，
，，
、分别是、的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
由有四边形是平行四边形，
．
【解析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形是平行四边形．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
想办法证明即可解决问题．
19.【答案】证明：，
，，
又，
≌，
，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
．
【解析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理．先证明≌得，再利用三角形中位线定理即可解决问题．
20.【答案】
【解析】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
点，分别是，的中点，
；
解：选择，四边形为矩形．
理由如下：
为的斜边上的中线，
，
，
为等边三角形，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形．
故答案为：
若选择，四边形为矩形．
理由如下：
，，
，
点，分别是，的中点，，
，
四边形为矩形．
先证明≌得到，然后利用点，分别是，的中点得到；
若选择，四边形为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则可判断为等边三角形，所以，，从而可判断四边形为矩形．
若选择，四边形为矩形．理由为：利用，得到，然后利用点，分别是，的中点，得到，从而可判断四边形为矩形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
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