1.1等腰三角形 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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1.1等腰三角形北师大版初中数学八年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点，，在一条直线上，和是等边三角形，连接，交于点，连接，分别交，于点，，连接，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，正确的是( )
A. 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 等腰三角形的一边不可以是另一边的倍
3.在中，，，，则的周长是
( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，已知，点，分别在边，上，，下列条件中，不能判定是等腰三角形的是( )
A. B.
C. D.
6.在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在( )
A. 的重心处
B. 的中点处
C. 点处
D. 点处
7.如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
9.已知，为等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为
( )
A. B. 或 C. D. 或
10.如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点，则以下推断错误的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，平分，交于点若，，则的长为 ．
12.一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为 ．
13.若等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为______．
14.如图，已知中，，，过上一点作，交的延长线于点，交于点，若，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：如图，，，，在同一直线上，，求证：．
16.本小题分
已知：是等边三角形，点、分别为边、上的点，且，连接、，相交于点．
求证：≌；
求的度数；
延长到点，使，连接、，求证．
17.本小题分
如图，为等边三角形，，，相交于点，于，，．
求证：；
求的长．
18.本小题分
已知：如图是等边三角形，，分别在，上，且，，交于点，于求证：
≌；
．
19.本小题分
如图中，，是角平分线．
过点作，垂足为点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，交于点，求证：．
20.本小题分
如图，四边形中，，，为上一点，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出≌；由≌，得出，根据三角形外角的性质得出．
【解答】
解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了定义与命题，等腰三角形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定定理，全等三角形的判定定理，三角形的三边关系是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和平行线的判定对进行判断，根据等腰三角形“三线合一”对进行判断；根据全等三角形的判定方法对进行判断；根据三角形三边的关系对进行判断．
【解答】
解：因为等腰三角形顶角的外角等于两底角的和，作顶角的外角的平分线得到的角就等于等腰三角形的底角，根据内错角相等，两直线平行就可以得到：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，所以此命题正确；
B.应该为等腰三角形底边上的高线，底边上的中线，顶角的平分线重合，所以原命题不正确；
C.因为顶角相等的两个等腰三角形对应边不一定相等，因而不一定全等，所以原命题不正确；
D.等腰三角形的腰可以为底边的两倍，所以原命题不正确；
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键，首先根据等边三角形的判定判断出是等边三角形，然后求解周长即可．
【解答】
解：，，
是等边三角形，
，
的周长．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，
又，
，
在和中
，

，
，，
，
故选：．
利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：连接，
是等边三角形，是的中点，
是的垂直平分线，
，
的周长，
当、、在同一直线上时，
的周长最小，
为中线，
点为的重心，
故选：．
连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍．
7.【答案】
【解析】解：在中，
，
则，
所以，
则点在以点为圆心，为半径的圆上．
延长到点，使，连接，
又因为是中点，
所以是的中位线，
则．
连接，与交于点，
在中，
，
所以，
即的最小值为，
所以的最小值为．
故选：．
先求出的长，进而可得出点的运动轨迹，再延长到点，使，利用中位线的性质将的最小值转化为的最小值即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化旋转，通过构造中位线将的长进行转化是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图所示过点作于，在中，
，，
，
，，
，
，
，
，于，
，
，
故选：．
如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．
本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
当为底时，三角形的三边长为，，，周长为；
当为底时，三角形的三边长为，，，则周长为，
等腰三角形的周长为或，
故选：．
首先根据，并根据非负数的性质列方程求得、的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
10.【答案】
【解析】解：在中，
，
．
，
．
平分，
．
．
故选项B正确；
．
．
故选项A正确；
，
故选项C正确；
在中，，
又，
故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角的平分线，等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，知道两边相等的三角形是等腰三角形，两直线平行，内错角相等．由平分，可得，又，所以，则，所以是等腰三角形，，又，，即可求得．
【解答】
解：平分，
，
又，
，则，
是等腰三角形，，
又，，
，
故答案为．
12.【答案】，，或，，
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据题意，分两种情况讨论，即可得解．
【解答】
解：分两种情况讨论：
当等腰三角形顶角的外角是时，则这个三角形的顶角为，
这个等腰三角形的底角为：，
这个三角形的三个角应该为，，；
当等腰三角形的底角的外角是时，则这个三角形的底角为，
这个等腰三角形的顶角为，
这个三角形的三个角为，，．
综上：这个三角形的三个角的度数为，，或，，．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，运用分类讨论的思想是解答本题的关键 可知有两种情况顶角是和底角是时，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】
解：如图所示，中，．
有两种情况：
顶角；
当底角是时，
，
，
，
，
这个等腰三角形的顶角为或．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，由中，，，可证得是等边三角形，又由，，易求得的长与，继而可得．
【解答】
解：中，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为．
15.【答案】证明：作于，
已知，
三线合一，
又已知，
三线合一，
，即等式的性质．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案．此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
16.【答案】证明：是等边三角形，
，，
又，
≌；
解：≌，
，
，
；
证明：，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
．

【解析】利用证明≌即可；
由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得；
先证明是等边三角形，得到，，再证明≌，得到，推出，即可证明．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质与判定是解题的关键．
17.【答案】证明：为等边三角形，
，，
又，
≌，
；
解：≌，
，
，
又，
．
，
．
．
【解析】根据证明与全等即可；
根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形，等边三角形的性质，证明≌是解题的关键．
18.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据等边三角形的性质得出，，利用即可证明≌；
根据全等三角形的性质及三角形外角性质求出，根据直角三角形的性质求出，再根据含角的直角三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图，即为所求；
证明：如图，
中，，
，
，
，
，
是角平分线，
，
，，
，
．
【解析】以为圆心，适当长为半径画弧交于，，以，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接，交于，则是线段的垂直平分线，即为所求；
由题意知，，由，可得，则，由是角平分线，可得，由三角形外角的性质可得，，则，．
本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边．正确的作垂线，熟练掌握等角对等边是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明≌是解题的关键．
由平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明≌，则可得出结论．
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