1.3线段的垂直平分线 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含详细答案解析）

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1.3线段的垂直平分线北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、若，的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于点，下列结论错误的是( )
A. 平分
B. 点是线段的中点
C.
D. 的周长等于
4.如图，在四边形中，，，，分别是，上的点．当的周长最小时，的度数为
( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 形如“”的式子叫做二次根式
B. 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
C. 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
D. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
6.如图，的周长为，底边，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧的交点与，分别交于点、点，连接，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为( )
A. B. C. D.
9.已知如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是( )
A. 取中点，连接
B. 作的平分线交于点
C. 过点作于点且
D. 过点作，垂足为
10.如图，已知，直线与直线、分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交直线于点，连接，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，中，，是的中点，的垂直平分线分别交、、于点、、，则图中全等的三角形的对数是 ．
12.在锐角中，，垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则______．
13.如图，中，，的垂直平分线交于，连接，，则的周长是______．
14.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为____．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，和都是等腰三角形，，，与，分别交于点，，和交于点，连接，．
若，求的度数；
如图，连接，，求证：垂直平分．
16.本小题分
如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为，求周长的最小值．
17.本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为．
求的大小；
若，求的长．
18.本小题分
已知等腰直角中，，，点、分别在边、边上，连接，以为直角顶点在右侧作等腰直角，连接．
如图，点与点重合时，猜想和的关系，并说明理由；
如图，时，点、分别为和的中点，
探究、和三条线段之间的数量关系并证明；
若，直接写出的最小值．
19.本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
求证：；
连接，请判断的形状，并说明理由．
20.本小题分
如图，在中，，于点，，分别交，于点，，连接．
判断的形状，并说明理由；
若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
又平分，
，
．
故选B
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线段垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】
解：由题意得垂直平分线段，
，，
，
，
的周长
．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
由在中，，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：在中，，，
，
的垂直平分线是，
，
，
，
平分，故A正确；
的周长为：，故D正确；
，，
，
，
，
，故C正确；
，
，
点不是线段的中点，故B错误．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键，据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、形如“”的式子叫做二次根式，故不符合题意；
B、到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条垂直平分线的交点，故不符合题意；
C、两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，故符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义、三角形的外心、平方差、等腰三角形的性质判断求解即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
6.【答案】
【解析】解：的周长为，底边，，
，
垂直平分，
，
的周长
．
故选：．
先求出腰的长，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，，先根据线段垂直平分线的性质得出，再由得出，再利用三角形内角和定理求解
【解答】
解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
故选C
8.【答案】
【解析】解：由作图的方法可知是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
的周长为：．
故选：．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．解题关键是根据作法判断出是的垂直平分线．
首先根据题意可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长为可得，又由条件可得的周长．
9.【答案】
【解析】解：、取中点，连接，得，依据“”证≌可得；
B.作的平分线交于点知，依据“”证≌可得；
C.过点作于点或作，当不能一次作图达到两个目的，此作法错误；
D.过点作，垂足为知，利用“”可证≌可得；
故选：．
利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
此题主要考查了作图、全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
根据作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，故D正确．
故选：．
根据，，得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，从而得出，即可求出．
本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
由，是的中点，易得是的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由是的垂直平分线，证得≌．
【解答】
解：，是的中点，
，，
，
在和中，
，
≌；
同理：≌，
在和中，
，
≌；
是的垂直平分线，
，，
在和中，
≌．
因此共有对全等三角形．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：如图，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
根据题意画出图形，求出的度数，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出的度数和得出．
13.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
故答案为：．
由题意知，根据的周长为，计算求解即可．
本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为．
15.【答案】解：，，
．
，
，
，
证明：，．
，
，即，
，
≌，
，，
，
，
≌，
，
又，
点，在线段的垂直平分线上，
即垂直平分．
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；
根据条件证明≌和≌，等量代换即可证明结论．
本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键．
16.【答案】解：连接、，
，点为的中点，，
，，
，且，
，
解得，
直线垂直平分，
点与点关于直线对称，
点在线段上，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
周长的最小值为．
【解析】连接、，由，，点为的中点，得，，则，求得，因为直线垂直平分，点在线段上，所以，则，由，得，则，所以周长的最小值为．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的面积公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：是的垂直平分线，
，
，
又是的平分线，
，
设，则，
，
；
是的平分线，，，
，
设，则，，
又，
，解得，
．
【解析】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．
先说明是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；
设的长为，根据直角三角形的性质列出关于方程，解出即可．
18.【答案】解：，理由如下：
由题意得，
，
又，，
，
，，
，
，
连结、，
，分别是、中点，
是的中位线，
，，
，
又，
，
，是中点，
，
，
，
．
，，
，
，
，
又，
，
又是中点，
，
易得一直在的垂直平分线上，
过作垂直于的垂直平分线，垂足为，
则的最小值即为．
故的最小值为．
【解析】本题考查全等三角形的判定，垂直平分线的性质，属于难题．
求证即可；
连结、，求证即可；
证明的最小值即为即可得解．
19.【答案】证明：连结，如图．
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
．
解：是等边三角形．
理由如下：连接，
垂直平分，
为的中点．
，
，
又，
是等边三角形．

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握角的直角三角形的性质是解的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解的关键，
连接，根据线段垂直平分线的性质可得，利用等边对等角的性质可得，进而求出，再在中结合含角的直角三角形的性质，即可证明第问的结论；
连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到，至此不难判断的形状
20.【答案】解：为等腰直角三角形． 理由：，，，垂直平分，，，，为等腰直角三角形．
证明：如图，在上取一点，使，连接．
，， 在和中， ≌，，，，，，，，，， 在中，由勾股定理得：，．

【解析】略
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