1.4角平分线 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含详细答案解析）

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1.4角平分线北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是
A. B. C. D.
2.如图所示，在中，，平分，于，，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
( )
A. 的三条中线的交点处 B. 的三边的垂直平分线的交点处
C. 的三条角平分线的交点处 D. 的三条高所在直线的交点处
4.如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则的长( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点，与交于点，连接下列说法正确的有( )
；
；
；
若：：，则：：．
A. B. C. D.
7.如图，中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法：平分；；；；其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，中，和的平分线，交于点，下列结论：
；
；
；
点到，的距离相等．
其中，正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，若平分，，，垂足分别是、，则下列结论中错误的是( )
A.
B. 、不一定相等
C.
D.
10.如图，在中，，平分，点为上一动点，若，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．
12.中，，的平分线交于点，如果点到边的距离为，则点到边的距离为______．
13.如图，是的角平分线，于，、分别是边、上的点，若和的面积分别为和，则的面积是______．
14.如图，为的平分线上一点，于点，则，则 ______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知．
尺规作图：作的角平分线交于点不写作法，保留作图痕迹；
如果，，的面积为，求的面积．
16.本小题分
如图，在中，，作的垂直平分线，作的平分线交直线于点连接，．
用尺规画出图形保留作图痕迹；
判断和的数量关系，并证明．
17.本小题分
已知，如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且求证：是等边三角形．
18.本小题分
如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点．
求的度数；
求证：．
19.本小题分
如图，已知．
尺规作图：作的平分线，与边相交于点保留作图痕迹；
若，求证：．
20.本小题分
如图：在中，平分，，且，．
若，求的长；
如图，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：作于，
点是平分线上一点，，，
，
故选：．
作于，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
先根据角平分线的性质得到，然后计算即可．
【解答】
解：平分，，，
，
．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质有关知识，直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】
解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 三条角平分线的交点．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．
解答此题可过作，连接，然后根据角平分线的性质和三角形的面积可得结论．
【解答】
解：点为与的平分线的交点，
点到三边的距离相等，
过作，连接，
则，
又，，为直角三角形，
，
，
解得：．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，，
．
故选：．
连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得≌，则可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：是高，
，
，，
而，
，，
是角平分线，
，
，所以正确；
是角平分线，
，
，，
而，
，所以正确；
，
，
，所以错误；
是角平分线，
点到和的距离相等，
：：：，所以正确．
故选：．
利用等角的余角相等证明，，再根据角平分线的定义得到，所以，从而可对进行判断；根据角平分线的定义得到，根据三角形外角性质得到，，所以，则可对进行判断；根据三角形外角性质得到，所以，则利用大边对大角得到，于是可对进行判断；根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则根据三角形面积公式得到：：，从而可对进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．
7.【答案】
【解析】解：作于点，
，的平分线，交于点，，，
，，，
，
点在的平分线上，
平分，
故正确；
，
，
故正确；
，，
，
，
故正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理≌，
，，
，
，，
故正确，正确，
故选：．
作于点，由，，根据角平分线的性质得，，则，即可证明平分，可判断正确；因为，所以，可判断正确；由，，可证明，则，可判断正确；由，，根据“”证明≌，得，，同理≌，则，，即可推导出，，则，可判断正确，正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于等知识，正确地作出的需要的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作，，，垂足分别为，，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
点到，的距离相等，
，
，
故正确，不正确；
故选：．
过点作，，，垂足分别为，，，先利用角平分线的定义可得，，从而利用三角形内角和定理以及等量代换可得，再利用三角形内角和定理可得，从而利用等量代换可得，最后利用角平分线的性质可得，再根据，从而可得，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、，可得，正确；
B、不对，、分别为的直角边和斜边，所以一定不相等；
C、，可得，正确；
D、，可得，正确；
故选B．
利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得，所以都对，不对．
本题主要考查了角平分线的性质．这种开放型的问题由已知得出结论后，要对选项逐个验证，证明，做到不重不漏．
10.【答案】
【解析】解：由垂线段最短可知，当时的值最小，
，平分，，
，
即的最小值为，
故选：．
由垂线段最短可知，当时的值最小，再根据角平分线的性质求解即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟记角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图，作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：中，，的平分线交于点，
点到边的距离点到边的距离，
故答案为：
根据角平分线的性质解答即可．
本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于，
是的角平分线，于，
，
在，中，
，
≌，
，
在，中，
，
≌，
，
设，和的面积分别为和，
，解方程得，，
，
，
故答案为：．
如图所示见详解，过点作于，是的角平分线，于，可证≌，同理可证≌，设，和的面积分别为和，列方程即可求解．
本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：作于如图所示：
．
为的平分线上一点，，
．
．
在和中，
，
≌，
．
，且，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
，
，
则．
故答案为：．
作于，根据角平分线的性质就可以得出，根据可以判断≌，从而可得，然后根据就可以得出≌，从而得到，进而得出．
本题考查了角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
15.【答案】解：如图，为所作；
平分，
点到和的距离相等，
：：，即：：，
．
【解析】利用基本作图作的平分线即可；
先根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到：：，然后利用比例的性质可求出的面积．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
16.【答案】解：如图，直线，射线即为所求．
结论：．
理由：如图，过点作于，作交的延长线于，
则，
平分，
，
直线垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】本题考查作图复杂作图，作线段的垂直平分线和角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据要求作出图形即可；
结论：．过点作于，作交的延长线于，证明，利用全等三角形的性质解决问题即可．
17.【答案】证明：，，垂足分别为点，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
只要证明≌，推出，推出，又，即可推出．
18.【答案】解：，，
，
，均为的角平分线，
，，
，
．
证明：在上截取，如图所示：
平分，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
≌，
，
．
【解析】先根据三角形内角和定理得到，再利用角平分线的定义得到，，则，然后根据三角形内角和得到的度数；
在上截取，先证明≌得到，由于，可得，接着证明≌得到，然后利用等线段代换得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
19.【答案】解：如图所示，点即为所求；
证明：如图所示，在上取一点使得，连接，
，
，
，
，
由角平分线的定义可得，
又，
≌，
，，
．
【解析】根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
如图所示，在上取一点使得，连接，证明，进而证明≌得到，，再根据线段的和差关系即可得到结论．
本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20.【答案】解：如图，延长交于点．
平分，
．
，
．
在和中，
，
≌．
，．
．
，
．
．
如图，作，交于点．
，
．
直角为等腰直角三角形，，
．
在与中．
，
≌．
．
【解析】延长交于点，利用证明和全等，可得，，那么根据，可得，即可求得的长．
设交于点，利用证明所在的和所在的全等即可得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用．解题关键在于根据题意判断出相应的三角形全等．应注意有角平分线常常构造两个相等的角所在的三角形全等．
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