2.2不等式的基本性质 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含详细答案解析）

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2.2不等式的基本性质北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式变形不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.若，则，那么一定有
( )
A. B. C. D. 为任意实数
3.某农户买黄金瓜，第一天上午买了，价格为元，下午他又买了，价格为元；第二天他以元的价格卖完了，结果与第一天比，发现自己亏了．其原因是
．( )
A. B. C. D.
4.衡水二模下列选项中，为不等式的解的是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.安徽合肥瑶海区期末若，则下列各式中不一定成立的是
．( )
A. B. C. D.
6.已知，是实数，下列命题中正确的是
．( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
7.甲商贩从一个农贸市场买西瓜，上午他买了千克，价格为每千克元，下午他又买了千克，价格为每千克元．后来他以每千克元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这是因为
．( )
A. B. C. D.
8.易错题若，则下列不等式中一定成立的是
( )
A. B. C. D.
9.长春中考不等式的解集是
( )
A. B. C. D.
10.若，则下列不等式不一定成立的是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，和分别表示天平上两边的砝码的质量单位：，请你用“”或“”填空：_________．
12.如果，且，那么的取值范围是__________．
13.【内江】已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为_________．
14.原创题已知，，三点在数轴上对应的实数为，，，用“”或“”号填空：
__________；
__________；
__________
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
开放探究性问题北京通州区期末我们知道：不等式的两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题：
完成下列填空填“”或“”，
已知可得________；
已知可得________；
已知可得________．
一般地，如果那么________用“”或“”填空，请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性．
已知，且，，请直接写出的取值范围．
16.本小题分
试比较与的大小．
17.本小题分
若关于的不等式两边都除以，得，试化简：．
18.本小题分
设，且，若，，，试比较，，的大小．
19.本小题分
已知不等式．
若，求的取值范围．
若，求的取值范围．
20.本小题分
阅读材料：
对实数，定义：当时，；当时，例如：，．
根据以上材料，解答下列问题：
若，则________．
已知，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是不等式的性质的有关知识，直接对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：，
，故A不符合题意；
，
，故C不符合题意；
，
，故B不符合题意；
，
，故D符合题意．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：若，一定有，
那么根据不等式的基本性质可得：．
故选：．
根据不等式的基本性质即可求解．
考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘或都除以同一个负数，须把不等号的方向改变，所得到的不等式成立；反之，如果不等式的两边都乘或都除以同一个数或式子，不等号的方向不变，则两边都乘或都除以的同一个数或式子值是正数，反之，是负数．
3.【答案】
【解析】分析
此题主要考查了不等式的基本性质的应用．
根据题意，可得买黄金瓜每斤的平均价卖黄金瓜每斤的平均价，然后根据单价总价数量，用第一天买黄金瓜花的钱除以购买的斤数，求出买黄金瓜每斤的平均价是多少，再根据买黄金瓜每斤的平均价卖黄金瓜每斤的平均价，应用不等式的性质，判断出、的关系即可．
解答
解：根据题意，可得
买黄金瓜每斤的平均价卖黄金瓜每斤的平均价，
，
，
，
，
整理，可得
．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质得出，进而代入数据即可求解．
【解答】
解：，
，
A.，，即成立，故该选项正确，符合题意；
B.，，即，不等式不成立，故该选项不正确，不符合题意；
C.，，即，不等式不成立，故该选项不正确，不符合题意；
D.，，即，不等式不成立，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以选项A不符合题意；
因为，所以，所以，所以选项B不符合题意；
因为，所以 ，所以选项C不符合题意；
因为且时，，所以选项D符合题意．
故选D．
本题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
根据不等式的基本性质判断即可．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质、绝对值，解题的关键是明确题意，对错误的说明理由或举出反例，正确的说明理由．对于各个选项中的不等式进行解答或者对错误的举出反例，即可解答本题．
【解答】
解：，而，故选项A错误；
是非负数，，则为正数，那么 ，故选项B正确；
，而，故选项C错误；
，而，故选项D错误；
故选B．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对不等式的性质，绝对值，有理数的乘方、乘法等知识点的理解和掌握，能熟练地利用这些性质进行判断是解此题的关键．
当时，根据有理数的乘方，乘法法则即可判断、、，根据两个负数绝对值大的反而小，即可判断．
【解答】
解：、因为，当时，可得，故本选项错误；
B、因为，当时，可得，故本选项错误；
C、当，时，，而，故本选项错误；
D、不论为何值，，由，可得，故本选项正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用不等式的基本性质解答即可求解．
本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质：在不等式两边同加上或减去一个数或式子，不等号方向不改变；在不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不改变；在不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号方向改变．
举特例如，可对进行判断；根据不等式性质，把两边都加上得到，都除以得到，都乘以得到．
【解答】
解：．，当时，，故选项A不成立；
B.，则，选项B成立；
C.，则，不等式的两边同时除以，得到，即，选项C成立；
D.，不等号两边同时乘以，由，得到，选项D成立．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想．
托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量．据此解答即可．
【解答】
解：根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量，即，
则，
所以．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
如果，且，即，根据不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，可得，由此求解即可．
【解答】
解：如果，且，即，
可得，
所以，
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的性质的应用，设是解题的关键．
设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得，的值，即可得解．
【解答】
解：设，则，，，
．
，，为非负实数，
，
解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，
．
．
14.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

【解析】 【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，数轴，首先由数轴得到，再根据不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变进行求解即可．
【解答】
解：由数轴知，
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去，可得．
故答案为．
【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质和数轴，首先由数轴得到，，然后根据不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行求解即可．
【解答】
解：由数轴知，，
所以．
【分析】
本题主要考查考查了不等式的基本性质和数轴，首先由数轴得到，，则，然后根据不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行求解即可．
【解答】
解：由数轴知，，，
所以，
所以．
15.【答案】【小题】
；；
【小题】
解：．
理由：因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
【小题】
解：因为，
所以，
又，，
所以，，
所以，，
所以，，
所以．

【解析】 【分析】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
根据不等式的性质即可判断；
【解答】
解：，，；
故答案为，，；
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
根据不等式的性质即可证明；
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
依据题意，由，结合，可得，再由，然后结合，从而可以得解．
16.【答案】解：，
，，
即，
．

【解析】要比较两个代数式的大小，可以通过作差法确定．
17.【答案】解：由，两边都除以，得，
，
，
．
【解析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由，两边都除以，得，可得，所以；然后根据绝对值的求法，求出的值是多少即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
18.【答案】解：，
．

同理可得 ， ．
又，
．
，
即．

【解析】本题考查不等式的基本性质有关知识，
由可得，所以，同理，，然后比较、、的大小即可．
19.【答案】【小题】解：由不等式．
得，
不等号方向没有改变，
，
．
【小题】解：由不等式．
得，
不等号方向改变，
，
．

【解析】 本题考查不等式的性质．
根据不等式的性质在不等式两边同时除以同一个正数不等号的方向不变解答即可．
本题考查不等式的性质．
根据不等式的性质在不等式两边同时除以同一个负数不等号的方向改变解答即可．
20.【答案】【小题】
或
【小题】
解：因为，且，
所以，．
故．

【解析】 【分析】
本题考查有关不等式的新定义的计算，属中档题．
由判断得，故根据新定义可得，结合平方根的定义求解即可．
【解答】
解：由，可知，
故，
即，得．
故答案为或．
本题考查有关不等式的新定义的计算，属中档题．
根据已知，结合不等式的基本性质判断得、与的大小关系，进而根据新定义化简所求式子，即可得解．
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