2.5一元一次不等式与一次函数 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含详细答案解析）

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2.5一元一次不等式与一次函数北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是( )
A. B. C. D.
2.如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，点的坐标为，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
3.有一根的金属棒，欲将其截成根的小段和根的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数，应分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.如图，直线和是常数且交轴，轴分别于点，，下列结论正确的是
( )
A. 方程的解是 B. 方程的解是
C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是
5.已知直线与直线的交点的横坐标是下列结论：；；方程的解是；不等式的解集是其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7.若一次函数的图象不经过第二象限且过点，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为
( )
A. B. C. D. 无法确定
9.如图，已知直线：与直线：在同一直角坐标系中的图象，则关于的不等式的解集为．
( )
A. B. C. D. 无法确定
10.下列说法中正确的是( )
A. 是方程的解
B. 是不等式的唯一解
C. 是不等式的解集
D. ，都是不等式的解且它的解有无数个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，直线经过和两点，且与直线交于点，则不等式的解集为 ．
12.一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则不等式的解集为______．
13.一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
14.一次函数的图象经过点当时，的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知直线经过点，直线与轴，轴分别交于，两点．
求，两点坐标；
结合图象，直接写出的解集．
16.本小题分
一次函数和的图象如图所示，且，．
由图可知，不等式的解集是______；
若不等式的解集是．
求点的坐标；
求的值．
17.本小题分
已知直线经过点，
求直线的函数表达式；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
写出不等式的解．
18.本小题分
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质应用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：
在函数中，当时，；当时，．
求这个函数的表达式；
在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
19.本小题分
如图，直线与直线相交于点
求，的值；
结合函数图象，直接写出不等式的解集；
求两条直线与轴围成的三角形面积．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，直线和相交于点．
求，的值以及点的坐标；
关于的不等式组的解集为__________________；
判断的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，根据图形求出不等式的系数、，解不等式根据不等式的性质．首先结合一次函数的图象求出、的值，然后解出不等式的解集即可；
也可从图象得到一次函数的增减性及与轴交点的横坐标，即能求出不等式解集．
【解答】
解：解法一：由图得，一次函数的图象经过、两点，
，解得，，
不等式为，
解得，．
解法二：一次函数的图象经过点，且函数值随的增大而增大，
因此当时，，
即解集是．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．根据点的坐标找出值，令一次函数解析式中求出值，从而找出点的坐标，观察函数图象，找出在轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【解答】
解：一次函数的图象交轴于点，
，
令中，则，解得：，
点．
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在轴上方，
不等式的解集为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与不等式的应用，读懂题意，列出算式，正确确定出，的所有取值情况是本题的关键．
根据金属棒的长度是，则可以得到，再根据，都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定．
【解答】
解：根据题意得：，
则，
由关于的一次函数图象可知且是正整数，
的值可以是：或或或．
当时，，则，此时，所剩的废料是：；
当时，，则，此时，所剩的废料是：；
当时，，则，此时，所剩的废料是：；
当时，，则舍去．
则最小的是：，．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查一次函数，先确定解析式，再根据一次函数上点的特征及一次函数与不等式的关系求解．
【解答】
解：直线和是常数且交轴，轴分别于点，，
A.方程的解是，故此选项不正确；
B.方程的解是，故此选项正确；
C.时，的解集是，故此选项不正确；
D.时，的解集是，故此选项不正确．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式有关知识，根据题目要求画出直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象，观察图象即可得出答案．
【解答】
解：如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
综上所述，错误，正确结论为．
6.【答案】
【解析】解：根据图象可知：两函数的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集是，
故选：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】
【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
，，
故A不符合题意；
函数经过点，
，
，
故B不符合题意；
，解得，
故D符合题意；
当时，，则，
故C不符合题意；
故选：．
由题意可知，函数经过一、三、四象限，则，，再结合选项判断即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，判断出，是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查一次函数的图像，根据图像可知，当时，在直线：的上方，可求解
【解答】
解：由图像可知，当时，在直线：的上方，
当时，关于的不等式，
故关于的不等式的解为．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：当时，，即关于的不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系以及方程解的概念，对、、、选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【解答】
解：当时，，故不正确；
B.，，所以不是不等式的解，故不正确；
C.，，所以是不等式的一个解，不是不等式的解集，故不正确；
D.，，所以，都是不等式的解且它的解有无数个 ，正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．由图可直接求出不等式的解集．
【解答】
解：因为点在直线上，
所以由图可知的解集为．
因为直线与直线交于点，
所以由图可知的解集为，
故的解集为．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
随的增大而减小，且时，，
当时，，即，
不等式的解集为．
故答案为：．
根据一次函数的性质得出随的增大而减小，当时，，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
【解答】
解：将点代入，
得，解得，
一次函数解析式为，
当时，．
故答案为：．
15.【答案】解：根据图示知，直线经过点，
，
解得：；
当时，；
当时，，
则，；
的解集为：．
【解析】把点的坐标代入直线，求出的值．然后让横坐标为，即可求出与轴的交点．让纵坐标为，即可求出与轴的交点；
利用函数图象进而得出的解集．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用函数图象分析是解题关键．
16.【答案】解：；
，在一次函数上，
解得
一次函数，
不等式的解集是，
点的横坐标是，
当时，，
点的坐标为；
经过点，
，得，
即的值是．
【解析】【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求解一次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集；
由题意可以求得、的值，然后将代入即可求得点的坐标；
根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值．
【解答】
解：，在一次函数上，
不等式的解集是，
故答案为；
见答案
17.【答案】解：根据题意得，解得，
直线解析式为；
解方程组得，
点坐标为；
解不等式得，
即不等式的解集为．
【解析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式和解一元一次不等式，两函数图象的交点，属于中档题．
利用待定系数法求直线的解析式；
通过解方程组得点坐标；
解不等式得不等式的解集．
18.【答案】 解：在函数中，
当时，；当时，，
解得或舍去，
这个函数的表达式为；
画出函数图象如解图；
　　　　 　
函数的性质写出其中一条即可：函数在时，随的增大而减小；
函数在时，的值不变；
由函数图象可得：的解集为．
【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．
将，；，分别代入函数得关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可得函数的解析式；
分别按照当时和当，求得函数的解析式，再根据解析式的特点画出图象，然后结合图象得出其一条性质即可；
由中函数图象可直接得出不等式的解集．
19.【答案】，；；．
【解析】略
20.【答案】解：把点代入，得
，解得．
把点代入，得，解得．
联立直线和的表达式，得，
解得，
则，
点的坐标为
等腰三角形，理由如下：
当时，则，解得，
故点．
如图，过点作于点，则点的坐标为，
，，则，
是的垂直平分线，
，即是等腰三角形．
【解析】【分析】
此题考查了一次函数的图像和性质，以及一次函数与不等式组的关系等知识点，
把点代入，求出，把点代入，求出然后联立直线和的表达式，即可得出结果；
根据在上方且都大于等于，即可得出结果；
求出点过点作于点，则点的坐标为，得出，，即是等腰三角形．
【解答】
解：见答案；
当时，则，解得，
故点．
又的坐标为，
，即，
在上方且都大于等于，
从图中得知解集为：
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