3.2图形的旋转 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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3.2图形的旋转北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且、、在同一条直线上，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是( )
A. B. C. D.
4.已知点的坐标为，点的坐标为将线段沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为则点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，以为直角边，点为直角顶点向的外侧作等腰直角三角形，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，等腰直角三角形，斜边，是中点，点为边上一动点，直线绕点逆时针旋转交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，下列结论：；；平分；其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连接，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则的度数为 ．
12.如图，中，，，是线段上一动点，以为边在下方作等边三角形若，，则的最小值为______．
13.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到点与点对应，连接当点落在直线上时，线段的长为 ．
14.如图，等边三角形内有一点，分别连结，，若，，，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
求证：；
若，，求的度数．
16.本小题分
如图，在等腰三角形中，，点是内一点，，，，将绕点逆时针旋转后与重合．求：
线段的长；
的度数
17.本小题分
如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，．
求的度数；
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长直接写出结果．
18.本小题分
如图，在等腰中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点．
依题意补全图形；
用等式表示线段与的数量关系，并证明；
若为中点，，则的长为______．
19.本小题分
将正方形中的绕对称中心旋转至的位置，交于点，交于点请猜想与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
20.本小题分
如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点每个小正方形的顶点叫做格点．
作点关于点的对称点；
连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，画出旋转后的线段；
连接，，求出的面积直接写出结果即可．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
为等腰三角形，
，
、、在同一条直线上，
，
，
，
．
故选：．
先利用互余计算出，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着根据旋转的性质得，，，，，于是可判断为等腰三角形，所以，再利用三角形外角性质计算出，可得，然后利用进行计算．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
由旋转的性质知，．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
根据点、点的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点的对应点的坐标即可．
【解答】
解：的对应点的坐标为，
平移规律为横坐标减，纵坐标减，
点的对应点的坐标为．
故选：．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
将绕着点逆时针旋转得到，依据旋转的性质可得，，进而得出，然后根据求得即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是等腰直角三角形，斜边，是中点，
，，，，
由旋转的性质得：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
连接，先由等腰直角三角形斜边中线性质得，，，，再由旋转的性质得，然后证≌，得出，即可得出结果．
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等性质，正确作出辅助线，构建等腰直角三角形的中线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过作于，于，设交于，如图：
将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，
，，，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
≌，，，
，
平分，故正确；
，
，，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
过作于，于，设交于，根据将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，可证≌，得，判断正确；且有，而，即得，，判断正确；由≌，，，可得，故AF平分，判断正确；，根据勾股定理可判断正确．
本题考查三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明≌．
9.【答案】
【解析】过点作于点在中，由勾股定理，得易证≌，所以所以．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
先求出的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
【解答】
解：根据题意，，，
．
由旋转的性质，得，
，
，
，
旋转角的度数是．
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据旋转角可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解：绕着点顺时针旋转后得到，，，故答案为：．
【点睛】
本题考查旋转的性质，是基础题，确定出是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：在移动的过程中，点也在运动，则将点移动到特殊位置上．
在处时，作等边三角形，同理作多边形，连接即为的运动轨迹．
，
．
，
过作的对称点，
，且，
，
．
．
故答案为：．
在移动的过程中，点也在运动，则将点移动到特殊位置上，可求出点运动轨迹．在处时，作等边三角形，同理作多边形，连接即为的运动轨迹．过作的对称点，即为所求．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，解题关键在于了解题意，知道点和点的运动关系．
13.【答案】或
【解析】本题易出现的错误是漏解，忽略点在延长线上的情况．
，，，
，
由旋转的性质得，，，
如图，点在边上，则，
，
如图，点在边的延长线上，
，，
．
综上所述，线段的长为或．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】解：证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
，
．
≌，
，
．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
16.【答案】绕点旋转与重合，
，
．
在中，由勾股定理得：
．
，，
．
绕点旋转与重合，
．
在中， ，，
，．
．
．
．

【解析】见答案
17.【答案】解：由旋转的性质得，，，
，即，
三角形是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；
与的位置关系是：，理由如下：
由知，
将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，
，
，
；
．
【解析】解：见答案；
见答案；
由旋转的性质得，，
为等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：．
根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解；
将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，可知，即得，故AD；
在中，由勾股定理即可求得的长．
本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
18.【答案】解：依题意补全图形如下：
线段与的数量关系是：，
证明：在等腰中，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；
．
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
【分析】
利用旋转画出，连接，即可得出图形；
先判断出，进而判断出，即可得出结论；
先求出，再判断出，即可得出答案．
【解答】
解：在等腰中，，
，
又在等腰中，，，，
，
，
由知，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
故答案为：．
19.【答案】解：猜想：．
证明：在正方形中，为对角线，为对称中心，
，，
为绕点旋转所得，
，，
，，
在和中，
，

【解析】见答案
20.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图所示，线段即为所求；
．
【解析】解：见答案；
见答案；
如图，连接，，
则．
依据中心对称的性质，即可得到点关于点的对称点；
依据线段绕点顺时针旋转得点的对应点，即可得出旋转后的线段；
依据三角形的面积公式进行计算即可．
本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键．
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