4.1因式分解 北师大版初中数学八年级下册同步练习（含解析）

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4.1因式分解北师大版初中数学八年级下册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若可以分解为，那么的值为( )
A. B. C. D.
2.原创题关于因式分解和整式乘法，甲说因式分解就是整式乘法，乙说因式分解和整式乘法是一种互逆关系，对于他们的说法，判断正确的是( )
A. 甲，乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲，乙都错误 D. 甲错误，乙正确
3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.下列式子从左到右的变形中是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.把多项式分解因式，得，则，的值分别是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.安徽安庆期中若，则的值为
．( )
A. B. C. D.
7.把多项式分解因式所得结果正确的是
( )
A. B. C. D.
8.下列多项式中，能因式分解的是( )
A. B. C. D.
9.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. ； B. ；
C. ； D. ．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若是多项式的一个因式，则 ．
12.如果多项式可以因式分解为，其中、、都为整数，那么的最大值是______．
13.若多项式是常数分解因式后，有一个因式是，则的值为 ．
14.多项式因式分解后有一个因式，则的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
阅读材料：
我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：．
请用“配方法”解决下列问题：
分解因式：．
已知，，求的值．
若将因式分解，所得结果中有一个因式为，试求常数的值．
16.本小题分
我们可以用几何图形来解释一些代数问题．
图可以用来解释；
图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，可以用来解释．
请构图解释：；
请通过构图解释因式分解：．
17.本小题分
两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成，江江同学因看错了常数项而分解成，通过以上信息，求原多项式因式分解的结果．
18.本小题分
完成下面各题：
若二次三项式可分解为，则 ______；
若二次三项式可分解为，则 ______； ______；
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
19.本小题分
阅读理解：
阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得
所以，另一个因式是， 的值是．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
20.本小题分
阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
上述式子中 ______， ______；
对于一元多项式，必定有______；
请你用“试根法”分解因式：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
可以分解为，
，，
，，
，
故选D．
先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可．
本题考查了因式分解的定义的应用，关键是能根据已知得出关于、的方程组．
2.【答案】
【解析】【分析】
解：因式分解与整式乘法是互逆的关系．
甲错误，乙正确．
【解答】
此题考查因式分解的意义根据因式分解意义解答。
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的意义是解题关键．直接利用因式分解的定义进而判断得出即可．
【解答】
解：这个式子是整式的加减，故此选项错误；
B.这个式子不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误；
C.这个等式的右边分母中有字母，不是整式，故不是因式分解，此选项错误；
D.这个式子是因式分解，故此选项正确；
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义即可解答．
【解答】
解：、未化成整式乘积的形式，
是整式的乘法运算，
只有D正确．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系，属基础题．
根据题意把展开后，利用待定系数法即可求出、的值．
【解答】
解：，
，
因此，，．
故选 A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的概念，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．
根据，可得，，据此可得、的值，再代入计算即可．
【解答】
解：，
因为，
所以，，
所以，，
解得：，，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式分解因式的方法．解题的关键是准确选择因式分解的方法，还要注意分解要彻底．
根据完全平方公式求解即可．
【解答】
解：．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，因式分解法等．
根据因式分解的方法逐个判断即可．
【解答】
解：、，能分解因式，故本选项符合题意；
B、不能分解因式，故本选项不符合题意；
C、不能分解因式，故本选项不符合题意；
D、不能分解因式，故本选项不符合题意；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解的定义，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】
解：是单项式乘多项式乘法，故选项错误；
B.把一个多项式分解成了两个因式乘积的形式，故选项正确；
C.右边不是积的形式，，故选项错误；
D.右边不是积的形式，故选项错误．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是因式分解的概念有关知识，利用因式分解的定义进行判断即可．
【解答】
解：属于整式乘法，不符合题意；
B.属于因式分解，符合题意；
C.不属于因式分解，不符合题意；
D.不属于因式分解，不符合题意．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：可以分成：，，，，，，
而，，，，，，
因为，
所以．
故答案为：．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知，．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】【小题】
．
【小题】
因为，所以，即因为，所以原式．
【小题】
设另一个因式为则所以，，解得．

【解析】 见答案
见答案
见答案
16.【答案】【小题】
构图方法不唯一，如：
【小题】
所以可得．

【解析】 见答案
见答案
17.【答案】因为，，
所以原多项式为，因式分解后为．

【解析】见答案
18.【答案】
【解析】解：，
，
解得：；
故答案为：；
，
，，
，；
故答案为：，；
设另一个因式为，得，
则，，
解得：，，
故另一个因式为，的值为．
将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值；
展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值；
设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．
19.【答案】解：设另一个因式是，
根据题意，得．
展开，得．
所以，，解得：，
所以，另一个因式是，的值是．
【解析】直接利用材料中的方法，假设出另一个因式是，求出答案即可．
此题主要考查了因式分解的意义及多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：，
，，
，．
故答案为：；．
多项式，奇次项系数之和为，，偶次项系数之和为．
根据题意若，则，
故答案为：．
“试根法”分解因式：．
由可知因式分解后必有因式，
设，
等式右侧，
，，
，
将等式右侧整理合并，利用恒等式对应系数相等解出即可；
计算出奇次项系数之和和偶次项系数之和，继而可得结果；
根据试根法进行运算即可．
本题考查了因式分解，理解题意，搞清楚代数式值为零时字母的值是解答本题的关键．
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