济宁市实验中学 2022 级高二下学期开学考 ∵ an 0，∴ an an 1 3,n 2，∴ an 是以首项为 4，公差为 3的一个等差数列，…………………………5 分
数学试题参考答案 ∴ an 3n 1；………………………………………………………………………………………………………6 分
ABCAD BBC 9.BC 10.ABD 11.AD 12.BD. 13. 5 14. 0.91 15. 60 16. 6
b 1 1 1 1
l 4x 3y 5 0 k 4 （2）解：由（1）可得 n 3n ，…………………………………………8 分17.（1）由直线 1： ，可得斜率 1 ， 1 3n 4 3 3n 1 3n 4 3
3
因为 l1 l2，所以直线 l2的斜率为 k2 ，…………………………………………………………………………3分 bn 4 数列 的前 n项和：
又因为直线 l 过点 1,1 ，所以直线 l 3的方程为 y 1 (x 1)， Tn = b1 b
1 1 1 1 1
b 1 1 1 1 1 1 12 n
n
2 2 4 3 4 7 7 10
3 n 1 3 n 4 3
4 3 n 4 12 9 n 12 ． 12n 16
3x 4y 1 0 …………………………………………………………………………………………………………………………12 分即 ．………………………………………………………………………………………………………5分
20.（1）证明：因为在图 1中DE AB，沿着DE将 ADE折起，
（2）由圆C： x2 y 4 2 25，可得圆心C 0,4 ，半径 r 5，
所以在图 2中有 DE AE ，DE BE，…………………………………………………………………………1 分
C l 3x 4y 1 0 d | 4 4 1|则圆心 到直线 ： 的距离为 3，……………………………………………7分 又 AE BE E，所以DE 平面 ABE，………………………………………………………………………3 分1
32 42
又因为DE 平面 BCDE，所以平面 ABE 平面 BCDE；…………………………………………………4 分
又由圆的弦长公式，可得弦长 | AB | 2 r 2 d 2 2 25 9 8 ．……………………………………………10分 （2）解：由（1）知， DE AE ，DE BE，
所以 AEB是二面角 A DE B的平面角，所以 AEB 60 ，………………………………………………6 分
18.（1）由题可得，男生优秀人数为100 0.01 0.02 10 30人，……………………………………………2 分 又因为 AE BE，所以 ABE是等边三角形，
女生优秀人数为100 0.015 0.03 10 45人；…………………………………………………………………4 分 连接CE，在图 1中，因为 C 90 ， BC 3， AC 3，所以 EBC 60 ， AB 2 3
5 1
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ， 因为 E是 AB的中点，所以 ，所以 BCE是等边三角形.30 45 15 BE BC 3
1 1
所以样本中包含男生人数为30 2人，女生人数为 45 3人．…………………………………………6 分 取 BE 的中点O，连接 AO，CO，则 AO BE，CO BE，
15 15
因为平面 ABE 平面 BCDE，平面 ABE 平面 BCDE BE，
设两名男生为 A1， A2，三名女生为 B1， B2 B3．则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：
所以 AO 平面 BCDE，所以OB，OC，OA两两垂直，
A1, A2 ， A1,B1 ， A1,B2 ， A1,B3 ， A2 ,B1 ， A2 ,B2 ， A2 ,B3 ， B1,B2 ， B1,B3 ， B2 ,B3 共 10 个，
以O为原点，OB，OC，OA为 x， y， z轴建系，如图所示.………………………………………………8 分
……………………………………………………………………………………………………………………………8 分
记事件C：“选取的 2 人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有：
A1, A2 ， A1,B1 ， A1,B2 ， A1,B3 ， A2 ,B1 ， A2 ,B2 ， A2 ,B3 共 7 个．……………………………………10 分
7
所以 P C ．………………………………………………………………………………………………………12 分
10
2
19.（1）解：①当 n 1时， a1 3a1 6s1 4 6a1 4，又 an 0，∴ a1 4，………………………………2 分
②当 n 2时，由6Sn 4 a
2
n 3an，可得6Sn 1 4 a
2
n 1 3an 1
2 2 3 3 3 3
两式相减得： 6an an an 1 3an 3an 1，整理得 an an 1 an an 1 3 0， A 0,0, ， B 2
,0,0 ，C 0, ,0 ，D ,1,0
2 2 2
{#{QQABIYqEogCIABJAAAgCQwU4CAMQkAEAAAoOREAIoAABCRFABAA=}#}
3 3 3 3
所以 AB ,0, ， AC
3 3 x ty 1
0, , ， AD ,1,
（2）由（1）可知，设直线 AF 的方程为 .
2 2 2 2 2 2
x ty 1
由 消去 x2 2 并整理得 2t 2 3 y2 4ty 4 0 .…………………………………………………………5 分 3 3 2x 3y 6
n AB 0, x z 0,
设平面 ABC 的法向量为 n x, y, z ，则 2 2即
n AC 0, 3 3 设 A x1, y1 ，C x2 , y2 ，
y z 0. 2 2
y y 4t y y 4 则 1 2 2t 2
，
3 1 2
2 ，………………………………………………………………………………6 分
取 z 1 2t 3，得平面 ABC的一个法向量为 n 3,1,1 ，…………………………………………………………10 分
4t 2y y y y 2 4y y 16 4 3 t
2 1
3 3 所以 1 2 1 2 1 2 .…………………………………8 分2t 2 3 2t 2 3 2t 2 3
所以
3 1 1 1
n 2 2 cos AD,n A D 5 .………………………………………11 分
n AD 5 2 5 S 1 OF y y 2 3 t
2 1 1 S 2 6因此 ，…………………………………………………10 分△AOC 2 1 2 2t 2 3 2 △ABC 5
设直线 AD与平面 ABC所成角为 ，则 sin 5 .…………………………………………………………12 分
5 解得 t 2 1，即 t 1，…………………………………………………………………………………………11 分
21.（1） 2Sn 3an 1 n N* ，又 2Sn 1 3an 1 1 n 2 ， 所以直线 AF 的方程为 x y 1 0或 x y 1 0 .…………………………………………………………12 分
a
两式相减得 2a nn 3an 3an 1，即 3a ，故数列 an 是以 3为公比的等比数列，n 1
n 1 2S 2a 3a 1 a 1 a 3n 1又当 时， 1 1 1 ，得 1 ， n ，………………………………………………3 分
b b b1 3a1 3
4
，b 3 13 a2 4 3 4 7 ， 等差数列 bn 的公差为 2， bn 2n 1…………6 分3 1 2
c 2n 1（2）由（1）可得 n n ，…………………………………………………………………………………………7 分3
T 3 5 7 2n 1 2n 1n 2 3 n 1 n ，…………………………………………………………………………………8 分3 3 3 3 3
1T 3 5 7 2n 1 2n 1 n 2 3 4 n n 1 …………………………………………………………………………………9 分3 3 3 3 3 3
1 1 1
2T 3 2 2 2 2n 1 1
n 2n 1 4 2n 4
上两式相减得 n 2 3
3 3
n n 1 2 n 1 n 1 ，…………………………11 分3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3
3
T 2 n 2n n ………………………………………………………………………………………………………12 分3
22.（1）设椭圆 E的半焦距为 c c 0 .因为椭圆 E的左顶点为 3,0 ，所以 a 3 .………………………1 分
c 3
又离心率 e ，所以 c 1 .所以b2 a2 c2 2，……………………………………………………3 分
a 3
2 2
所以 E x y的方程为 1.………………………………………………………………………………………4 分
3 2
{#{QQABIYqEogCIABJAAAgCQwU4CAMQkAEAAAoOREAIoAABCRFABAA=}#}济宁市实验中学 2022 级高二下学期开学考 A. 545 B. 547 C. 549 D. 551
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
数学试题 2024.2.25
得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
一、单选题：本题共 8题，每题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
9. 关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
1. 已知直线 l的方程为 y x 1，则直线 l的倾斜角为（ ） 2
A. 某同学投篮 3次，命中 2次，则该同学每次投篮命中的概率为
3
A． 45 B．90 C．120 D．135
B. 小明抛掷 10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为 0.4979；小华抛掷 24000次硬币，得到硬币正面向上的频率
2. 过点(-1,2)且与直线 2x 3y 4 0垂直的直线方程为（ ）
为 0.5005．如果某同学抛掷 36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于 0.5005
A. 3x 2y 7 0 B. 3x 2y 1 0 C. 将一颗质地均匀的骰子抛掷 6000次，则掷出的点数大于 2的次数大约为 4000次
2x 3y 5 0 2x 3y 8 0 D. 某类种子发芽的概率为 0.903，若抽取 2000粒种子试种，则一定会有 1806粒种子发芽C. D.
x2 y2
3. 若直线 ax + by -1= 0与圆C : x2 y2 1相离，则过点 P a,b 的直线与圆C的位置关系是（ ） 10. 已知椭圆 E : 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F ,F ，与 y轴正半轴交于点 B，下列选项中给出的条a2 b2 1 2
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 件，能够求出椭圆 E标准方程的选项是（ ）
4. 已知在空间四边形 ABCD中，CG
1
CD，则
2 BD BC 2AB
（ ） A. a 2,c 1 B. 1已知椭圆 E的离心率为 2 ，短轴长为 2
1
A. 2AG B. 2GC C. 2BC D. BC2 C. △BF1F
1
2 是等边三角形，且椭圆 E的离心率为 2 D. 设椭圆 E的焦距为 4，点 B在圆 (x c)
2 y 2 9 上
a 1 1 11. 2n 1 *5. 数列 a 满足 n 1 ，且 a 2，则 的值为（ ） 已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1 1,anan 1 2 n N ，则下列说法正确的是（ ）n a 1 an 2024
1 A. 数列 an 的偶数项成等比数列 B. 数列 an 的奇数项成等差数列
A. 1 B. 1 C. 2 D.
2
x y an 1
6. 直线 1与 x轴， y轴分别交于点 A,B，以线段 AB为直径的圆的方程为（ ） C. S3 12 D. 24 2 an
A. x2 y2 4x 2y 3 0 B. x2 y2 4x 2y 0 12. 如图，若正方体的棱长为 1，点 M是正方体 ABCD EFGH 的侧面 ADHE上的一个动点（含边界），P是棱
x2 y2 4x 2y 3 0 x2 y2 2x 4y 0 上CG 靠近 G点的三等分点，则下列结论正确的有（ ）C. D.
7. 甲 乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲
1
队每局获胜的概率为 ，则甲队获得冠军的概率为（ ）
3
4 5 2 7
A. B. C. D.
9 9 3 9
8. 观察下面数阵，
A. 2 10沿正方体的表面从点 A到点 P的最短路程为 B. 保持 PM 与BH 垂直时，M的运动轨迹是线段
1 3
3 5 13 2
7 9 11 13 C. 若保持 PM ，则点 M在侧面 ADHE内运动路径长度为 π3 9
15 17 19 21 23 25 27 29
D. 当 M在 D点时，三棱锥 B MEP的体积取到最大值
则该数阵中第 9行，从左往右数的第 20个数是（ ）
{#{QQABIYqEogCIABJAAAgCQwU4CAMQkAEAAAoOREAIoAABCRFABAA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 19. （12 分） Sn为数列 an 的前 n项和，已知 an 0，6Sn 4 a 2n 3an．
13. 已知向量 a 1,1, x ，b 1,2,1 ， c 1,2,3 满足 c a b 0，则 x ______．
（1）求 an 的通项公式；
14. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时
b 1
间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为________. （2）设 n b n Ta ，求数列 n 的前 项和 n ．nan 1
20. （12 分）如图 1，在 ABC中， C 90 ，BC 3，AC 3，E是 AB的中点，D在 AC上，DE AB .
15. 记 Sn为等比数列 an 的前 n项和.若 S4 4,S8 12，则 S16 __________. 沿着DE将 ADE折起，得到几何体 A BCDE，如图 2
x2 y2
16. 已知椭圆C : 1(a b 0)，C 1的上顶点为 A，两个焦点为F1，F2，离心率为 ．过 F1且垂直于 AFa2 b2 2 2
的直线与C交于D， E两点， ADE的周长是 13，则 DE _____．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线 l1： 4x 3y 5 0与 l2垂直，且 l2经过点 1,1 ．
（1）求 l2的方程; （1）证明：平面 ABE 平面 BCDE；
（2）若 l 与圆C： x2 y 4 2 25相交于 A， B两点，求 AB ． （2）若二面角 A DE B的大小为60 ，求直线 AD与平面 ABC所成角的正弦值.2
21. （12 *分）若数列 an 的前 n项和为 Sn，且 2Sn 3an 1 n N ，等差数列 bn 满足 b1 3a1 ， b3 a2 4 .
18.（12 分）某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取 100 名学
（1）求数列 an ， bn 的通项公式；
生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.
bn
（2）设 cn 3a ，求数列 cn 的前 n项和Tn .n
E x
2 y2
22. （12 3分）已知椭圆 ：
2 2 1 a b 0 的左焦点为 F ，左顶点为 3,0 ，离心率为 .a b 3
（1）求E的方程；
（2）若过坐标原点O且斜率为 k k 0 的直线 l与 E交于 A，B两点，直线 AF与 E的另一个交点为C， ABC的
（1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至少有 1 名男生的概率． 4 6
面积为 ，求直线 AF 的方程.
5
{#{QQABIYqEogCIABJAAAgCQwU4CAMQkAEAAAoOREAIoAABCRFABAA=}#}
