北京市陈经纶中学2023-2024学年高三下学期2月阶段性诊断
数学
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若集合，，则（ ） D
A．或 B．
C．或 D．或
2. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的点的坐标所在象限为（ ） B
A．一 B．二 C．三 D．四
3. 已知为单位向量，且的夹角为，，则（ ） D
A. B. C. D.
4. 已知函数,则函数的图象大致为（ ） A
A．B．C．D．
5. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） B
A. B. C. D.
6．在中，，则（ ） B
A． B． C． D．
7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ） A
A． B．
C． D．
8．若数列为等比数列，则“”是“”的（ ） C
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
9. 刘徽注《九章算术 商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.
在如图二所示由正方体得到的堑堵中，当点P在下列三个位置：中点、中点、中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
10. 对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时,都有；③当，且时，，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：，；．则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据“偏对称函数”的定义，逐项判断四个函数是否满足条件①②③，对于条件②可转化为函数在区间和上的单调性进行求解，根据奇偶性可判断函数的单调性，根据分段函数的性质及基本初等函数的单调性可判断的单调性，利用导数判断函数及函数是否满足条件②即可，对于条件③，通过构造函数，利用导数求解函数的单调性及最值，即可判断是否满足条件③.
【详解】解：由题可知，，故函数都满足条件①，
对于条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，，则，
故是奇函数，则在区间和上单调性相同，故不满足条件②，
因为，故在区间单调递减，在区间上单调递增，所以满足条件②，
因为当时，，所以不满足条件②，
因为，所以满足条件②，
对于，不妨设，则，，
令，则，
故在区间上单调递增，故，
所以，所以满足③，
对于，，在上递减，在上递增，
令，则，
所以在定义域上单调递增，故，
不妨设，则，
所以，即，所以满足③,
所以是“偏对称函数”.
故选：C.
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）
11. 设一组数据，则数据的平均值为__________，30%分位数为________. 11 5
12. 函数的最小值为__________.
13. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是__________.
14. 已知A，B是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是 ．（写出一个符合题意的方程）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可得线段的中点为，结合条件分类讨论可得.
【详解】由题知，抛物线的准线为：，
因为线段的中点到抛物线的准线的距离为5，
所以线段的中点为．
当斜率不存在时，符合题意；
当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，代入，
整理得，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
令，得直线的方程为，即．
故答案为：（答案不唯一）．
15．定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是 .
【答案】①③
【解析】根据已知中的新定义，，，其中，是与的夹角，结合平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，逐一判断四个命题的真假可得答案．
【详解】，，其中，是与的夹角，
若，，则，，
则，故正确；
②，则，夹角为，
则，故错误；
③若，则，故正确；
④若，，则，，
，
则，，故错误；
故真命题的序号为：①③
故答案为：①③
【点睛】本题以向量运算的新定义为载体，考查平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，难度为中档．
三、解答题（本题共6小题，满分85分）
16.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中点，平面，，，，，点为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
16.解：（Ⅰ）取的中点，连接，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形.
因为，，所以四边形是正方形，
则, ，所以，
得到，
所以. ……………1分
因为平面，
所以， ……………2分
因为，
所以平面. ……………3分
因为平面， ……………4分
平面平面. ……………5分
（Ⅱ）因为平面，
所以，，则两两垂直，
如图建立空间直角坐标系. ……………6分
则，，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
所以 所以 即 ……………8分
令，则，
所以平面的法向量为， ……………9分
又因为平面的法向量， ……………10分
所以， ……………12分
由已知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. ……………13分
17.（本小题满分13分）
已知函数(，). 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①： 条件②：为偶函数
条件③：的最大值为1 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为
17. 解：（Ⅰ）.
选择条件①④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即. 所以.
因为，所以，即. 所以. ………7分
选择条件③④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即. 所以.
因为函数的最大值为1，所以，即. 所以……7分
（Ⅱ）.
因为在上单调递增，
所以.
所以.
所以函数在上的单调递增区间为和. ………13分
18.（本小题满分14分）
乒乓球运动在中国风靡，成为了中国的国球体育项目. 某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区活动. 活动共分3个批次进行，每批次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选. 已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验.
（Ⅰ）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（Ⅱ）第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？说明理由；
（Ⅲ）现在需要2名选手完成某项加赛，比赛方式为2名选手依次参赛，如果前一位选手不能获胜，则再派另一位选手. 若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且. 假设各人能否完成任务相互独立，则当派出选手的人员数目的数学期望达到最小时，直接写出A、两位选手的派遣顺序.
【答案】(1)
(2)最有可能是1人，理由见解析
(3)按照先A后的顺序所需人数期望最小.
【分析】（1）5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中被抽取到的概率为，然后用独立事件概率公式和事件和公式求解即可；
（2）用期望或概率判断即可；
（3）分别求出按先A后的顺序和先后A完成任务所需人员数目的数学期望，比较即可得出答案.
【详解】（1）5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“1号选手”恰有一次被抽取到的概率为.
【4分】
（2）第二次抽取到的没有比赛经验的选手人数最有可能是1人.
设表示第二次抽取到的无比赛经验的选手人数，可能的取值有0，1，2，
则有：，，
，
（法一）因为，
故第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人.
（法二）∵，
∴第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人. 【12分】
（3）按照先A后的顺序所需人数期望最小.
由题意：，
设表示先A后完成任务所需人员数目，则
1 2
，
设表示先后A完成任务所需人员数目，则
1 2
，
∵，
∴故按照先A后的顺序所需人数期望最小. 【14分】
19.（本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，.
求证：当时，有且仅有两个不同的零点.
19【详解】（1）.
当时，在上单调递减.
当时，在上，有，在上，有,
故在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减. 【6分】
（2）时，，
则.
令.
i.时，恒成立，
在上单调递增.
又，
存在一个零点，使.
ii.，
恒成立，
在上单调递减.
又，
.
存在零点，使.
，
.
在上单调递增，上单调递减.
又.
，
存在一个零点，使.
iii.，
恒成立.
在单调递减.
恒成立.
在没有零点.
综上所述，在只有两个零点. 【15分】
20.（本小题满分15分）
已知直线与椭圆相切，定点和原点的中点为椭圆右顶点.
（Ⅰ）求椭圆方程及离心率；
（Ⅱ）已知椭圆上第一象限内动点与第三象限内动点，定点，直线交于两点，若，求证：三点共线.
（Ⅰ）依题意，有：，，，解得，
故椭圆的标准方程为， 【5分】
（Ⅱ）法一：倾斜角互补
依题意，直线与轴不重合，设直线，
故
， 【8分】
因为，所以，即 【9分】
则 【10分】
即 【12分】
则，解得或 【13分】
当时，无法使分别位于一、三象限，不合题意，舍去；
故，，过定点，则三点共线. 【15分】
法二：角度化坐标
依题意，直线与轴不垂直，设直线，
故
， 【8分】
直线，取，有 【9分】
因为，所以
即，也即 【11分】
可化简为
则 【13分】
解得，此时，过定点，则三点共线.【15分】
【评标关键点】
第一问5分：方程4分，离心率1分；
第二问10分：
韦达部分3分—纵，，
横，，（判别式不写要扣分，不算不扣）
几何转化1分—倾斜角互补或正切值相等
韦达式推导3分—纵
横
代入运算与结果推导3分
纵：，解得，过定点
横：，解得或，舍，过定点
三点共线运算（1分，等价过定点）：欲证三点共线，即证共线，即证
纵与过定点等价；横与过定点等价北京市陈经纶中学2023-2024学年高三下学期2月阶段性诊断
数学
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
2. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的点的坐标所在象限为（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
3. 已知为单位向量，且的夹角为，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数,则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
9. 刘徽注《九章算术 商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.
在如图二所示由正方体得到的堑堵中，当点P在下列三个位置：中点、中点、中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10. 对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时,都有；③当，且时，，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；；．则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）
11. 设一组数据，则数据的平均值为__________，30%分位数为________.
12. 函数的最小值为__________.
13. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是__________.
14. 已知A，B是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是 ．（写出一个符合题意的方程）
15．定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是 .
三、解答题（本题共6小题，满分85分）
16.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中点，平面，，，，，点为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分13分）
已知函数(，). 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①： 条件②：为偶函数
条件③：的最大值为1 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为
18.（本小题满分14分）
乒乓球运动在中国风靡，成为了中国的国球体育项目. 某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区活动. 活动共分3个批次进行，每批次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选. 已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验.
（Ⅰ）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（Ⅱ）第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？说明理由；
（Ⅲ）现在需要2名选手完成某项加赛，比赛方式为2名选手依次参赛，如果前一位选手不能获胜，则再派另一位选手. 若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且. 假设各人能否完成任务相互独立，则当派出选手的人员数目的数学期望达到最小时，直接写出A、两位选手的派遣顺序.
19.（本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，.
求证：当时，有且仅有两个不同的零点.
20.（本小题满分15分）
已知直线与椭圆相切，定点和原点的中点为椭圆右顶点.
（Ⅰ）求椭圆方程及离心率；
（Ⅱ）已知椭圆上第一象限内动点与第三象限内动点，定点，直线交于两点，若，求证：三点共线.
21.（本小题满分15分）
