颐华高级中学2023-2024学年高二下学期入学考试
答案解析
D
D
B
A
D
C
D
B
BCD
ABC
AD
ABC
16.
17.（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
即，
因为，所以，
又易知，所以，
因为，所以．
因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
故周长的取值范围是．
19.
20.(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，勾股定理逆定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式计算即可．
【详解】（1）因为四边形为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
连接，则，
在中，，
所以，
因为，，平面，且，
从而平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
21.(1)
(2)
(3)直线过定点,证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；
（2）利用韦达定理运算求解即可；
（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.
【详解】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为,所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以,
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
22.（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．颐华高级中学2023-2024学年高二下学期入学考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
2.已知集合，,则A∪B=（ ）
B. C. D.
3.有4位教师在同一个年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
4.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是 （ ）
6.已知实数满足,,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于两点，抛物线在两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A.12 B.14 C.15 D.16
8.在三棱锥中，，，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9.关于曲线,下列叙述正确的是（ ）
A.当时，曲线表示的图形是一个圆
B.当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆
C.当时，曲线表示的图形是一个圆
D.当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆
10.在三角形ABC中，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列满足,则( )
A.为等比数列 B.的通项公式为
C.为递增数列 D.的前n项和
12.关于函数,,下列说法正确的是（ ）
A.若过点可以作曲线的两条切线，则
B.若在上恒成立，则实数的取值范围为
C.若在上恒成立，则
D.若函数有且只有一个零点，则实数的范围为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13.设等差数列的前项和分别为若，则
14.已知圆M：和点P，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为
15.在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若，则
16.已知函数有两个不同的极值点,且不等式
恒成立，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22题每小题12分，共计70分．请在答题卡指定区域作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
19.已知数列和等差数列满足且当时，
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和
20.如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．
(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
21.如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
22.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
