河北省邢台市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

邢台市2023-2024学年高一上学期期末考试
数学
说明：1．本试卷共4页，满分150分．
2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．使成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（ ）
A．1.519 B．1.726 C．1.316 D．1.609
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．集合，集合还可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．使“”成立的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B．或 C． D．
11．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．若，下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若，，且，则的最小值为______．
14．已知幕函数的图象经过点，，则______．
15．若、是关于的方程的两个根，则______．
16．已知函数，则______．不等式的解集是______．
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数．
（1）求常数的值；
（2）判断函数在上的单调性．
19．（本小题满分12分）
已知函数，且的最小正周期为．
（1）求函数的表达式；
（2）求的单调递减区间．
20．（本小题满分12分）
某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数；
（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21．（本小题满分12分）
已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
22．（本小题满分12分）
已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
邢台市2023-2024学年高一上学期期末考试数学参考答案：
1．D
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为空集是集合，所以，所以A错误，
对于B，因为0属于自然数，即，所以B错误，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D正确，
故选：D
2．D
【分析】解绝对值不等式，找到需要研究的命题，用逻辑的知识逐个选项分析求解即可.
【详解】，，
对于A选项，是充要条件，A错误
对于B选项，是充分不必要条件，B错误
对于C选项，是充分不必要条件，C错误
对于D选项，是必要不充分条件，D正确
故选：D
3．D
【分析】利用特值法及作差法判断.
【详解】对于A，取，则，此时，故A错误；
对于B，取，则，此时，故B错误；
对于C，取，则，此时，故C错误；
对于D，∵，且，∴，且，
则，即，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：B.
5．D【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：D
6．A
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
7．C
【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.
【详解】由题意知，则
，
故选：C
8．A
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
二．多选题全选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。
9．ABD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，符合；
选项B，，符合；
选项C，不符合；
选项D，，符合，
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以由推得出，由推不出，
即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
同理可得是的必要不充分条件；
所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，.
故选：AC
11．BCD
【分析】根据各选项给定函数的解析式直接判断即得.
【详解】函数，在上都为减函数，CD都是；
当时，，则函数在上为减函数，B是；
函数在上为增函数，A不是.
故选：BCD
12．ABC
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】A选项，，∴，不成立，
B选项，，不成立，
C选项， 由，∴，即，不成立，
D选项，∵，∴，成立，
故选：ABC.
13．6
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，则有，
解得（舍），或，
当且仅当时取得等号，
所以的最小值为6，
故答案为：6.
14．16
【分析】设幂函数为，则，解得，代入计算得到答案.
【详解】设幂函数为，则，解得，故，
故.
故答案为：.
15．
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16． 15
【分析】根据函数的解析式求得的值，即可求得；判断的单调性，从而将转化为，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得，所以，
当时，在上单调递增，且；
当时，在上单调递增，且，
故在R上单调递增，
故由可得，即，
解得，即的解集是，
故答案为：15，
17．（1）
（2）
【分析】（1）根据集合的交集运算求得答案；
（2）由，列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】（1）当时，，
.
（2），则，解得,
所以实数的取值范围为
18．（1）
（2）函数在上单调递增
【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意有恒成立，由此即可求出答案；
（2）设，由函数单调性的定义易知在单调递减，利用复合函数的单调性判断“同增异减”，则说明函数在上单调递增.
【详解】（1）∵函数为奇函数，
∴恒成立，即，
∴，
则，则恒成立，解得．
当时，，舍去；
当时，，满足题意．故．
（2）由（1）知，
设，任取，，且，
．
∵，∴，
又∵,，，
∴，∴函数在上单调递减．
又函数在上单调递减，∴函数在上单调递增．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式可得，，再根据周期公式可得，即得到的表达式；
（2）根据整体代换法，由即可解出减区间．
【详解】（1）
又函数的最小正周期为，所以，故，所以．
（2）由题意，得，
解得：，，
所以的单调递减区间是．
20．（1）
（2）
【分析】（1）根据运输成本由燃油费和的其他费用构成，即可列关系式，
（2）根据基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由题意得：，
即：
（2）由于，所以函数，
当且仅当，即时取等号（最小值）．
21．（1）
（2）
【分析】（1）应用同角三角函数关系求值再根据角的范围判断符号即可；
（2）先根据同角三角函数关系求值再应用诱导公式求值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即.
因为，则，所以，，
因为，所以.
（2）由解得，，
所以；
所以.
22．（1）
（2）
【分析】（1）由题意可知和1是方程的两个实数根，由韦达定理求的值；
（2）讨论是否为0，分别求得的范围，求并集即为的取值范围.
【详解】（1）若关于的不等式的解集为，
则和1是的两个实数根，且，
由韦达定理可得，解得.
（2）若关于的不等式解集为，
当时，不等式化为，恒成立，满足题意；
当时，则有，解得，
所以，即实数的取值范围为.