河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

辛集市2023—2024学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学试卷
注意事项：
1．考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，则的元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：（）的离心率为，直线与圆：相切，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
6．“数列，都是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知一组样本数据，，…，，其中（），由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C．，，…，样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称
C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称
11．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料．正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名．最简单的正多面体是正四面体．已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为60° B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为 D．四面体的内切球表面积为
12．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（ ）
A．圆锥底面圆的半径为
B．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为
C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为
D．该圆锥的内切球的表面积为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．从0，1，2，…，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有______种．（用数字作答）
14．已知正三棱台的各个顶点都在同一个直径为10的球面上，上底面边长为，下底面边长为，则该正三棱台的体积为______．
15．若函数（），在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数的取值范围是______．
16．已知点、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17．已知，，分别为内角，，的对边，且．
（1）求的值；
（2）若面积为，求边上的高的最大值．
18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上的动点（不与、重合），平面与棱交于点．
（1）求证；
（2）若平面平面，，判断是否存在点使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由．
19．已知数列（）的前项和为，若，．
（1）记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
（2）记，的前项和为，求．
20．哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格．高三学年派出甲和乙参赛．在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．
（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望．
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格．决赛的规则如下：将问题放入，两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题．决赛中要求每位参赛同学在，两个纸箱中随机抽取两题作答．甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目．已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率．
21．已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知圆的一条直径为，延长，分别交曲线于，两点，求四边形面积的最小值
22．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时．恒成立．
高三数学答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】AC
10【答案】BC
11．【答案】BCD
12．【答案】ABC
13【答案】42
14【答案】或
15【答案】
16【答案】
17．【详解】（1）∵，∴，
，，
∴，∵，∴．
（2）由面积为得：，而，∴
∵边上的高为，∴，则，
∵，∴，当且仅当时，取“=”，
即的最小值为2．此时最大为．
18．【详解】（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，
∴是等边三角形，
又∵O为AC中点，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
假设存在点D，满足题意，设，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，故，
设平面的法向量为
，，
，，令，则，，故，
，解，
所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，
由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点．
19．【详解】（1）因为，
当时，，又因为，所以
当时，因为，由，得①，所以②，
所以得：
，经验证，当时不等于，所以不是等差数列．
（2）由，得，两式相减得：
．所以当时：
数列（）是首项为，公差为6的等差数列；
数列（）是首项为，公差为6的等差数列．
当为偶数时，不妨设，则，
此时
因为，所以此时．
当为奇数时，不妨设，则，
此时
．
因为，所以此时
综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，．
20．【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，
的所有可能取值为，
，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以．
（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，
则，，，，，，
所以
． 甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为．
21．【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为．
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
，
令，，则，
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为， 由，得．
由，得， ∴，
同理可得：．
令， 则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
22．【详解】（1）的定义域是，，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得；令，解得，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增．
（2）要证，即证，，
①当时，，，该不等式恒成立；
②当时，，结合，得，
只需证明：，即证，
令，，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，问题得证，
即当时，恒成立．
综上所述，当时，恒成立．