山西省吕梁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题（含解析）

吕梁市2023-2024学年高二第一学期期末调研测试
数学试题
（本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认其核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆，则圆心和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正项等比数列满足，则（ ）
A．62 B．30或10 C．62或 D．30
4．若函数在处有极小值，则（ ）
A． B． C．或 D．
5．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
7．某工厂去年12月试产1060个高新电子产品，产品合格率为．从今年1月份开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，则今年4月份的不合格产品的数量是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设抛物线的焦点为，准线为．点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插人3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列是数列的前项和．以下说法正确的是（ ）
A． B．是数列的第8项
C．当时，最大 D．是公差为的等差数列
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的单调递减区间是
B．在点处的切线方程是
C．若方程只有一个解，则
D．设，若对，使得成立，则
12．已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若分别为的中点，则平面
B．平面平面
C．若，则的最小值为
D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则______．
14．已知数列的前项和为，若，则______．
15．已知函数，若成立，则的最小值为______．
16．已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
如图，平行六面体中，，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
18．（本题满分12分）
已知圆．
（1）求的取值范围；
（2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值．
19．（本题满分12分）
已知数列的首项，且满足．
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（本题满分12分）
已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为．
（1）求的标准方程；
（2）设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．
21．（本题满分12分）
如图，多面体由正四面体和正四面体组合而成，棱长为．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
2024年吕梁市高二年级期末数学参考答案
选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A B D B A
1.【解析】圆O的方程可化为.故选B.
2.【解析】由双曲线C:得渐近线方程为,即.故选C.
3.【解析】正项等比数列满足则,,故S5=62.故选A.
4.【解析】由得，，或
当时，由得，，或，由得，-2<，
所以在处有极大值.
当时，由得，，或，由得，，
所以在处有极小值，
故.故选A.
5.【解析】因为，，，所以=0在上各有一解，所以有两个零点,故选B.
6.【解析】取中点，则平面，所以，又
所以平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故选D.
7.【解析】由题知：1月份的产量为1060个，合格率是90%.
那么，2月份的产量为1060×1.06，合格率为90%+0.4%
3月份的产量为，合格率为90%+0.4%×2
则4月份的产量为，合格率为90%+0.4%×3=91.2%
则4月份的不合格数量是×（1-91.2%）=88.故选B.
8.【解析】由，得
令，所以.故选A.
选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AD BC BD BCD
9.【解析】由题意知焦点F（0,1），准线为y＝-1，则抛物线E：x2＝4y，得p＝2，故A正确；当线段AB过焦点F时，才有以线段AB为直径的圆与准线相切，故B错；由抛物线的定义得｜AF｜＋｜BF｜＝y1＋y2＋p＝8，所以y1＋y2＝6，当直线AB过原点时，设y1＝0，则y2＝6，所以A（0,0），B（±，6），此时｜AB｜＝2，当直线AB斜率为0时，|AB|=4，故C错；线段AB的中点M到x轴的距离为[(y1+y2)/2]＝3，故D正确.故选：AD.
10.【解析】由题可知,,所以,所以得n=8,故B正确;令0，得n,所以，取到最大值，故C正确.=,所以,公差为，故D错误.故选：BC.
11.【解析】函数，，，．，
可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，其大致图象如图：对于，由上述分析可得A错误；，由=，=,得=(x-),所以故B正确；对于C，由方程=只有一解，由图象可知，=e或<0，故C错误；对于D，设函数的值域为，
函数，的值域为，
，对，，．，，．若对，，使得成立，则．,故D正确,故选：BD
【解析】对于A，易知,若BD1平面MNP.则,而相交,故与不垂直,故A不正确；对于B，在正方体中,平面显然成立.故B正确；对于C，如图1，在AB上取点H，使得=,
图1图2图3图4
在CD上取点K，使得=,则由=+λ，即＝λ，故点O是线段HK上一点.将平面HKC1B1沿HK展开至与平面AHKD共面，此时AB1＝AH＋B1H＝3，当B1，O，D三点共线时（如图2），B1O＋OD取得最小值，故C正确；对于D，因为=λ+(1-λ（0≤λ≤1），所以＝λ，又0≤λ≤1，可知O是线段BD上一点，如图3，连接AC并与BD交于点Z．当O与D重合时，平面OAD1与平面ADD1A重合，此时截面面积为4．当O在线段DZ（不含点D）上时，平面OAD1截正方体所得截面为三角形，且当O与Z重合时，截面为ΔACD1，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为．当O在线段BZ（不含点B，Z）上时，如图4，延长AO并与BC交于点W，作WR平行于AD1并与CC1交于点R，则截面为等腰梯形AWRD1，设BW＝x(0三．填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.【解析】由与平行，则，所以
14.【解析】时，,
当n=1时，不满足上式。
15.【解析】令,则,
所以(n+1),
设,令，则,当时，，在单调递减，当时，在单调递增，所以.
16.【解析】连接A、B,根据椭圆的对称性可知四边形A为平行四边形，所以根据角平分线定理得：,所以,又，，又在中，由余弦定理得：,所以
四.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）
（2）
18.【解析】（1）因为方程表示圆，所以，
所以，
即的取值范围是；
（2）因为取最小正整数，所以，
所以，,圆心,半径，
又因为
所以取最小值时取最小值，而取最小值即为到直线的距离，
所以，
所以
【解析】（1）证明：
所以是以为首项，为公比的等比数列。
所以，所以
（2）因为，
所有
20.【解析】（1）依题意可得，，所以.
设，则，
又因为所以,
所以，
所以的标准方程为.
（4）因为F2（1，0）在直线上，设直线的方程：
联立整理得
,
由题可知:
当且仅当
即时，面积最大为,此时直线的方程是:
21【详解】（1）证明：取BC的中点D，连接AD,SD.正四面体PABC和正四面体SPBC中，,为等边三角形，所以,,
又=D,,,所以,
又
所以.
（2）如图，取中心O为坐标原点，过O作DB的平行线为x轴正方向，OD为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz,因为棱长是
所以A(0,-2,0),B(,1,0),C(,1,0),P(0,0,),取中心M,
则M（0，）,
,,
平面ABC的法向量，
设是直线PS与平面ABC所成的角
所以.
所以直线PS与平面ABC所成角的正弦值是
解：（1）定义域为
当0时，恒成立，所以的单调递减区间为)
当0时，令，则,的单调递增区间为)
令，则,的单调递减区间为)
综上：当0时，的单调递减区间为)，无增区间.
当0时，的单调递增区间为)，的单调递减区间为)
（2）对恒成立.
对恒成立.··········6分
令
令,则,
又由得,所以在)上单调递减，
又,所以,所以在)上单调递减，
所以令，则,的单调递增区间为)
令，则,的单调递减区间为)
所以.所以