山西省吕梁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题(含解析)

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名称 山西省吕梁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题(含解析)
格式 docx
文件大小 791.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-02-27 13:02:14

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文档简介

吕梁市2023-2024学年高二第一学期期末调研测试
数学试题
(本试题满分150分,考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认其核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知圆,则圆心和半径分别为( )
A. B.
C. D.
2.双曲线,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列满足,则( )
A.62 B.30或10 C.62或 D.30
4.若函数在处有极小值,则( )
A. B. C.或 D.
5.函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,正三棱柱的各棱长相等,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
7.某工厂去年12月试产1060个高新电子产品,产品合格率为.从今年1月份开始,工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产,以后每月的产量都在前一个月的基础上提高,产品合格率比前一个月增加,则今年4月份的不合格产品的数量是( )
A. B. C. D.
8.若,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设抛物线的焦点为,准线为.点是抛物线上不同的两点,且,则( )
A. B.以线段为直径的圆必与准线相切
C.线段的长为定值 D.线段的中点到轴的距离为定值
10.已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插人3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列是数列的前项和.以下说法正确的是( )
A. B.是数列的第8项
C.当时,最大 D.是公差为的等差数列
11.已知函数,下列说法正确的是( )
A.的单调递减区间是
B.在点处的切线方程是
C.若方程只有一个解,则
D.设,若对,使得成立,则
12.已知正方体的棱长为是空间中的一动点,下列结论正确的是( )
A.若分别为的中点,则平面
B.平面平面
C.若,则的最小值为
D.若,则平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若直线与直线平行,则______.
14.已知数列的前项和为,若,则______.
15.已知函数,若成立,则的最小值为______.
16.已知是椭圆的左、右焦点,直线与椭圆相交于两点,的平分线交于点,且,则椭圆的离心率为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
如图,平行六面体中,,.
(1)用向量表示向量,并求;
(2)求.
18.(本题满分12分)
已知圆.
(1)求的取值范围;
(2)当取最小正整数时,若点为直线上的动点,过作圆的一条切线,切点为,求线段的最小值.
19.(本题满分12分)
已知数列的首项,且满足.
(1)求证:是等比数列,并求出的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
20.(本题满分12分)
已知椭圆的左右顶点分别为,长轴长为,点在椭圆上(不与重合),且,左右焦点分别为.
(1)求的标准方程;
(2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点,当的面积最大时,求直线的方程.
21.(本题满分12分)
如图,多面体由正四面体和正四面体组合而成,棱长为.
(1)证明:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
22.(本题满分12分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
2024年吕梁市高二年级期末数学参考答案
选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A B D B A
1.【解析】圆O的方程可化为.故选B.
2.【解析】由双曲线C:得渐近线方程为,即.故选C.
3.【解析】正项等比数列满足则,,故S5=62.故选A.
4.【解析】由得,,或
当时,由得,,或,由得,-2<,
所以在处有极大值.
当时,由得,,或,由得,,
所以在处有极小值,
故.故选A.
5.【解析】因为,,,所以=0在上各有一解,所以有两个零点,故选B.
6.【解析】取中点,则平面,所以,又
所以平面,所以,所以异面直线与所成的角为.故选D.
7.【解析】由题知:1月份的产量为1060个,合格率是90%.
那么,2月份的产量为1060×1.06,合格率为90%+0.4%
3月份的产量为,合格率为90%+0.4%×2
则4月份的产量为,合格率为90%+0.4%×3=91.2%
则4月份的不合格数量是×(1-91.2%)=88.故选B.
8.【解析】由,得
令,所以.故选A.
选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AD BC BD BCD
9.【解析】由题意知焦点F(0,1),准线为y=-1,则抛物线E:x2=4y,得p=2,故A正确;当线段AB过焦点F时,才有以线段AB为直径的圆与准线相切,故B错;由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+p=8,所以y1+y2=6,当直线AB过原点时,设y1=0,则y2=6,所以A(0,0),B(±,6),此时|AB|=2,当直线AB斜率为0时,|AB|=4,故C错;线段AB的中点M到x轴的距离为[(y1+y2)/2]=3,故D正确.故选:AD.
10.【解析】由题可知,,所以,所以得n=8,故B正确;令0,得n,所以,取到最大值,故C正确.=,所以,公差为,故D错误.故选:BC.
11.【解析】函数,,,.,
可得函数在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,其大致图象如图:对于,由上述分析可得A错误;,由=,=,得=(x-),所以故B正确;对于C,由方程=只有一解,由图象可知,=e或<0,故C错误;对于D,设函数的值域为,
函数,的值域为,
,对,,.,,.若对,,使得成立,则.,故D正确,故选:BD
【解析】对于A,易知,若BD1平面MNP.则,而相交,故与不垂直,故A不正确;对于B,在正方体中,平面显然成立.故B正确;对于C,如图1,在AB上取点H,使得=,
图1图2图3图4
在CD上取点K,使得=,则由=+λ,即=λ,故点O是线段HK上一点.将平面HKC1B1沿HK展开至与平面AHKD共面,此时AB1=AH+B1H=3,当B1,O,D三点共线时(如图2),B1O+OD取得最小值,故C正确;对于D,因为=λ+(1-λ(0≤λ≤1),所以=λ,又0≤λ≤1,可知O是线段BD上一点,如图3,连接AC并与BD交于点Z.当O与D重合时,平面OAD1与平面ADD1A重合,此时截面面积为4.当O在线段DZ(不含点D)上时,平面OAD1截正方体所得截面为三角形,且当O与Z重合时,截面为ΔACD1,此时截面面积最大,由三边长均为,故此时截面面积最大值为.当O在线段BZ(不含点B,Z)上时,如图4,延长AO并与BC交于点W,作WR平行于AD1并与CC1交于点R,则截面为等腰梯形AWRD1,设BW=x(0三.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.【解析】由与平行,则,所以
14.【解析】时,,
当n=1时,不满足上式。
15.【解析】令,则,
所以(n+1),
设,令,则,当时,,在单调递减,当时,在单调递增,所以.
16.【解析】连接A、B,根据椭圆的对称性可知四边形A为平行四边形,所以根据角平分线定理得:,所以,又,,又在中,由余弦定理得:,所以
四.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】
(1)
(2)
18.【解析】(1)因为方程表示圆,所以,
所以,
即的取值范围是;
(2)因为取最小正整数,所以,
所以,,圆心,半径,
又因为
所以取最小值时取最小值,而取最小值即为到直线的距离,
所以,
所以
【解析】(1)证明:
所以是以为首项,为公比的等比数列。
所以,所以
(2)因为,
所有
20.【解析】(1)依题意可得,,所以.
设,则,
又因为所以,
所以,
所以的标准方程为.
(4)因为F2(1,0)在直线上,设直线的方程:
联立整理得
,
由题可知:
当且仅当
即时,面积最大为,此时直线的方程是:
21【详解】(1)证明:取BC的中点D,连接AD,SD.正四面体PABC和正四面体SPBC中,,为等边三角形,所以,,
又=D,,,所以,

所以.
(2)如图,取中心O为坐标原点,过O作DB的平行线为x轴正方向,OD为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz,因为棱长是
所以A(0,-2,0),B(,1,0),C(,1,0),P(0,0,),取中心M,
则M(0,),
,,
平面ABC的法向量,
设是直线PS与平面ABC所成的角
所以.
所以直线PS与平面ABC所成角的正弦值是
解:(1)定义域为
当0时,恒成立,所以的单调递减区间为)
当0时,令,则,的单调递增区间为)
令,则,的单调递减区间为)
综上:当0时,的单调递减区间为),无增区间.
当0时,的单调递增区间为),的单调递减区间为)
(2)对恒成立.
对恒成立.··········6分

令,则,
又由得,所以在)上单调递减,
又,所以,所以在)上单调递减,
所以令,则,的单调递增区间为)
令,则,的单调递减区间为)
所以.所以
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