第5章一元函数的导数及其应用 章末过关检测（含答案）--高中数学选择性必修二人教A版（2019）

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章末过关检测(二)　一元函数的导数及其应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝x2－3x，则f′(1)＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　)
　　
4．已知曲线f(x)＝(x＋a)ex在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．－2e B．2e C．－ D．
5．已知y＝x－1与曲线y＝ln (x－a)相切，则a的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．已知a为函数f(x)＝x3－4x2－3x－5的极大值点，则a＝(　　)
A．3 B．－ C．－23 D．－
7．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b>a>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
8．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)<0，则(　　)
A．2f(3)>3f(2) B．2f(3)<3f(2) C．3f(3)>2f(2) D．3f(3)<2f(2)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列求导运算正确的是(　　)
A．若f(x)＝sin (2x－1)，则f′(x)＝2cos (2x－1)
B．若f(x)＝e－0.05x＋1，则f′(x)＝e－0.05x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A.函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极小值
D．函数f(x)只有一个极值点
11．设b为实数，直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2＋4ln x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ex
12．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则(　　)
A．当a＝1时，f(x)的极小值为f(0)
B．当a＝－1时，函数f(x)有一个极值点
C．当a≤0时，零点个数为1个
D．当a>0时，零点个数为2个
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若函数f(x)满足f(x)＝4ln x－xf′(2)，则f′(2)＝____________．
14．曲线f(x)＝x2cos x在x＝处的切线斜率为____________．
15．同时满足性质：①f(x)－f(－x)＝0；②f(xy)＝f(x)f(y)；③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0的函数f(x)的一个解析式为____________．
16．已知函数f(x)＝ex2－aex有三个零点，则实数a的取值范围是____________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋x2.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－1处取得极小值．
(1)求c的值；
(2)求f(x)在区间[－4，0]上的最值．
19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋4x2的图象经过点A(1，5).
(1)求曲线y＝f(x)在点A处的切线方程；
(2)曲线y＝f(x)是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax＋1(a∈R)，在x＝0处切线的斜率为－2.
(1)求a的值及f(x)的极小值；
(2)讨论方程f(x)＝m(m∈R)的实数解的个数．
21．(12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋1.
(1)求a，b；
(2)证明：f′(x)≥1－e－1.
22．(12分)现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y元表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？
章末过关检测(二)　一元函数的导数及其应用
1．解析：由题意得，f′(x)＝2x－3，
故f′(1)＝2－3＝－1.
故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x)＝(x－1)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，
令f′(x)<0 ，即xex<0 ，解得x<0，
∴f(x) 的单调递减区间为(－∞，0).
故选A.
答案：A
3．解析：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD；
又C选项，递减区间斜率不变，故排除．
故选B.
答案：B
4．解析：由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝ex＋(a＋x)ex＝(x＋a＋1)ex，则f′(－1)＝，因为曲线f(x)＝(x＋a)ex，
在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以＝，故a＝.
故选D.
答案：D
5．解析：由题意，设切点为(x0，x0－1)，所以x0－1＝ln (x0－a)，y′＝，所以＝1 x0－a＝1，所以x0－1＝0 x0＝1，则ln (1－a)＝0 a＝0.
故选B.
答案：B
6．解析：因为f(x)＝x3－4x2－3x－5，
所以f′(x)＝3x2－8x－3＝(3x＋1)(x－3)，
所以当x>3或x<－时f′(x)>0，当－所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－，3)，
所以f(x)的极大值点为x＝－，即a＝－.
故选B.
答案：B
7．解析：设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，
当00，f(x)递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)递减，
当x＝e时，函数取得最大值，
由于e<3<8 ，故>>，即b>a>c.
故选A.
答案：A
8．解析：构造函数g(x)＝(x≠0)，
∵函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)<0，
∴g′(x)＝>0，
∴x>0时，函数g(x)单调递增，
∴g(3)>g(2)，
即<，即3f(2)<2f(3).
故选A.
答案：A
9．解析：A，因为f(x)＝sin (2x－1)，所以f′(x)＝2cos (2x－1)，故正确；
B，因为f(x)＝e－0.05x＋1，所以f′(x)＝－0.05e－0.05x＋1，故错误；
C，因为f(x)＝，所以f′(x)＝，故错误；
D，因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1，故正确．
故选AD.
答案：AD
10．解析：由导函数f′(x)的图象可知，当x>2时，f′(x)<0；当x<2时，f′(x)≥0，
即函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数f(x)在x＝2出取得极大值．
故选BD.
答案：BD
11．解析：因为直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，
所以f′(x)＝3有解，
对于A，由f(x)＝－，得f′(x)＝，由f′(x)＝3，得＝3，解得x＝±，
所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝－的切线，所以A正确；
对于B，由f(x)＝x2＋4ln x，得f′(x)＝x＋(x>0)，由f′(x)＝3，得x＋＝3，
化简得x2－3x＋4＝0，因为Δ＝(－3)2－4×4<0，所以方程无解，所以直线y＝3x＋b不能作为曲线f(x)＝x2＋4ln x的切线，所以B错误；
对于C，由f(x)＝x3，得f′(x)＝3x2，由f′(x)＝3，得3x2＝3，解得x＝±1，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝x3的切线，所以C正确；
对于D，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，由f′(x)＝3，得ex＝3，解得x＝ln 3，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝ex的切线，所以D正确．
故选ACD.
答案：ACD
12．解析：由题意，函数f(x)＝xex－ax－1，可得f′(x)＝(x＋1)ex－a，
当a＝1时，f′(x)＝(x＋1)ex－1，且f′(0)＝0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)，所以A正确；
当a＝－1时，f′(x)＝(x＋1)ex＋1，
令g(x)＝(x＋1)ex＋1，可得g′(x)＝(x＋2)ex，
当x<－2时，g′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>－2时，g′(x)>0，f(x)单调递增，
又由g(－2)＝－e－2＋1>0，所以g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增，
所以f(x)没有极值点，所以B错误；
由函数f(x)＝xex－ax－1，则f(0)＝－1，所以0不是f(x)的零点，
令f(x)＝0，即xex－ax－1＝0，所以a＝ex－，
所以函数f(x)的零点，即为函数y＝a与h(x)＝ex－的交点横坐标，
又由h′(x)＝ex＋>0，可得函数h(x)单调递增，
当x<0时，h(x)>0；当x→0时，h(x)→－∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞；
在直角坐标系中画出函数y＝a与h(x)＝ex－的图象，
结合图象得：当a≤0时，函数f(x)有一个零点，这个零点为正数；
当a>0时，函数f(x)有两个零点，其中一个是正数一个是负数．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：∵f(x)＝4ln x－xf′(2)，
∴f′(x)＝－f′(2)，
令x＝2，则f′(2)＝－f′(2)，
∴f′(2)＝1.
答案：1
14．解析：因为函数f(x)＝x2cos x的导数为f′(x)＝2x cos x－x2sin x，
所以可得在x＝处的切线斜率k＝f′()＝2×cos －()2sin ＝－.
答案：－
15．解析：由①f(x)－f(－x)＝0，即f(x)＝f(－x)，则f(x)是偶函数，
由②f(xy)＝f(x)f(y)，可得f(x)可以是幂的形式，
由③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0可得f(x)在(0，＋∞)单调递减，
综上，可得f(x)的一个解析式可以为f(x)＝－x2.
答案：f(x)＝－x2(答案不唯一)
16．解析：由ex2－aex＝0，得a＝x2e1－x.
设g(x)＝x2e1－x，则g′(x)＝e1－xx(2－x).
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，2)时，g′(x)>0，
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，
所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，
又g(0)＝0，g(2)＝，
故函数g(x)＝x2e1－x的图象如图所示：
故当0答案：(0，)
17．解析：(1)因为f′(x)＝－x2＋2x，所以f′(1)＝－1＋2＝1，因此曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为1.
(2)令f′(x)＝－x2＋2x＝0，解得：x＝0或2.
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 极小值 极大值
所以 f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)内是减函数，在(0，2)内是增函数．
因此函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)，且f(0)＝0，函数f(x)在x＝2处取得极大值，且f(2)＝；
综上：f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，极小值为0，极大值为.
18．解析：(1)f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
由f′(－1)＝(－1－c)(－3－c)＝0得c＝－1或c＝－3，
当c＝－3时，f(x)＝x(x＋3)2，f′(x)＝(x＋3)(3x＋3)，
令f(x)>0，可得x>－1或x<－3，令f(x)<0，可得－3所以函数f(x)在区间(－∞，－3)和(－1，＋∞)上单调递增，在区间(－3，－1)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值；
当c＝－1时，f(x)＝x(x＋1)2，f′(x)＝(x＋1)(3x＋1)，
令f(x)>0，可得x>－或x<－1，令f(x)<0，可得－1所以函数f(x)在区间(－∞，－1)和(－，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，舍去；
综上，c＝－3.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[－4，－3]和[－1，0]上单调递增，在区间[－3，－1]上单调递减，
又因为f(－4)＝－4，f(－3)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝0，
所以f(x)的最大值为0 ，最小值为－4.
19．解析：(1)依题意可得f(1)＝a＋4＝5，则a＝1，
∵f′(x)＝3x2＋8x，∴f′(1)＝11，
∴曲线y＝f(x)在点(1，5)处的切线方程为y－5＝11(x－1)，
即y＝11x－6.
(2)设过原点的切线方程为y＝kx，则切点为(m，km)，
则消去k，整理得m3＋2m2＝0，
解得m＝0或m＝－2，
所以曲线y＝f(x)存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为(0，0)或(－2，8).
20．解析：(1)f′(x)＝x2＋x－a，
因为在x＝0处切线的斜率为－2，所以f′(0)＝－2，
则a＝2.
f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：
x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 －
f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增
故f(x)的极小值为f(1)＝－.
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，[－2，1]上单调递减，(1，＋∞)上单调递增．当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞.
当m>或m<－时，方程f(x)＝m有1个实数解；
当m＝或m＝－时，方程f(x)＝m有2个实数解，
当－21．解析：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b，依题意可得，即，解得.
(2)证明：由(1)可得f(x)＝xe1－x＋x，则f′(x)＝(1－x)e1－x＋1，
令g(x)＝f′(x)＝(1－x)e1－x＋1，则g′(x)＝(x－2)e1－x，
所以当x>2时g′(x)>0，当x<2时g′(x)<0，
即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，
所以g(x)min＝g(2)＝1－e－1，即g(x)≥1－e－1，
即f′(x)≥1－e－1.
22．解析：(1)依题意，速度是x(海里/时)，轮船每小时的燃料费0.6x2，总共行驶(小时)，
所以全程运输成本y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，
由题意知，函数的定义域为(0，35]，
即全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数为y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300＝，
当0所以当x＝35时，y＝＋300x取得最小值．
故当轮船以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小．
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