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2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围： 八年级上册全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24
2．的值是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．±2?
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．在下列方程中，是二元一次方程的只有（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．这组数据0，2，3，3，4，6的方差是2.1
C．一组数据的标准差越大，这组数据就越稳定
D．如果的平均数是，那么
6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．一停车场上有辆车，其中一辆汽车有个轮子，一辆摩托车有个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有个轮子，那么摩托车应为（ ）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
8．点与点关于y轴对称，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
9．已知为等腰斜边上的两点，，，．则（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．在二次根式中，x的取值范围是 ．
12．若，则 ．
13．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折为．已知，．则的长为 ．
14．如图，一次函数的图象经过点、，将一次函数图象向下平移5个单位后经过点，则m的值为 ．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的平方根是 ．
16．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第 象限．
17．已知点从长方形的顶点出发，沿以的速度匀速移动，如图1，设的面积为（），点移动的时间为（），关于的函数图像如下图2所示，则的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，直线，直线交于点，交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线，交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，按此方式进行下去，则的坐标为 ，的坐标为 （用含n的式子表示，n为正整数）．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．(8分)化简：÷×.
20．(8分)解方程组：．
21．(8分)如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．(10分)某校为体育节的球类比赛筹备器材．他们从体育用品商店了解到，买2个篮球和4个足球需440元；买1个篮球和3个足球需285元．
(1)求篮球和足球的单价各是多少；
(2)该商店在周年庆期间有“每满300减30”的优惠活动，在此期间在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需多少元？
23．(10分)为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶次，为了比较两人的成绩，制作了如下甲、乙两人射击成绩的折线图：
（1）求甲、乙两人射击成绩的中位数；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？请通过计算方差说明理由．
24．(10分)龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：
(1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟；
(2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟；
(3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式．
25．(12分)问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
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2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考
全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版八上全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键．判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方．
【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意，
B：，但不是整数，因此不是勾股数，不符合题意；
C：，是勾股数，符合题意；
D：，不是勾股数，不符合题意；
故选C．
2．的值是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．±2?
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选：B．
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义判定即可．
【详解】解：∵是有限小数，
故A选项不符合题意；
∵0和1都是整数，属于有理数，
故B和C选项不符合题意；
∵是开方开不尽的根式，属于无限不循环小数，是无理数，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无限不循环小数属于无理数，其主要形式有含有的式子、有特殊结构的无限不循环小数、开方开不尽的根式等内容是解题的关键．
4．在下列方程中，是二元一次方程的只有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，可得答案．
【详解】解：A、是二元一次方程，故符合题意；
B、是一元一次方程，故不符合题意；
C、是分式方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．这组数据0，2，3，3，4，6的方差是2.1
C．一组数据的标准差越大，这组数据就越稳定
D．如果的平均数是，那么
【答案】D
【分析】根据中位数的概念、方差的计算公式、方差的性质判断．
【详解】解：A、中位数是一组数据中最中间的一个数或最中间的两个数的平均数，本选项说法是假命题；
B、（0+2+3+3+4+6）=3，
[（0-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（6-3）2]=，则本选项说法是假命题；
C、一组数据的标准差越大，这组数据就越不稳定，本选项说法是假命题；
D、如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是，那么（x1-）+（x2-）+…+（xn-）=0，是真命题；
故选D.
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的特点即可判断．
【详解】A. =，故不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. =，故不是最简二次根式；
D. ，故不是最简二次根式；
故选B．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的特点．
7．一停车场上有辆车，其中一辆汽车有个轮子，一辆摩托车有个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有个轮子，那么摩托车应为（ ）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，根据题目给出的条件，找到合适的等量关系，列出方程组，求解方程组，是解答本题的关键．
根据题意，设摩托车应为辆，汽车辆，由此列出二元一次方程组，解出方程组，得到答案．
【详解】解：根据题意设：
摩托车应为辆，汽车辆，
则，
解得，
摩托车应为辆，
故答案为：．
8．点与点关于y轴对称，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：∵与点关于y轴对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
9．已知为等腰斜边上的两点，，，．则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据题意，画图如下，过点A作AG⊥AM，且AG=AM，连接CG和NG，利用SAS即可证出△BAM≌△CAG，从而得出CG=BM=3，∠ACG=∠B=45°，∠NCG=90°，然后利用SAS证出△MAN≌△GAN，可得MN=GN，设NC=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】解：根据题意，画图如下，过点A作AG⊥AM，且AG=AM，连接CG和NG
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，BC=
∴∠BAM＋∠MAC=90°，∠CAG＋∠MAC=90°
∴∠BAM=∠CAG
在△BAM和△CAG中
∴△BAM≌△CAG
∴CG=BM=3，∠ACG=∠B=45°
∴∠NCG=∠ACB＋∠ACG=90°
∵
∴∠GAN=∠MAG－∠MAN=45°
∴∠MAN=∠GAN
∵AM=AG，AN=AN
∴△MAN≌△GAN
∴MN=GN
设NC=x，则GN =MN= BC－BM－NC=9－x，
在Rt△NCG中，NC2＋CG2=GN2
∴x2＋32=（9－x）2
解得：x=4
即NC=4
故选C．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3-m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．
【详解】解：∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），O（0，0），
∴四边形OABC为矩形，
∴∠EBO=∠AOB．
又∵∠EOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE，
设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3-m，CE=m，
在Rt△OCE中，OC=1，CE=m，OE=3-m，
∴（3-m）2=12+m2，
∴m=，
∴点E的坐标为（，1），
设OD所在直线的解析式为y=kx，
将点E（，1）代入y=kx中，
得1=k，解得：k=，
∴OD所在直线的解析式为y=x．
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．在二次根式中，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，建立不等式，解答即可．
【详解】根据题意，得，
解得，
故答案为：．
12．若，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值．根据非负数的性质可得，，求得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：20．
13．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折为．已知，．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，先求出的长，利用勾股定理列出关于的方程，即可解决问题．
【详解】∵四边形为矩形，
∴；
由题意得：，
设，则；
由勾股定理得：，
∴；
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为．
14．如图，一次函数的图象经过点、，将一次函数图象向下平移5个单位后经过点，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先利用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据平移的性质可求出平移后的解析式，即可求解．
【详解】解：把点、代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∴将一次函数图象向下平移5个单位后的解析式为，即，
把点代入，得：
，解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根是解题的关键．
由题意知，，整理得，，加减消元法解二元一次方程组，然后根据的平方根为，代值计算即可．
【详解】解：由题意知，，整理得，，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
∴的平方根为，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第 象限．
【答案】二
【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答．
【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，
∴x1y2＜0，x2y1＞0，
∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．
17．已知点从长方形的顶点出发，沿以的速度匀速移动，如图1，设的面积为（），点移动的时间为（），关于的函数图像如下图2所示，则的值为 ．
【答案】48
【分析】根据图像得到点P运动到各点时t的值，从而得到AD和AB的值，利用三角形的面积计算即可．
【详解】解：由图可知：
当点P运动到BC上时，△PAD的面积不变，即为a，
当点P与点B重合时，t=4，当点P与点D重合时，t=14，
∴AB=2×4=8cm，BC=AD=（14-2×4）×2=12cm，
∴a==48cm2，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了函数图像的应用，解题的关键是读懂图形，理解运动过程，分析得到相应的量．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，直线，直线交于点，交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线，交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，按此方式进行下去，则的坐标为 ，的坐标为 （用含n的式子表示，n为正整数）．
【答案】
【分析】利用一次函数解析式分别求解的坐标，再归纳得出的坐标即可得到答案．
【详解】解：把代入中，
即
把代入 则
同理可得： 即
从而可归纳得到：
故答案为：
【点睛】本题考查的是点的坐标规律，掌握利用一次函数的解析式探究点的坐标规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）化简：÷×.
【答案】2+.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式进行化简，再根据二次根式的乘除法法则和分母有理化法则计算即可．
【详解】原式==（）=（）=2+.
故答案为2+.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，关键是把各个二次根式进行化简．
20．（8分）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解为：．
21．（8分）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴
由（1）可知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的内角和定理是解答的关键．
22．（10分）某校为体育节的球类比赛筹备器材．他们从体育用品商店了解到，买2个篮球和4个足球需440元；买1个篮球和3个足球需285元．
(1)求篮球和足球的单价各是多少；
(2)该商店在周年庆期间有“每满300减30”的优惠活动，在此期间在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需多少元？
【答案】(1)90元，65元
(2)1250元
【分析】本题考查了二元一次方程及有理数四则混合运算的应用，能根据等量关系列出方程组是解题的关键．
（1）设购买一个篮球需元，购买一个足球需元，根据买2个篮球和4个足球需440元；买1个篮球和3个足球需285元列方程解答即可得解；
（2）先计算出一次性购买8个篮球和10个足球共需费用，再减去优惠的费用即可得解．
【详解】（1）解：设购买一个篮球需元，购买一个足球需元，根据题意得：
解这个方程组，得
所以购买一个篮球需90元，购买一个足球需65元．
（2）解：因为按原价在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需：
（元）
所以根据优惠活动在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需：
（元）
答：根据优惠活动在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需1250元．
23．（10分）为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶次，为了比较两人的成绩，制作了如下甲、乙两人射击成绩的折线图：
（1）求甲、乙两人射击成绩的中位数；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？请通过计算方差说明理由．
【答案】（1）甲中位数为；乙中位数为；（2）甲胜出，理由见解析
【分析】（1）先把两名选手的成绩按从小到大排序，再求最中间两个数的平均数即可．
（2）利用方差公式，分别求出两名选手的方差，根据方差越小越稳定．
【详解】（1）由图可知，甲次射击成绩按从小到大排序为，，，，，，，，，，故中位数为；
乙次射击成绩按从小到大排序为，，，，，，，，，故中位数为．
（2）甲胜出．
理由：甲、乙两人射击成绩的平均数分别是
方差分别是
由可知，甲的射击成绩更稳定，即甲胜出．
【点睛】本题主要是考查了中位数与方差的知识，解题的关键要熟练中位数以及方差的求法．
24．（10分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：
(1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟；
(2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟；
(3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式．
【答案】(1)6
(2)11
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键．
（1）计算点C和B的横坐标之差即可；
（2）利用速度，求出段的速度，再利用时间，求出段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间；
（3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：兔子在比赛中睡觉的时间为，
故答案为：6．
（2）兔子的速度为，
段用时为，
∴兔子完成比赛共用时，
故答案为：11；
（3）解：由题意可知，乌龟完成比赛用时，
∴点A的坐标为．
当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为，
将坐标代入，
得，
解得，
∴乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过A作垂线，交延长线于C，连接，根据两点之间线段最短，得到三点共线时，的值最小为的长，勾股定理进行求解即可；
（2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，得到，进而得到当，P，B共线时，最小为的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）根据为定值，得到的最小值在最小时取得，取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，得到，即：的最小值为，分别求出的长，即可得出结果．
【详解】解：（1）过A作垂线，交延长线于C，如图：
由图可知，，
∴A，P，B共线时，最小，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
即最小值是；
（2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，如图：
由对称的性质可知，，，
∴，
∴当，P，B共线时，最小，
同（1）可知，四边形为长方形，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值是；
（3）∵长度一定，
∴的最小值在最小时取得，
取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，如图：则：，即：的最小值为，
∴
由对称的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小为．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，成轴对称的性质，勾股定理．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用轴对称的性质，构造直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D A D B D B C C
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11 ． 12．20． 13．． 14．． 15．． 16．二．
17．48 18． 、
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解：
原式=
=（） ······3分
=（） ······5分
=2+. ······8分
（8分）解：，
得：，
解得：， ······3分
将代入①得：，
解得：， ······6分
方程组的解为：． ······8分
21.（8分）（1）证明：∵平分，
∴，
在和中
∴； ······4分
（2）解：∵，
∴
由（1）可知，
∴，
∴． ······8分
22.（10分）
（1）解：设购买一个篮球需元，购买一个足球需元，根据题意得：
······2分
解这个方程组，得
所以购买一个篮球需90元，购买一个足球需65元．······5分
（2）解：因为按原价在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需：
（元） ······7分
所以根据优惠活动在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需：
（元）
答：根据优惠活动在该店一次性购买8个篮球和10个足球共需1250元．······10分
23.（10分）（1）由图可知，甲次射击成绩按从小到大排序为，，，，，，，，，，故中位数为； ······2分
乙次射击成绩按从小到大排序为，，，，，，，，，
故中位数为．······4分
（2）甲胜出．
理由：甲、乙两人射击成绩的平均数分别是
······6分
······7分
方差分别是
由可知，甲的射击成绩更稳定，即甲胜出．······10分
24.（10分）（1）解：兔子在比赛中睡觉的时间为，
故答案为：6． ······2分
（2）兔子的速度为，
段用时为，
∴兔子完成比赛共用时，
故答案为：11； ······5分
（3）解：由题意可知，乌龟完成比赛用时，
∴点A的坐标为．
当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为，
将坐标代入，
得，
解得， ·····9分
∴乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． ······10分
25（12分） 解：（1）过A作垂线，交延长线于C，如图：
由图可知，，
∴A，P，B共线时，最小，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
即最小值是； ······3分
（2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，如图：
由对称的性质可知，，，
∴，
∴当，P，B共线时，最小，
同（1）可知，四边形为长方形，
∴，，
∴， ······5分
∴，
即的最小值是； ······7分
（3）∵长度一定，
∴的最小值在最小时取得，
取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，如图：则：，即：的最小值为，
∴
由对称的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为长方形，
∴，
∴， ······10分
∵，
∴，
∴最小为． ······12分
