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2023-2024学年下学期开学摸底考
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．测试范围：九年级上下册。
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中①②③④是一元二次方程的（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．天气预报称，明天全市的降水概率为90%，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有90%的地方会下雨 B．明天全市将有90%的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨
5．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系内二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径1m，油面宽为1m，则圆心O到油面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，以A为圆心，长为半径画圆弧，交于点E，以E为圆心长为半径
画圆弧与的延长线交于点F，连接分别与、交于点M、N，连接，下列结论中下列结
论中错误的是（ ）
A．四边形为菱形 B． C． D．
9．如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于
点D、E，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，
都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽
度为cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角
时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（ ）
A． B．12cm C． D．14cm
填空题：本题共8小题，共32分。
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ．
13．在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是
．
14．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，
则图中阴影部分的面积是 ．
15．在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数关系，
其图象如图所示，则当力为20牛时，此物体在力的方向上移动的距离是 米．
16．新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了
病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，C是边上一点，过A作
交的延长线于D，．若反比例函数的图象经过点A，C，且的面积为3，
则k的值是 ．
18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称
这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程以是倍根方程，则必有．
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．解方程：
（1）； （2）．
20．如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，
将绕点C按顺时针方向旋转得．
（1）求的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
21．如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的
简化结构图，如图2所示．若座板平行于地面，前支架与后支架分别与交于点E，D，量
得，，，．
（1）求椅子座板距离地面的高度；
（2）求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到0.1cm）
（参考数据：，，，，，）
22．园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外
三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内
部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网
红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积．
23．如图，在中，，D是的中点，以为直径作，交边于点P，连接，
．
（1）求证：是的切线．
（2）若是的切线，，求的长．
24．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流
大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、
之间关系为 ，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
25．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）
侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关
系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同
学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
【问题初探】
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到．
①求点C的坐标；
②若抛物线过A、C两点，求该抛物线的解析式；
【探究延伸】
（3）如图3，在（2）条件下，直线与x轴交于D，与y轴交于点E，点F为第二象限内抛物线上一动点，过点F作直线轴交于G，连接，当时，求点F的横坐标．
26．已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．
（1）如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
（2）如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
（3）如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．
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2023-2024学年下学期开学摸底考
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下册（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，，不是反比例函数，不符合题意；
是反比例函数，符合题意．
故选：B．
2．下列方程中①②③④是一元二次方程的（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【答案】C
【解析】解：①中是分式，则①不是一元二次方程；
②中含有两个未知数，则②不是一元二次方程；
③，④均符合一元二次方程的定义，它们均为一元二次方程；
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
4．天气预报称，明天全市的降水概率为90%，下列说法中正确的是（ ）
A．明天全市将有90%的地方会下雨 B．明天全市将有90%的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨
【答案】C
【解析】解：由题可知，天气预报称，明天全市的降水概率为90%，
则代表明天全市下雨的可能性较大，
故C说法正确，
故选：C．
5．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：作交的延长线于点D，如图所示，
由图可知，，，，
∴，
∴，
故选：C．
6．在同一平面直角坐标系内二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，且与二次函数交于y轴正半轴的同一点，
故A正确；
B．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C错误；
∵D．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选：A．
7．如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径1m，油面宽为1m，则圆心O到油面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，
∵圆心点O到油面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．如图，在矩形中，以A为圆心，长为半径画圆弧，交于点E，以E为圆心长为半径
画圆弧与的延长线交于点F，连接分别与、交于点M、N，连接，下列结论中下列结
论中错误的是（ ）
A．四边形为菱形 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意知：，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故A不符合题意；
若，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
但和不一定相等，
因此和不一定全等，
∴和不一定相等，
故B符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
故D不符合题意．
故选：B．
9．如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于
点D、E，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【解析】解：连接，，，，，，如图，
∵、是的切线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵过点C的切线分别交、于点D、E，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴．
∴的周长＝
．
故选：B．
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，
都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽
度为cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角
时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（ ）
A． B．12cm C． D．14cm
【答案】D
【解析】解：如图，以的中点为原点，直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
根据题意可知，，设与y轴的交点坐标P，与y轴交于点Q，
在中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
将，，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为：，
令，
解得或，
∴点E的横坐标为，
当时，，
∴．
∴，
故选：D．
填空题：本题共8小题，共32分。
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
12．如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ．
【答案】向下
【解析】解：∵抛物线经过原点，
∴且，
解得，
∴，
∴该抛物线的开口向下．
故答案为：向下．
13．在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是
．
【答案】
【解析】解：取出次品的可能性大小是．
故答案为：．
14．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】解：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
15．在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数关系，
其图象如图所示，则当力为20牛时，此物体在力的方向上移动的距离是 米．
【答案】36
【解析】解：由题意，设函数关系为，
将代入上式得：，解得，
则函数的表达式为，
当时，即，
解得（米），
故答案为36．
16．新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了
病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为 ．
【答案】
【解析】解：依题意得：两轮传染后患了新冠的人数＝开始患病的人数×（1+每轮传染中平均一个人传染的人数）2，
则．
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，C是边上一点，过A作
交的延长线于D，．若反比例函数的图象经过点A，C，且的面积为3，
则k的值是 ．
【答案】
【解析】
解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴它们的面积比为，
∵的面积为3，
∴的面积为12，
∵反比例函数的图象经过点A，C，
∴设，则，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为．
18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称
这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程以是倍根方程，则必有．
【答案】②③④
【解析】解：①解方程得，，，得，，
∴方程不是倍根方程；
故①不正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
∴，
故②正确；
③∵，则：，
∴，，
∴，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
若时，则，，
即 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
故答案为：②③④
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴，
则或，
解得，．
20．如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，
将绕点C按顺时针方向旋转得．
（1）求的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析．
【解析】解：（1）∵，，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴；
（2）线段，，之间的数量关系是．
如图，连接．
∵绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，．
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
21．如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的
简化结构图，如图2所示．若座板平行于地面，前支架与后支架分别与交于点E，D，量
得，，，．
（1）求椅子座板距离地面的高度；
（2）求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到0.1cm）
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）38.8cm；（2）53.9cm．
【解析】解：过点E，D分别作 于H，作 于G，
∴，
∵，
∴，，
（1）在中，，
∵，
∴，
∴椅子座板距离地面的高度是38.8cm．
（2）在 中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴两支架着地点之间的距离约为53.9cm．
22．园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外
三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内
部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网
红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积．
【答案】（1）长为60米，宽为30米；（2）16平方米．
【解析】解：（1）设米，
∴米，
根据题意，得，
解得，
∴米，米，
答：长方形花圃的长为60米，宽为30米；
（2）设网红打卡点的边长为m米，
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴网红打卡点的面积为（平方米），
答：网红打卡点的面积为16平方米．
23．如图，在中，，D是的中点，以为直径作，交边于点P，连接，
．
（1）求证：是的切线．
（2）若是的切线，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，D是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
24．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流
大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、
之间关系为 ，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
【答案】（1），；（2）①作图见解析，②不断减小；（3）或．
【解析】解：（1）根据题意，，，
∴，；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当或时，，
即当时，的解集为 或，
故答案为：或．
25．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）
侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关
系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同
学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
【问题初探】
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到．
①求点C的坐标；
②若抛物线过A、C两点，求该抛物线的解析式；
【探究延伸】
（3）如图3，在（2）条件下，直线与x轴交于D，与y轴交于点E，点F为第二象限内抛物线上一动点，过点F作直线轴交于G，连接，当时，求点F的横坐标．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）．
【解析】解：（1）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：①∵一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴，，
∴，．
∵将线段绕点B逆时针旋转得到，
∴．
过点C作轴于点D，如图，
则．
利用（1）中的方法可证明：，
∴，，
∴，
∴；
②∵抛物线过A、C两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（3）过点F作于点M，过点G作于点N，如图，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵直线与x轴交于D，与y轴交于点E，
∴，，
∴，．
设点F的横坐标为m，则，
∴，
∵，
∴．
∵F作直线轴交于G，
∴．
∴，
∴．
∴，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴F的横坐标为．
26．已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．
（1）如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
（2）如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
（3）如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】解：（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：过点C作于L，作交的延长线于Q，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∵将绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，过点C作于H，过点Q作于K，
∵是等腰直角三角形，，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由旋转得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点Q在经过点A，且与垂直的直线上运动，
在上截取，连接，作点E关于直线的对称点F，连接、，
则，
∵点T是的中点，
∴，
∴，
当且仅当B、Q、F在同一条直线上时，取得最小值，
如图4，过点F作于M，过点Q作于K，
则，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴．
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2023-2024学年下学期开学摸底考
九年级数学
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D C C A B B B D
填空题：本题共8小题，共32分。
11． 12．向下 13． 14． 15．36
16． 17． 18．②③④
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．【答案】（1），；（2），．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴，
则或，
解得，．
20．【答案】（1）；（2），理由见解析．
【解析】（1）解：（1）∵，，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴；
（2）（2）线段，，之间的数量关系是．
如图，连接．
∵绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，．
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
21．【答案】（1）38.8cm；（2）53.9cm．
【解析】解：过点E，D分别作 于H，作 于G，
∴，
∵，
∴，，
（1）在中，，
∵，
∴，
∴椅子座板距离地面的高度是38.8cm．
（2）在 中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴两支架着地点之间的距离约为53.9cm．
22．【答案】（1）长为60米，宽为30米；（2）16平方米．
【解析】解：（1）设米，
∴米，
根据题意，得，
解得，
∴米，米，
答：长方形花圃的长为60米，宽为30米；
（2）设网红打卡点的边长为m米，
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴网红打卡点的面积为（平方米），
答：网红打卡点的面积为16平方米．
23．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，D是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
24． 【答案】（1），；（2）①作图见解析，②不断减小；（3）或．
【解析】解：（1）根据题意，，，
∴，；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当或时，，
即当时，的解集为 或，
故答案为：或．
25．【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）．
【解析】解：（1）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：①∵一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴，，
∴，．
∵将线段绕点B逆时针旋转得到，
∴．
过点C作轴于点D，如图，
则．
利用（1）中的方法可证明：，
∴，，
∴，
∴；
②∵抛物线过A、C两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（3）过点F作于点M，过点G作于点N，如图，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵直线与x轴交于D，与y轴交于点E，
∴，，
∴，．
设点F的横坐标为m，则，
∴，
∵，
∴．
∵F作直线轴交于G，
∴．
∴，
∴．
∴，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴F的横坐标为．
26．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：过点C作于L，作交的延长线于Q，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∵将绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，过点C作于H，过点Q作于K，
∵是等腰直角三角形，，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由旋转得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点Q在经过点A，且与垂直的直线上运动，
在上截取，连接，作点E关于直线的对称点F，连接、，
则，
∵点T是的中点，
∴，
∴，
当且仅当B、Q、F在同一条直线上时，取得最小值，
如图4，过点F作于M，过点Q作于K，
则，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴．
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