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6.2平面向量的运算
题型汇总
题型1：向量的加法运算 例1.如果表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）.
【变式1-1】化简 (1)； (2) .
【变式1-2】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ） A． B． C． D．
【变式1-3】如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ） A． B． C． D．
【变式1-4】如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( )
【变式1-5】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号)
题型2：向量的减法运算 例2.如图，已知向量，，求作向量．
【变式2-1】（多选）下列各式中能化简为的有（ ） A． B． C． D．
【变式2-2】（ ） A． B． C． D．
【变式2-3】化简： (1)； (2).
【变式2-4】在中，分别是的中点，则 .
【变式2-5】填空： ； ； ； ； ．
【变式2-6】如图，已知向量，不共线，求作向量．
【变式2-7】如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
题型3：向量加减法的几何意义 例3.在四边形中，若，则（ ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
【变式3-1】证明：当向量不共线时，.
【变式3-2】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【变式3-3】在平行四边形ABCD中，，则必有（ ） A．四边形ABCD是矩形 B．＝或＝ C．＝ D．四边形ABCD是正方形
【变式3-4】已知四边形和点O，若，则四边形的形状是 .
【变式3-5】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D．
题型4：利用向量的加减法解决几何问题 例4.在中，已知为上一点，若，则（ ） A． B． C． D．
【变式4-1】如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ） A． B． C． D．
【变式4-2】在中，是边上的点且，若则 ．
【变式4-3】在中，点满足，则与的面积比为 ．
【变式4-4】已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（ ） A．在的内部 B．在的边上 C．在的边上 D．在的外部
【变式4-5】如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
题型5：向量的线性运算 例5计算： （1）； （2）； （3）．
【变式5-1】如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
【变式5-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4).
【变式5-3】已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则
【变式5-4】下列结论正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，其中，则
题型6：向量共线定理及其应用 例6已知，则下列结论中成立的是（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线
【变式6-1】已知，则共线的三点为（ ） A． B． C． D．
【变式6-2】设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数 .
【变式6-3】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．
【变式6-4】已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．
【变式6-5】设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1
【变式6-6】已知,是不共线的向量，，则共线的充要条件是（ ） A． B． C． D．
【变式6-7】已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ） A． B． C． D．
题型7：向量的线性表示 例7设为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D．
【变式7-1】在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．
【变式7-2】四边形中，，，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D．
【变式7-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ） A． B． C． D．
【变式7-4】在中，已知是边上一点，若，则（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1
【变式7-5】在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ） A． B． C． D．
【变式7-6】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A． B．3 C． D．
【变式7-7】如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．
【变式7-8】已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．
题型8：向量数量积的计算 例8（1）已知，，与的夹角，求． 设，，，求与的夹角． 已知，，与的夹角为60°，求
【变式8-1】已知，与的夹角为60°，求： (1)； (2)； (3).
【变式8-2】已知菱形的边长为a，，则（ ） A． B． C． D．
【变式8-3】在边长为2的等边三角形中，，，则 ．
【变式8-4】如图中，，，，，且，则 .
【变式8-5】已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则
【变式8-6】对于非零向量，，，给出下列结论： ①若，，则； ②若，则； ③； ④ 其中正确结论的有（ ） A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④
题型9：向量垂直应用 例9若单位向量满足，且，则实数k的值为 . 【答案】6 【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值. 【详解】因为，所以，因为，所以， 即，又是单位向量，所以，即. 故答案为：
【变式9-1】已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？
【变式9-2】已知向量满足,，与的夹角为，，则 ．
【变式9-3】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则 .
【变式9-4】已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数． (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值及对应的的值.
【变式9-5】已知，，且与互相垂直，求证：.
题型10：向量的模长 例10已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求： (1)(＋)·(－)； (2)|－|．
【变式10-1】已知向量的夹角为，，，则 ．
【变式10-1】已知向量，满足，，． (1)求； (2)若，求实数k的值．
【变式10-1】如图，在△ABC中，，，，，． (1)设，求x，y的值，并求； (2)求的值．
【变式10-1】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
题型11：向量的夹角 例11已知，，，则向量与向量的夹角为 ．
11-1若向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．
【变式11-2】已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．
【11-3】已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A． B． C． D．
【11-4】已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D．
题型十二：向量的投影
例12已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 ；
12-1 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D．
12-2如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D．
1-3设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D．
12-4已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为 ．
设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ） A．2 B． C． D．
题型十三：平面向量运算的应用
例13 一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
13-1向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为
13-2飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
13-3在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
13-4已知中，，，B是中的最大角，若，试判断的形状．
13-5 ，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形
13-6（多选）设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（ ） A．与的夹角为 B． C．的最小值为 D．的最小值为
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6.2平面向量的运算
题型汇总
题型1：向量的加法运算 例1.如果表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）向东走；（2）向东走； （3）向东北走；（4）向西南走； （5）向西北走；（6）向东南走. 【解析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得. 【详解】由题意知：表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走” （1）表示“向东走” （2）表示“向东走” （3）表示“向东北走” （4）表示“向西南走” （5）表示“向西北走” （6）表示“向东南走” 【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.
【变式1-1】化简 (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可. 【详解】（1）= （2）==.
【变式1-2】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由平面向量的运算法则，可得. 故选：A.
【变式1-3】如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解 【详解】因为在矩形中，为中点， 所以， 所以， 故选：A
【变式1-4】如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( ) 【答案】 × √ × 【解析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义； 【详解】对（1），因为，故（1）错误； 对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确； 对（3），，故（3）错误. 故答案为：(1) ×；(2) √；(3) × 【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
【变式1-5】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 【答案】①④##④① 【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. 【详解】①; ②; ③; ④. 故答案为：①④.
题型2：向量的减法运算 例2.如图，已知向量，，求作向量． 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
【变式2-1】（多选）下列各式中能化简为的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量的加法与减法法则逐一验证即可 【详解】对于A：，故A 错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD
【变式2-2】（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得 ． 故选：A.
【变式2-3】化简： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量加法和减法的运算法则即可求解； （2）根据向量加法和减法的运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：.
【变式2-4】在中，分别是的中点，则 . 【答案】 【分析】由向量的加法与减法法则求解即可 【详解】利用三角形中位线定理知， 所以. 故答案为：
【变式2-5】填空： ； ； ； ； ． 【答案】 【解析】利用向量减法的三角形法则，进行向量的减法运算. 【详解】因为向量的起点相同，可直接进行向量的相减运算， 所以；；；；． 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【点睛】本题考查向量减法的运算，求解时注意向量用两个大写字母表示，可直接进行代数的运算，而无需再画图形.
【变式2-6】如图，已知向量，不共线，求作向量． 【答案】作图见解析， 【分析】利用向量的加法法则求解. 【详解】如图， 在平面内任取一点O，作，． 因为，即， 所以．
【变式2-7】如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解. 【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以． 因为， ， 所以， 即．
题型3：向量加减法的几何意义 例3.在四边形中，若，则（ ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可； 【详解】解：，， ，且，四边形是平行四边形． 故选：D．
【变式3-1】证明：当向量不共线时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明. 【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中， 由三角形两边之和大于第三边得：， 由三角形两边之差小于第三边得：， 所以.
【变式3-2】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可. 【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形， 由，所以平行四边形ABCD的对角线相等， 因此该四边形是矩形， 故选：C
【变式3-3】在平行四边形ABCD中，，则必有（ ） A．四边形ABCD是矩形 B．＝或＝ C．＝ D．四边形ABCD是正方形 【答案】A 【分析】在平行四边形中，根据向量加法、减法的运算法则可判断其对角线的关系，然后可知.或者两边平方，根据数量积为0可判断四边形形状. 【详解】由ABCD构成四边形可知，BC错误；在平行四边形ABCD中，，，由题知，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误. 故选：A.
【变式3-4】已知四边形和点O，若，则四边形的形状是 . 【答案】平行四边形 【分析】将变形为，得到，进而根据相等向量的定义得到答案. 【详解】已知四边形和点O，若，则 所以，则四边形的形状是平行四边形. 故答案为：平行四边形.
【变式3-5】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点)，故错误； 对于C，因为(为中点), (为中点), 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确. 故选：B.
题型4：利用向量的加减法解决几何问题 例4.在中，已知为上一点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B.
【变式4-1】如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 故选：B.
【变式4-2】在中，是边上的点且，若则 ． 【答案】## 【分析】由题知，再根据求解即可. 【详解】解：因为在中，是边上的点且， 所以，即， 所以，，即 故答案为：
【变式4-3】在中，点满足，则与的面积比为 ． 【答案】## 【分析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公示，即可得到面积的比值. 【详解】取边的中点，连接，如图所示， 因为，即，所以，即点为的中点，所以. 故答案为：
【变式4-4】已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（ ） A．在的内部 B．在的边上 C．在的边上 D．在的外部 【答案】C 【分析】将化简，可得，即可选出答案. 【详解】因为 所以 即， 所以点为中点. 故选：C.
【变式4-5】如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据向量运算得到，，，相加得到证明. 【详解】如图，连接DE， EF， FD, 因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形． 由向量加法的平行四边形法则，得①, 同理②，③，将①②③式相加， .
题型5：向量的线性运算 例5计算： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式．
【变式5-1】如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和． 解：在中， ， ． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ， ， ， ．
【变式5-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】根据平面向量数乘运算的运算律，对每个小问进行逐一运算，即可求得结果. 【详解】（1） （2） （3） （4）
【变式5-3】已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABCD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则，所以，或，C错； 对于D选项，若，则，所以，，即，D对. 故选：ABD.
【变式5-4】下列结论正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，其中，则 【答案】C 【分析】根据相等向量，共线向量，数乘运算的定义分别进行判断即可. 【详解】对于A，当时，与可能不共线， 如，，满足，但不满足或，A错误； 对于B，若，此时，，但与可能不共线，B错误； 对于C，由向量数乘运算定义知C正确； 对于D，若，则，此时与可以是任意向量，D错误. 故选：C.
题型6：向量共线定理及其应用 例6已知，则下列结论中成立的是（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解. 【详解】解：, 所以A，D，C三点共线. 故选:C.
【变式6-1】已知，则共线的三点为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算以及共线定理判断即可. 【详解】不满足共线定理，A错误； 不满足共线定理，B错误； ， ， 不满足共线定理，C错误； ，D正确. 故选：D.
【变式6-2】设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意由共线定理可得存在实数，使，从而可得关于的方程组，进而可求出. 【详解】由题意知，与共线， ∴存在实数，使. ∵，不共线， ∴解得或， ∵与反向， ∴，. 故答案为：
【变式6-3】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得， 即． 由，不共线，必有.否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾． 由，解得． 因此，当向量，共线时，．
【变式6-4】已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值． 【答案】 【解析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可. 【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值为． 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于常考题.
【变式6-5】设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】由向量加法得，由三点共线知，共线，结合平面向量基本定理可解. 【详解】因为，故存在实数，使得，又， 所以，因为不共线，故，即. 故选：D
【变式6-6】已知,是不共线的向量，，则共线的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线，则向量，即存在实数，使得，根据向量相等的条件可得到一个方程组，从而可得解． 【详解】若三点共线，则向量，即存在实数，使得，∵，∴，可得，两式相除消去得，即三点共线的充要条件为， 故选C．
【变式6-7】已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可表达出，然后根据向量共线即可求解. 【详解】,, 因为三点共线，所以,故 ，所以 故选：D
题型7：向量的线性表示 例7设为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法减法及数乘向量去表示向量 【详解】为线段靠近点的三等分点 ， ． 故选：C．
【变式7-1】在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用向量的线性运算证明选项AC正确，，故选项B错误；，故选项D错误． 【详解】解：因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B错误； 由于B，E，F三点共线，所以． 又，从而解得故选项C正确； ，故选项D错误． 故选：AC
【变式7-2】四边形中，，，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】 因为，， 所以 故选：C
【变式7-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误. 【详解】，即A不正确； 连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示 由其性质有 ∴，即B不正确； ，即C正确； 同理 ，即 ∴，即D不正确； 故选：C.
【变式7-4】在中，已知是边上一点，若，则（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【答案】C 【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以为线段的三等分点中靠近的点， 所以=, 所以， 所以. 故选：C.
【变式7-5】在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于三点共线，所以， 所以 ， 当且仅当. 故选：C
【变式7-6】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D.
【变式7-7】如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线． 【答案】见解析. 【分析】由题意画出图象，利用向量的加法和条件表示出，利用向量共线的充要条件，即可证明M、N、D三点共线． 【详解】由题意画出图象： 因为BMAB，点N在BC上且BNBC， 所以， ， 因为，， 所以， 则，所以M、N、D三点共线． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，向量的加法法则，以及利用向量共线的充要条件证明三点共线，属于中档题.
【变式7-8】已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值． 【答案】. 【分析】由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由， 不共线可得， 的系数都为零，列方程组求解即可. 【详解】解 由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－， －共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝. 由， 不共线，必有＋＝＋1＝0. 否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾． 由，解得＝. 因此，当向量－， －共线时，＝.
题型8：向量数量积的计算 例8（1）已知，，与的夹角，求． 设，，，求与的夹角． 已知，，与的夹角为60°，求 解： ． 解：由，得 ． 因为，所以．． 解： ．
【变式8-1】已知，与的夹角为60°，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用数量积的定义及运算律即可得到答案 【详解】（1）； （2）； （3）
【变式8-2】已知菱形的边长为a，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易知，，，则可求出的值. 【详解】由题意可知，在中，， ，又， 所以. 故选：D.
【变式8-3】在边长为2的等边三角形中，，，则 ． 【答案】## 【分析】把均用基底表示，再利用数量积运算求解 【详解】因为，所以为的中点即， ∵，∴， ∴ . 故答案为：
【变式8-4】如图中，，，，，且，则 . 【答案】 【分析】结合已知条件，首先用与表示出和，然后利用数量积的定义即可求解. 【详解】由中，，，， 则，， 又，且，即， 故，即， 从而， 故， 因为， 所以. 故答案为：.
【变式8-5】已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由共线向量、相等向量、向量的数量积依次判断4个选项即可. 【详解】对于A，由可得同向，又分别表示方向上的单位向量，故，A正确； 对于B，，两者不一定相等，B错误； 对于C，只能得到模长相等，方向不确定，C错误； 对于D，当，时，成立，但不成立，D错误. 故选：A.
【变式8-6】对于非零向量，，，给出下列结论： ①若，，则； ②若，则； ③； ④ 其中正确结论的有（ ） A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据向量共线定义判断①，由数量积定义判断②，由向量模的定义判断③，把模转化数量积运算判断④． 【详解】为，，是非零向量，因此由，，知与，与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，可得，①正确； ，当时也成立，不能得出，②错； 由三角形的性质，模的几何意义得，③错； ，④正确． 故选：A．
题型9：向量垂直应用 例9若单位向量满足，且，则实数k的值为 . 【答案】6 【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值. 【详解】因为，所以，因为，所以， 即，又是单位向量，所以，即. 故答案为：
【变式9-1】已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是 ， ． 因为，， 所以． 解得． 也就是说，当时，与互相垂直．
【变式9-2】已知向量满足,，与的夹角为，，则 ． 【答案】2 【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值. 【详解】因为，所以，即. 又，,与的夹角为，则， 所以． 故答案为：2.
【变式9-3】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则 . 【答案】11 【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案. 【详解】因为平面向量，的夹角为，且， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 故答案为：11.
【变式9-4】已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数． (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值及对应的的值. 【答案】(1) (2)时，最小值为 【分析】（1）由数量积为0求得后可得； （2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值． 【详解】（1）因为与垂直， 所以， 所以，， 所以， ； （2） ， 所以时，取得最小值．
【变式9-5】已知，，且与互相垂直，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明. 【详解】因为与互相垂直， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以， 因为，是非零向量， 所以.
题型10：向量的模长 例10已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求： (1)(＋)·(－)； (2)|－|． 【答案】(1)－5. (2). 【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案； （2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案. 【详解】（1）解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5． （2）解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以， 所以 |－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．
【变式10-1】已知向量的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果. 【详解】解：因为向量的夹角为，，， 所以， 因此，， 故答案为：.
【变式10-1】已知向量，满足，，． (1)求； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】（1）先求出的平方，进而求出； （2）根据向量垂直得到方程，求出实数k的值. 【详解】（1）． 所以； （2）由题意可得：，即， ∴，解得：或2， 所以实数k的值是-1或2.
【变式10-1】如图，在△ABC中，，，，，． (1)设，求x，y的值，并求； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可； （2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可. 【详解】（1），， ， ， . （2） .
【变式10-1】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果. 【详解】证明：设， ． 因为四边形为菱形，所以， 又 则，故． 所以.
题型11：向量的夹角 例11已知，，，则向量与向量的夹角为 ． 【答案】## 【分析】化简，结合平面向量数量积的定义可求出向量与向量的夹角 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为，，， 所以， 得， 因为，所以， 故答案为：
11-1若向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算． 【详解】由已知得，，， ，所以. 故选：C．
【变式11-2】已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得. 【详解】，， 又，，， 设与的夹角为， ， 从而，所以与的夹角. 故选：C
【11-3】已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出. 【详解】因为，是单位向量， 所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 因为， 所以． 故选：B．
【11-4】已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】解：因为，所以，所以， 由得，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 故选：B.
题型十二：向量的投影
例12已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 ； 【答案】 【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得. 【详解】因为， 所以向量在上的投影向量为. 故答案为：.
12-1 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量， 所以，且， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B
12-2如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可. 【详解】延长，交于点，如图所示， ，， ， 又， 向量在向量上的投影向量为， 故选：B.
1-3设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解. 【详解】设与的夹角为， 对于A, 当为锐角时，不一定相等，故A错误， 对于B. 当为锐角时，=，成立， 当为钝角时，=，成立， 当为直角时，成立，故正确； 对于C.,故C对， 对于D. ，故D错误. 故选：BC.
12-4已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义求解的值，再根据投影的定义求解的值即可. 【详解】解：由于，，与的夹角为，则 则在上的投影为：. 故答案为：.
设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B.
题型十三：平面向量运算的应用
例13 一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.
13-1向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D. 【详解】，, ,解得,故A错误 ,， 由于，与的夹角为，故B正确, ,故C正确 在上的投影向量为，故D错误, 故选：BC
13-2飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？ 【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km. 【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案 【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km. 设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图， 则，，， ， 是等边三角形， ，， ， 即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.
13-3在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案. 【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形． 由，， 所以，所以四边形ABCD为菱形． 故选：C
13-4已知中，，，B是中的最大角，若，试判断的形状． 【答案】锐角三角形 【解析】设是与的夹角，由知，即为钝角，又角B是中最大角，所以为锐角三角形. 【详解】如图，设是与的夹角，则，故，所以为钝角， 故可得为锐角．又角B是中最大角，所以为锐角三角形． 【点睛】本题考查向量的数量积，由数量积的符号判断夹角的大小，属于基础题.
13-5 ，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【详解】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A．
13-6（多选）设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（ ） A．与的夹角为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择. 【详解】对：设的夹角为，， 两边平方可得：， 即对任意的恒成立， 故可得：，即， 则，又，故，故错误； 对：，故正确； 对： ，当且仅当时取得等号，故错误； 对： ，对，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为，故正确. 故选：.
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