永宁上游高级中学 2023-2024 学年第二学期开学考试 故选：D.
6．C【分析】先由图像分析出 f x 的正负，直接解不等式即可得到答案.
高二数学参考答案
【详解】由函数 y f x 的图像可知, f x 在区间 ( ,0), (2, )上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当
1．D【分析】题干条件得到 an 为等差数列，公差为 2，利用通项公式进行相关计算. x ( , 0) (2, )时, f x 0 ;当 x∈(0,2)时, f (x) > 0 .
【详解】因为 an 1 an 2， n N ，所以 an 为等差数列，公差为 2，首项 a1 3，所以 a10 3 9 2 21. x 0 x 0
因为 x f x 0可化为 或 ，解得：0D
f x 0 f x 0故选：
2．C【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 所以不等式 x f x 0的解集为 ,0 0,2 .故选:C
2 2
【详解】圆 x2 y2 4x 4 y 7 0， 即圆 x 2 y 2 1的圆心坐标，半径分别为 2,2 ,1， 7．C【分析】根据递推公式一一计算可得.
an
显然过 (1,0) 2点且斜率不存在的直线为 x 1，与圆 x 2 y 2 2 1相切，满足题意； 【详解】因为 a1 1， an 1 2an 1
，
a1 1 a2 1 aa 1a a 3 a a 4 1
设然过 (1,0) 2 2 点且斜率存在的直线为 y k x 1 ，与圆 x 2 y 2 1相切， 所以 2 2a 1 3， 3 2a 1 5， 4 2a 1 7 ， 5 2a 1 9 .故选：C1 2 3 4
k 2 3 8．B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可得到点 P的坐标，从而得出 OP 的值；
所以 d 1 r，所以解得 k ，
k 2 1 4 2 2
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF1 PF2 , PF1 PF2 ，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
所以满足题意的直线方程为3x 4y 3 0或 x 1 .故选：C.
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF 21 PF
2
2 ，即可根据中线定理求出．
3．A【分析】求得 f x 3 f 1 2x 1 1 ，令 x 1，求得 f 1 ，进而求得 f 1 的值.
x 2 π 2 FPF 2
1 1 【详解】方法一：设 F1PF2 2 ,0 ，所以 S PF F b tan
1 2 b tan ，
2 1 2
【详解】由函数 f x 3 f 1 x x lnx ，可得 f x 3 f 1 2x ， 2 2
2 x 2
cos F PF cos sin
2 1 tan2 3
1 由 cos 2 ，解得： tan
1
1 2 ，
令 x 1，可得 f 1 3 f 1 1，解得 f 1 ， cos2 +sin2 1 tan2 5 2
2
2 2 2 2 2
f x 3
由椭圆方程可知， a 9,b 6,c a b 3 ，
则 x x 2 lnx
1 3
，所以 f 1 1 0 1 1 .
2 2 2 2
所以， S
1 1 1 2
A. PF1F
F1F2 y p 2 3 y p 6 ，解得： yp 3，
故选： 2 2 2 2
a x2 9 1 3 9即 ，因此 OP x2 y2
9 30
4．B【分析】根据渐近线方程得到 5，再代入离心率公式即可. p p p 3 ．故选：B．
b 6 2 2 2
PF PF 2 2 2a c a 2 b 2 30 方法二：因为 1 2 2a 6①， PF1 PF2 2 PF1 PF2 F1PF2 F1F2 ，
【详解】由题意可知 5，所以 e .故选：B.b a a 2 5
即 PF
2 2 6
1 PF2 PF5 1
PF2 12②，联立①②，
5．D【分析】由题意得 f x 3ax2 6x 1 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可. 15 2 2
解得： PF1 PF2 , PF1 PF 21，2 2
2 a 0
【详解】依题意知， f x 3ax 6x 1 有两个不相等的零点，故 ， 解得 a 3且 a 0 . 1 1
Δ 36 12a 0 而 PO PF2 1 PF2 ，所以 OP PO PF2 1 PF2 ，
答案第 1页，共 4页
{#{QQABQYAEoggIAAIAAAhCQwk4CAAQkBEACCoOwFAAoAABSBNABAA=}#}
1 1 2 2PO PF 1 3 15 30即
2 1
PF2 PF1 2PF1 PF2 PF2 21 2 ． F F 2 2 0 0 1 22 2 5 2 2 对于选项C ,以线段 1 2为直径的圆的方程为 x y 1，则该圆的圆心到直线的距离为d 1 ,即以
2 2
故选：B．
2 线段 F F 为直径的圆与直线 x y 1 0相交，故C不正确；
方法三：因为 PF1 PF2 2a 6①， PF1 PF
2
2 2 PF1 PF2 F1PF
2 1 2
2 F1F2 ，
x20
PF 2 PF 2 6 2
1
即 1 2 PF1 PF2 12
2 2
②，联立①②，解得： PF PF 21， 对于选项D ,设点P x ,y ，则 y0 y0 y0 2 1 ,
5 1 2 0 0 kPA kPB x0 2 x0 2 x
2
0 2 x
2
0 2 2
2 2 2 2 30
由中线定理可知， 2 OP F1F2 2 PF1 PF2 42，易知 F1F2 2 3，解得： OP ．故选：B．2 故D正确.故选：BD.
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用 12．AC【分析】对于 A：通过 a13 0以及 a1 0来判断；对于 B：根据数列的单调性来判断；对于 C：通过 a1 0
定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
a 0 n n 1 以及 13 来判断；对于 D：通过计算 Sn na1 d 0来判断.
9．ACD【分析】化为标准方程后，得出焦参数 p，从而可得抛物线的性质，判断各选项． 2
2 【详解】对于 A：因为 a10 a15 a12 ，所以 a13 0，即 a1 12d 0，因为a1 12d 0，所以 d 0，数列 an 是【详解】由已知抛物线标准方程是 x 8y，2p 8， p 4，
递增数列，A正确；
所以焦点坐标为 (0,2)，开口方向向上，A正确，B错误；
焦点到准线的距离为 p 4，C正确；准线方程是 y= 2，D正确．故选：ACD． 对于 B：因为数列 an 是递增数列，所以最小项是首项 a1，B错误；
10．BC【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 对于 C：因为 a1 0， a13 0，所以当 n 12或n 13时， Sn取最小值，C正确；
π n n 1 n n 1【详解】 sin 0，A选项错误. D
对于 ：由不等式 Sn na1 d n a 12d
d dn13 n 25 0，
4 2 2 2
lim f (1 2 x) f (1) f (1 2 x) f (1)
可得 0 n 25，又因为 n N*，所以满足 S 0的 n的最大值为 24，D错误．故选：AC．
2 lim 2 f (1) 2 B n， 选项正确.
x 0 x x 0 2 x
2 2
S 2t，所以该质点在 t 2时的瞬时速度是2 2 4，C选项正确. 13． x 1 y 2 10
y f (x) g x f x g (x)，D选项错误.故选：BC 【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.
x 4 2【详解】根据题意， C 1, y
1 3
C 2，即圆心坐标为 1,2 ；11．BD【分析】由 a2 2， c2 1直接求椭圆离心率即可，将 F1F2 看成△ PF1F2的底，高的最大值即为1，即可求 2 2
2 2
PFF 则圆C的半径 r 1 2 2 3 10，出△ 1 2面积的最大值，写出以线段 F1F2为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，
2
k k 故所求圆的方程为： x 1 y 2
2 10 .故答案为： x 1 2 y 2 2 10 .
PA PB 直接用斜率公式求解即可.
c 2 14．5【分析】由题意可计算出抛物线方程，结合抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离计算即可得.
【详解】对于选项A ,由已知得 a2 2，b2 1，则 c2 a2 b2 1，即 e ，故A错；
a 2
【详解】设抛物线的方程为 y2 2px(p 0)，
对于选项B ,由已知得，要使△PF1F2的面积最大，当底边 F1F2 上的高最大即可，高的最大值即为1，则△PF1F2的
因为 AB 4 2，MO 2，所以点 A(2,2 2)在抛物线上，所以8 4p，故 p 2，所以抛物线的方程为 y2 4x，1
面积最大值为 2 1 1，故B正确；
2
所以抛物线的焦点 F 的坐标为 (1,0)，准线方程为 x= 1，在方程 y2 4x中取 x 4可得 y2 16 3，
答案第 2页，共 4页
{#{QQABQYAEoggIAAIAAAhCQwk4CAAQkBEACCoOwFAAoAABSBNABAA=}#}
所以点Q在抛物线内，如图，过点 P作PP 与准线垂直，P 为垂足， ABCD
点Q作QQ 与准线垂直，Q 为垂足，则 | PF | | PP |， 所以，PA AB，PA AD，因为 AB BC，故以 A为坐标原点， AB, AD, AP所在直线为 x轴，y轴，z轴建立空
PF PQ PP PQ QQ 4 1 5 间直角坐标系，因为 AB 2, AD 3,PA 3, AD//BC,过点 C作 CE⊥AD于点 E，则 CE=AB=2，AE=BC=1，因为所以 ，
当且仅当直线 PQ与准线垂直时等号成立，所以 |PF | |PQ |的最小值为 5. ADC=45 ，所以 DE=CE=2，故C 2,1,0 ，A 0,0,0 ，D 0,3,0 ，P 0,0, 3 ，PC 2,1, 3 ，AD 0,3,0 ，
故答案为：5. 2,1, 3 0,3,0
设异面直线 PC与 AD 所成角为 ，所以cos cos PC ,AD 2 ，异面直线 PC与 AD所
15． 2【分析】根据等比数列公式对 a2a4a5 a3a6化简得 a1q 1，联立 a a 3 4 1 3 49 10 8
2
5 5 成角的余弦值为 .
求出 q5 2，最后得 a7 a1q q q 2 . 4
a q q 0 a 0 n PC 0a a a a a a q a q 2x y 3z 0【详解】设 n 的公比为 ，则 2 4 5 3 6 2 5 ，显然 n ， （2） AC 2,1,0 ，CD 2,2,0 ，设平面 PCD的法向量为 n x, y, z ，则
，即 ，
n
CD 0 2x 2y 0
a q2 a q3 q2 a q 1 a a 8 a q8 a q9则 4 ，即 1 ，则 1 ，因为 9 10 ，则 1 1 8， n AC
令 x 1，解得： y 1， z 3，故 n 1,1, 3 3 3 5，设点 A到平面 PCD的距离为d ，则 d
则 q15 q5 3 5 5 8 n 2 3 q5 2 a a q q5 q5，则 ，则 7 1 2，故答案为： 2 .
(2, ) f x xf x f x 0, g x 0, f 2 0 18．(1)1；(2) .【分析】（1）根据 f
2 0求参数 a，验证是否在 x 2处取得极大值即可；
16． 【分析】设 g x ，求得 g x 2 0，得到 在 上单调递减，结合 ，x x
f x f x 0 （2）将问题转化为 a x 1在 1,1 上恒成立，进而即得.得不等式 0的解集，进而得到不等式 的解集.
x
f
xf x f x xf x f x 0 【详解】（1）因为 x
1 x a x 1 a
，
【详解】根据题意，由 ，可得 ， ex ex
a 1 x 2
g x f x xf x f xg x
f 2 0 a 1 f x
设 ，可得 0，则 g x 在 0, 所以 ，得 ， 此时 ，2 上单调递减， e
2 ex
x x
所以当 x , 2 时， f (x) > 0， f x f 2 0 g 2 0 单调递增，当 x 2, 时， f
x 0， f x 单调递减，
又由 ，可得 ，
g x 0 g x 0 所以
f x 在 x 2处取得极大值，符合题意，故实数 a的值为 1；
当0 x 2时，可得 ；当 x 2时，可得 ，
f x x 1 af x （2）由（1）知， ，
当 x 0时，不等式 0的解集与 f x 0的解集相同， ex
x
f x 1,1 f
x 0 1,1f x 0 (2, ) (2, ) 因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，所以不等式 的解集为 .故答案为： .
2 3 5 因为 ex 0，所以 x a 1 0在 1,1 上恒成立，即 a x 1在 1,1 上恒成立，17．(1) (2)
4 5
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异 因为 g x x 1在 1,1 上单调递增，所以 g x g 1 0， 故实数 a的取值范围为 0, .
n
面直线的夹角；（2）先求出平面 PCD的法向量，然后利用 19．（1） an 3
n 2 2 S 9 1；（ ） 2n n
2 .
8 8
点到平面的向量公式进行求解.
【分析】（1）根据等比数列公式设其中的项，根据等差中项的性质，列式求通项公式；
【详解】（1）因为 PA 平面 ABCD， AB, AD PA 平面
（2）根据数列 bn 的特点，分奇数项和偶数项分别求和，即得 S2n .
答案第 3页，共 4页
{#{QQABQYAEoggIAAIAAAhCQwk4CAAQkBEACCoOwFAAoAABSBNABAA=}#}
【详解】（1）设等比数列 an 的公比为q(q 1) 2，由 a3 a4 12得 a1q 1 q 12， 2 2 2 4x 1 x 1
设函数 g x f x 4 x 1 ln 2x 1 2ln x 4x 4（ x 1），则 g x 4 2x 1 x x 2x 1 .
3a 2a a 2由 1， 2 ， 3成等差数列得3a1 a3 4，即3a1 a1q 4a1q，因为 a1 0，
因为 x 1，所以 g x 0，所以 g x 在 1, 上单调递减，从而 g x g 1 0，则 f x 4 x 1 对 x 1,
所以 q2 4q 3 0，即 q 1 q 3 0，因为 q 1，所以 q 3 2，代入 a1q 1 q 12 a
1
得 1 ，3
恒成立，故当 k 4时， f x k x 1 对 x 1, 恒成立.
a a q n 1 1 3n 1 3n 2所以 n 1 .3
22 (1) 6
1 2
． (2) x（ⅰ）证明见解析， ； （ⅱ） y2 1
n,n 3 3 3为奇数
（2）因为bn ，所以 S b b ba ,n 2n 1 3 2n 1
b2 b4 b2n
为偶数 【分析】（1）利用两点距离公式化简得到 a
2 = 3b2，最后根据离心率公式即可；
n
（2）（ⅰ）采用设点法，得到斜率表达式，最后根据点在椭圆上代入化简即可；
n
1 3 2n 1 1 32 32n 2 1 2n 1 1 1 9 9 n 1 n n 2 .
2 1 9 8 8 （ⅱ）计算出D,E坐标，写出面积表达式，根据上一小问斜率之积为定值的结论结合基本不等式即可.
1 BF 2 2 2
20．(1) an (2)存在【分析】（1）利用“退1作差”法求得 a
b c a 3
n 的通项公式. 【详解】（1）
2
， 4a 3 b2 a2 a2 3b2 e c 1 b 6，所以 2 ．2n 1 AB b2 a2 b2 a2 2 a a 3
（2）利用裂项求和法求得 Sn，由此求得 k .【详解】（1）依题意 a1 3a2 2n 1 an n①， 2
（2）（ⅰ）设 A a,0 ，M x1, y1 N x , y k
y
1 k y 1 k k y， 11 1 ，则 AM x a， AN x a， AM
AN x2
，
1 1 1 a
2
当 n 1时， a1 1 .
x2 y 2 y2 b2
当 n 2时， a1 3a2 2n 3 an 1 n 1②， 由 1 12 2 1，得 1a b x2 1 a2 a2
，
2n 1 a 1 a 1 1①-②得 n ， n ， n 1时，上式也符合.所以 an . 22n 1 2n 1 所以 k k b 1AM AN a2 为定值．3
4an 42 2
1 1 . S 2
1 1 1 1 1 1 （ ） k k 0 k k 0 AM : y k x a D 0, ak E 0, ak2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 所以 n （ⅱ）记 AM 1 ， AN 2 ，则直线 1 ，所以 1 3 3 5 2n 1 2n 1 ，同理 ， 2
2 1 1 2 S k 1
2
.故存在实数 k 2，使得 n 对任意 n N 恒成立. 所以 S ADE a ak1 ak
1
2 a 2 k
1
1 k 2 a 2 k
1 1
1 a
2 ·2 k1 ·
1 3 a
3，
2n 1 2 2 2 3 k1 2 3 k1 3
21．（1）a 2，b 4；（2）证明见解析.
所以 a2
3
3，当且仅当 k1 时“ ”成立，此时 b
2 1，
【分析】（1）利用导数的几何意义，先由 f ' (1) 4求出 a的值，再由 f (1) 4 b求出b 3的值，
x2
所以椭圆 D的方程为： y2 1．
（2）要证 f x k x 1 对 x 1, 恒成立，只需证 f x 4 x 1 对 x 1, 3恒成立，所以构造函数
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法得到斜率乘积表达式，最
g x f x 4 x 1 ln 2x 1 2ln x 4x 4（ x 1），然后利用导数求出其最大值小于零即可 后结合点在椭圆上即可证明斜率乘积为定值，求解三角形面积表达式需求出
a a a
【详解】（1）解：因为 f x ，所以 f 1 a 4， D,E两点坐标，最后利用基本不等式即可.
ax 1 x a 1
解得 a 2，则 f 1 0 4 b，解得b 4 .
（2）证明：因为 k 4，所以要证 f x k x 1 对 x 1, 恒成立，只需证 f x 4 x 1 对 x 1, 恒成立.
答案第 4页，共 4页
{#{QQABQYAEoggIAAIAAAhCQwk4CAAQkBEACCoOwFAAoAABSBNABAA=}#}13 14
永宁上游高级中学 2023-2024 学年第二学期开学考试 A． B 30． C D 35． ．5 2 5 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
高二数学试卷 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
1
9 2．对于抛物线上 x y，下列描述正确的是（ ）
8
班级： 姓名： 学号：
A．开口向上，焦点为 0,2 1B ．开口向上，焦点为 0,
时间:120 分钟 分值:150 分 16
C．焦点到准线的距离为 4 D．准线方程为 y 2
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
10．下列说法中正确的有（ ）
1．在数列 an 中， a1 3， an 1 an 2， n N ，则 a10的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．21 A．
sin
π
cos
π
4 4
2．过 (1,0)点且与圆 x2 y2 4x 4 y 7 0相切的直线方程为（ ）
B．已知函数 f (x)在 R上可导，且 f (1) 1，则 lim
f (1 2 x) f (1)
2
x 0 x
A．2x y 2 0 B．3x 4y 3 0
C．一质点的运动方程为 S t2，则该质点在 t 2时的瞬时速度是 4
C．3x 4y 3 0或 x 1 D． 2x y 2 0或 x 1
D．若 y f (x) g(x)，则 y f ( x ) g ( x )
3．已知函数 f x 3 f 1 x x 2 lnx 1 （ f x 是 f x 的导函数），则 f 1 （ ） x22 11．设椭圆C : y2 1的左 右焦点分别为 F1， F2，左 右顶点分别为A， B，点 P是椭圆C上的动点，则下2
1
A．1 B 1．2 C． 2 D． 2 列结论正确的是（ ）
y2 x24．已知直线 y 5x是双曲线 2 2 1 a 0,b 0
6
的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A．离心率 e
a b 2
A 6 B 30． ． C． 6 D． 5 B．△ PF1F2面积的最大值为 15 5
5 f x ax3．若函数 3x2 x 1 恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围是（ ） C．以线段 F1F2为直径的圆与直线 x y 1 0相切
A． ( 3,0) B． (0, ) k k 1D． PA PB为定值 2
C． ( , 3) (0, ) D． ( 3,0) (0, )
12．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，公差为d ，且 a1 0，若 a10 a15 a12，则下列命题正确的是（ ）
6．设 f x 是函数 f x 的导函数， y f x 的图像如图所示，则 x f x 0的解集是（ ）
A．数列 an 是递增数列 B． a13是数列 an 中的最小项
A． , 1 0,1 B． 1,0 1,3
C． S12 和 S13是 Sn 中的最小项 D．满足 Sn 0的n的最大值为 25
C． ,0 0,2 D． 0,1 3,
三、填空题（每道题 5 分，共 20 分）
a
7 n．已知数列 an 满足 a1 1， an 1 a 2a 1，则 5 （ ）n 13．已知圆C的一条直径的两个端点坐标分别为 4,1 ， 2,3 ，则圆C的方程是 .
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 8 9 10 14．图 1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径
2 2
8．设 O为坐标原点，F ,F
3
为椭圆C : x y 1的两个焦点，点 P在 C上，cos F PF ，则 |OP | （ ） AB 4 2，深度MO 2，信号处理中心 F 位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图 2所示的平面直角坐1 2 9 6 1 2 5
标系 xOy，若 P是该抛物线上一点，点Q(4,3)，则 PF PQ 的最小值 .
答案第 1页，共 2页
{#{QQABQYAEoggIAAIAAAhCQwk4CAAQkBEACCoOwFAAoAABSBNABAA=}#}
20．（本小题满分 12 分）设数列 an 满足 a1 3a2 2n 1 an n．
(1)求 an 的通项公式；
4a
(2)记数列 n 的前 n项和为 Sn，是否存在实数 k，使得 S 2n 1 n
k对任意 n N 恒成立.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ln ax 1 a ln x的图象在点 1, f 1 处的切线方程为 y 4x b .
（1）求 a，b的值；
15．已知 an 为等比数列， a2a4a5 a3a6， a9a10 8，则 a7 .
（2）当 k 4时，证明： f x k x 1 对 x 1, 恒成立.
16．定义在 0, 上的可导函数 f x 满足： xf x f x 且 f 2 0，则 f x 0的解集为 .
x2 y2 BF 322．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : 1 a b 0 ，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点， ．
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 a2 b2 AB 2
17．（本小题满分 10 分）如图.在四棱锥 P-ABCD中， PA 平面 ABCD，且
(1)求 C的离心率 e；
AB 2, AD 3,PA 3, AD//BC, AB BC， ADC=45 . (2)已知 MN为 C的一条过原点的弦（M，N不同于点 A）．
（ⅰ）求证：直线 AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线 AM，AN与 y轴分别交于点 D，E，且△ADE面积的最小值为 3，求椭圆 C的方程．
(1)求异面直线 PC与 AD所成角的余弦；
(2)求点 A到平面 PCD的距离.
x a
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ex ．
(1)若 f (x)在 x 2处取得极大值，求实数 a的值；
(2)若 f (x)在 ( 1,1)上单调递增，求实数 a的取值范围．
19．（本小题满分 12 分）已知数列 an 是公比不为1的等比数列，且 a3 a4 12， 3a1,2a2 ,a3 成等差数列.
（1）求 an ；
n,n为奇数
（2）设bn ，求数列 bn 的前 2n项的和 S2n .
an ,n为偶数
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